新高考数学一轮复习专题命题点4三角函数与解三角形练习含答案

这是一份新高考数学一轮复习专题命题点4三角函数与解三角形练习含答案，共7页。试卷主要包含了三角函数的图象与性质，三角恒等变换与解三角形等内容，欢迎下载使用。
三角函数与解三角形在高考中各种题型都会涉及,大部分是考查基础知识和基本方法,主要考查运算求解、逻辑推理能力.
命题方向:
1.三角函数的图象与性质:常以两种形式出现:一是围绕三角函数的求值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等展开,以填空题、选择题的形式为主,考查数形结合思想与推理、运算能力.二是三角函数图象的变换问题,主要针对三角函数图象的平移、伸缩、对称、翻折等变换进行研究,考查化归与转化思想.
2.三角恒等变换与解三角形:(1)利用同角三角函数基本关系及三角函数公式化简、求值(角)(给角求值、给值求值、给值求角);(2)解三角形(求边、角、最值、面积、证明问题等).以三角恒等变换为工具,利用正余弦定理、向量等知识进行求解,主要考查逻辑推理、直观想象等素养.
预测探究
识透高频考点
1.(2024浙江绍兴4月适应性考试,6)已知x∈π6,2π3,sinx−π6=35,则tan2x+π6=( B )
A.-247 B.-724 C.724 D.247
2.(多选)(2024安徽皖江名校联盟模拟,9)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,-π2c,∴b=8,c=7.
∴由余弦定理的推论得cs∠ABC=132+72−822×13×7=1113.
(2)记圆I与BC边切于点E,根据切线长定理可求得BE=6,CE=7,
若BI·BM=CI·CM,则|BE|·|BM|=|CE|·|CM|,
即6|BM|=7(13-|BM|),解得|BM|=7,
∴在BC边上存在点M,
使得BI·BM=CI·CM.
依题意可知I为△ABC的内心,则BD平分∠ABC,
记∠ABD=∠DBC=θ,
由(1)知cs∠ABC=cs 2θ=1113,
故cs θ=1+cs2θ2=23913,
sin θ=1−cs2θ2=1313,
在△ABD中,∠ADB=π-2π3-θ=π3-θ,
由正弦定理得,BDsin2π3=ABsin∠ADB=csinπ3−θ,
又sinπ3−θ=32cs θ-12sin θ=51326,c=7,
∴BD=7395,(提示:还可利用角平分线定理求BD)S△DBM=12×|BM|×|BD|×sin θ=12×7×7395×1313=49310.
故BC边上存在点M,使得BI·BM=CI·CM,此时BM=7,S△DBM=49310.
参透创新情境
(2024湖南长沙一中适应性演练(一),16)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当△ABC的三个内角均小于120°时,使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点;当△ABC有一个内角大于或等于120°时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cs 2B+cs 2C-cs 2A=1.
(1)求A;
(2)若bc=2,设点P为△ABC的费马点,求PA·PB+PB·PC+PC·PA.
新定义理解 通过对“费马点”的理解和应用,综合考查解三角形与平面向量等知识
解析 (1)由已知△ABC中,cs 2B+cs 2C-cs 2A=1,
即1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1,sin2A=sin2B+sin2C,
由正弦定理可得a2=b2+c2,
故△ABC为直角三角形,且A=π2.
(2)由(1)知A=π2,所以△ABC的三个角都小于120°,
则由费马点定义可知,
∠APB=∠BPC=∠APC=120°,
设|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z,由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC得12xy·32+12yz·32+12xz·32=12bc=1,
整理得xy+yz+xz=433,
则PA·PB+PB·PC+PC·PA=xy·−12+yz·−12+xz·−12=-12×433=-233.