新高考数学一轮复习专题命题点3导数及其应用练习含答案

这是一份新高考数学一轮复习专题命题点3导数及其应用练习含答案，共11页。
导数是初等数学与高等数学的重要衔接点,是命题热点,在每年的高考中,导数通常考查2或3道题,即“一小一大或两小一大”,小题可能为单选题、多选题或填空题.
命题方向:
1.以导数的运算、导数的几何意义以及导数与函数的关系为基础,命制导数运算的相关基础题或者利用求导来研究函数的单调性、极值、最值、零点等方面的考题.一般以选择题或填空题形式呈现,难度可能为基础题,也可能为中高档题.
2.以导数为载体的解答题,第(1)问通常考查一些基础知识、基本方法,属于中低档题;第(2)问一般会与不等式等知识进行综合,同时会应用到很多的数学思想方法,如转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、构造思想等.考查学生的逻辑推理能力,难度较大.
预测探究
识透高频考点
1.(多选)(2024辽宁抚顺六校协作体第三次模拟,11)已知定义在R上的奇函数f(x)连续,函数f(x)的导函数为f '(x).当x>0时, f '(x)cs x>f(x)sin x+e·f '(x),其中e为自然对数的底数,则(BCD)
A.f(x)在R上为减函数
B.当x>0时, f(x)f3π2
D. f(x)在R上有且只有1个零点
2.(2024山东潍坊二模,15)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=(e-2)x+3-e.
(1)求实数a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间和极值.
基础知识运用 导数几何意义的运用;利用导数求函数的单调区间和极值
解析 (1)f '(x)=ex+(x-1)ex-2ax=xex-2ax,
由题意知, f '(1)=e-2a=e-2,所以a=1,
又因为f(1)=-1+b=(e-2)×1+3-e=1,所以b=2.
(2)由(1)知f '(x)=xex-2x=x(ex-2),
当x∈(-∞,0)时, f '(x)>0;当x∈(0,ln 2)时, f '(x)0.
①当a≤0时,aex-10时, f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.(6分)
(2)由(1)知,当a≤0时, f(x)在R上单调递减, f(x)在R上至多有一个零点,不满足条件.(7分)
当a>0时, f(x)min=f(-ln a)=1-1a+ln a+ln2a2,
令g(a)=1-1a+ln a+ln2a2,
则g'(a)=1a2+1a+lnaa=1a1a+1+lna=1a1a+1−ln1a≥1a1a+1+1−1a=2a>0,
∴g(a)在R上单调递增,(9分)
而g(1)=0,
故当01,则f(x)min=g(a)>0,故f(x)>0恒成立, f(x)无零点;(11分)
(ii)若a=1,则f(x)min=g(a)=0,
故f(x)仅有一个零点x=-ln a=0,不满足条件;(12分)
(iii)若0ln 1a=-ln a,且fln3a−1=a3a−12-aln3a−1+2−a3a−1+12ln23a−1>a3a−12-aln3a−1+2−a3a−1=(3-a)1a-ln3a−1.(14分)
令h(x)=x-ln(3x-1)(x>1),则h'(x)=1-33x−1=3x−43x−1,
∴h(x)在1,43上单调递减,在43,+∞上单调递增,h(x)≥h43=43-ln 3>0,故1a-ln3a−1>0,
又00,
即fln3a−1>0,故f(x)在−lna,ln3a−1上有一个零点.
又f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增,
故f(x)在R上至多有两个零点,(16分)
又f(x)在(-2,-ln a)及−lna,ln3a−1上均至少有一个零点,
故f(x)在R上恰有两个零点.
综上,00, f(x)在区间D上单调递增,
∴f(α)≤f(β),即f(β)-f(α)≥0,
令h(x)=f(x)-x,则h'(x)=f '(x)-10,
则g'(x)=2mx+1-[ln(x+1)+1]=2mx-ln(x+1),
g″(x)=2m-1x+1.
①当m≤0时,g″(x)g(0)=0,无零点,不满足条件.
③当0