2025高考数学一轮专题复习：导数及其应用专题3（含答案解析）-练习

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利用导数研究双变量问题
典例1、已知函数，实数，为方程的两个不等的根.
（1）求实数的取值范围；（2）证明：.
随堂练习：已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设存在两个极值点，且，若，求证：.
典例2、已知，函数，其中为自然对数的底数.
（1）判断函数的单调性；
（2）若是函数的两个极值点，证明：.
随堂练习：已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，．
（2）若存在两个极值点，证明：．
典例3、已知函数(aR)．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，为函数的两个极值点，证明：．
随堂练习：1、设函数．
（1）求函数的最小值；
（2）设存在两个不同零点，，记，，求证：．
随堂练习：2、已知函数，，其中.
（1）若函数的图象与直线在第一象限有交点，求的取值范围.
（2）当时，若有两个零点，，求证：.
知识点二 由导数求函数的最值（不含参）,函数单调性、极值与最值的综合应用
利用导数研究函数的零点
典例4、已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）若函数有两个零点，求实数m的取值范围；
（3）若不等式仅有一个整数解，求实数a的取值范围．
随堂练习：已知函数.
（1）当时，求在区间上的最小值；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
典例5、已知函数．
（1）当时，求的最小值； （2）若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
随堂练习：已知函数，．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，求证有两个零点，，并且．
典例6、已知函数．
（1）当时，求的最小值；
（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围．
随堂练习：已知函数.
（1）求的最小值；
（2）记为的导函数，设函数有且只有一个零点，求的取值范围.
高考导数复习专题三答案
典例1、答案 （1） （2）证明见解析
解：（1）函数的定义域为， ，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则， 所以
（2）在处的切线的斜率为，其切线方程为，
首先证明： ，
,
在上单调递增，在上单调递减,
的最大值，所以成立,
在处的切线的斜率为，其切线方程为，
再证明：,
，
在上单调递增，在上单调递减,
的最大值，所以成立,
不妨设，实数，为方程的两个不等的实根,
设直线与在处的切线的交点的横坐标为，
则可得, 由可得，
设直线与在处的切线的交点的横坐标为，
则可得,
由可得， 所以.
（注：不等式，可以直接使用）
随堂练习：答案：（1）答案见解析 （2）证明见解析
解：（1）由题意可知，，
当时，，则在是单调递增；当时，若，即时，若，即时，和时，时，，
综上，时，在是单调递增；
时，在和递增， 在递减
（2）由题意可设，是的两个根， 则
（用分别表示出和），
整理，得，此时
设，求导得 恒成立，
在上单调递减，
典例2、答案：（1）答案见解析 （2）证明见解析
解： （1）， 令，，
当时，， 所以有2个根：，
所以当或时，，
当时，，
所以当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，，所以恒成立，所以在上单调递增.
所以时，在上单调递增.
综上得：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
（2）因为是函数的两个极值点，所以是方程的两根，
设，则，，
要证明，即证， 即证，
即证， 令，则，
即证， 即证，
令， ，
所以在上单调递增， 所以，故结论成立.
随堂练习：（1）证明见解析；（2）证明见解析.
解：（1）当时，，定义域为，
在定义域上恒成立，
所以在上单调递减，当时，；当时，原命题得证．
（2），若存在两个极值点，则，解得．
由韦达定理可知，
原命题即证：．
不妨设，原命题即证：，由（*）知，
齐次化，即证：，不放令，
原命题即证：，记，
则，
当时，在上单调递减，．
典例3、答案： （1）答案见解析；（2）证明见解析.
解:（1），令
当即时，，在上单调递增； 当即或时，
① 当时，在上单调递增；
② 当时，令，
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增， 在上单调递减.
（2）由（1）知时有两个极值点， 且，不妨设，
要证即证，
即，
设由（1）知当时，在上单调递增，
，则在上单调递减， .原式得证.
随堂练习：1、答案： （1）；（2）证明见解析.
解:（1）函数，定义域为， ，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增； 所以；
（2）不妨设,， ，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
∴在递减，在递增， ∴，，
∴， ∴，
∵，即， ∴，
∴
要证， 即 即证
即证 即证
又由于，， 所以只需证
即证明， 即证， 即证
随堂练习：2、答案： （1）；（2）证明见解析.
解：（1）设， 则由题设知，方程，在有解，
而.
设，则.
①若，由可知，且，
从而，即在上单调递减，从而恒成立，
因而方程在上无解.
②若，则，又时，，
因此，在上必存在实根，设最小的正实根为，
由函数的连续性可知，上恒有， 即在上单调递减，
也即，在上单调递减，从而在上恒有，
因而在上单调递减，故在上恒有，即，
注意到，因此，
令时，则有，由零点的存在性定理可知函数在，上有零点，符合题意.
③若时，则由可知，恒成立，从而在上单调递增，
也即在上单调递增，从而恒成立，故方程在上无解.
综上可知，的取值范围是.
（2）因为有两个零点，所以（2）， 即，
设，则要证，因为，，
又因为在上单调递增， 所以只要证明，
设， 则，
所以在上单调递减，（2），所以，
因为有两个零点，，，所以，
方程即构造函数， 则，，， 记，
则在上单调递增，在上单调递减， 所以，且，
设， ， 所以递增，
当时，， 当时，， 所以，
即，
，，， 所以，
同理， 所以，
所以， 所以，
由得： ， 综上：.
典例4、答案： (1)；(2)；(3)．
解:(1)函数，则，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值，也是最大值为．
(2)函数有两个零点，相当于函数的图象与直线有两个交点．
当时，，时，， 结合（1）中结论，可得．
(3)因为，所以不等式仅有一个整数解，
即只有一个整数解，因为的极大值为，，，
所以当时，只有一个整数解，
即当时，不等式仅有一个整数解． 所以实数的取值范围是
随堂练习：答案： （1） ； （2）.
解： （1），令，得.当时，
，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
当时，有极小值，也是最小值，最小值为.
（2），定义域，由题意， 即有两个零点，
令 所以在时，，函数单调递增；
当时，函数单调递减.所以函数的最大值
时，， 函数的图象如图所示，
所以，所以.
典例5、答案：（1） 0 （2）
解：（1）当时， 令，，
，
因为在上单调递增， 所以，
又因为时，， 所以，当且仅当时，等号成立，
所以在上是增函数，且， 所以在上是增函数，所以；
由于，问题转化为求在区间有一根时，实数a的取值范围，当，即时，
（2）由（1）可知，
即在区间无零点，不满足题意， 当，即时，
令， 令，
①当时，，
所以在上为增函数， ，
所以存在唯一一个实数，使．
②当时，， ．
由①②知，当时，单调递减， 当时，单调递增，
因为， 所以存在唯一实数，使，
所以当时，单调递减， 当时，单调递增，
因为， 所以存在唯一实数，使，
即在区间有唯一零点，
综上所得，函数两个不同的零点时，实数a的取值范围是．
随堂练习：答案：（1） 1 （2）证明见解析
解：（1）当时，， ．
令，则，所以在单调递增，
又因为，，所以存在，使得，此时．
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增．
所以的最小值为，
（2）， ，当时，，单调递减；
当时，，单调递增． 则，
这时， 利用放缩
记的正根为 所以，
所以存在两个零点和，，，
因为，即 两式相减得；
两式相加得． 要证，即
只要证， 令，，
，则在单调递增，所以，
又因为，所以得证，所以成立．
典例6、答案： （1）1 （2）
解：（1）的定义域为，时，，
当时，；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以是的极小值点，也是的最小值点，故．
（2）由，定义域为 ，
当时，，所以在上单调递减，则最多有一个零点，不合题意；
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则的极小值为．
设，则，所以，从而在上单调递减，又．
当，即时，； 所以当时，最多有一个零点，不合题意；
当，即时，，即； 又，
则，所以在内有一个零点． 由（1）得:，
所以，所以在内有一个零点，
结合的单调性，可知时，有两个不同的零点，故的取值范围为．
随堂练习：答案： （1） 1、； （2）或.
解：（1）由题得，
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增， 所以是的极小值点；
又当时，，当时，，当时，，
所以只能在内取得最小值，因为是在（0，）内的极小值点，也是最小值点，
所以．
（2）由题可得（）， ∴
①当时，，函数在上单调递增，
又∵， ∴函数有且仅有1个零点，∴符合题意；
②当时，令，，函数在上单调递增，
因为，
∴存在唯一的实数，使得，即，
当时，，单调递减；时，，单调递增；
又∵时，，时，，且，
∴当函数有且仅有1个零点时，，
∴符合题意
综上可知，的取值范围是或.
+
0
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0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增