北师大版九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程习题

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北师大版 九上 第二章 2.4用因式分解法求解一元二次方程
测试卷 B卷
一． 选择题（共30分）
1.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若为非负整数，且该方程的根都是整数，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．
【答案】A
【分析】
根据根的判别式可得方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根则△＞0，然后列出不等式计算即可，根据m为非负整数，得到m=0或1，代入方程求出方程的解即可求解．
【详解】
解：∵一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根，
∴△=(-2)2-4×1×(m-1)＞0，
∴m＜2；
∵m为非负整数，
∴m=0或1，
当m=0时，x2-2x-1=0，
∵△=(-2)2-4×1×(-1)=8，
∴，
此时方程的根不是整数，
∴m=0舍去；
当m=1时，x2-2x=0，
∴，此时方程的根都是整数，
∴m=1，
故选：A．
2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值是（ ）
A．−3或1 B．1 C．−3 D．
【答案】B
【分析】
把x=0代入原方程，转化为k的方程，并求解，注意二次项系数的非零性．
【详解】
∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴+2k-3=0，且k+3≠0,
∴k=1或k=-3, 且k+3≠0,
∴k=1,
故选B．
3．如图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图"，四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，其中BC是斜边，若，则AB的长为（ ）

A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
由题意可设，则有，进而可得，然后根据勾股定理可建立方程进行求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，，
∴，四边形AEMH是矩形，
∴AH=EM，HM=AE，
∵，
∴，
由可设，
∴，
∴，
∵BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），
∴；
故选B．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（ ）

A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6
【答案】D
【分析】
先证四边形PMEN是平行四边形，当∠APB=90°时，四边形PMEN是矩形，设DP=x，CP=10-x，再由勾股定理得出方程，分别计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝10，∠C＝∠D＝90°，
∵M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，
∴ME、NE是△ABP的中位线，
∴ME∥BP，NE∥AP，
∴四边形PMEN是平行四边形，
当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，
设DP＝x，CP＝10﹣x，
由勾股定理得：AP2＝AD2+x2，BP2＝BC2+（10﹣x）2，AP2+BP2＝AB2，
∴AD2+x2+AD2+（10﹣x）2＝102，
AD2+x2﹣10x＝0，
①当AD＝3时，x2﹣10x+9＝0，
x＝1或x＝9，符合题意；
②当AD＝4时，x2﹣10x+16＝0，
x＝2或x＝8，符合题意；
③当AD＝5时，x2﹣10x+25＝0，
x＝5，符合题意；
④当AD＝6时，x2﹣10x+36＝0，无解；
故选：D．

5.当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
方程的两个分式具备平方关系，若设，则原方程化为y2-2y-3=0．用换元法转化为关于y的一元二次方程．
【详解】
解：把代入原方程得：．
故选：．
6.一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先将原方程整理为，再利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论．
【详解】
解：，
移项，得，
分解因式，得，
则或，
解得：．
故选：C．

8.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12 B．9 C．15 D．12或15
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x＝3或x＝6，
当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；
当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15.
故答案为：C.

9. 已知4x2+4（m﹣2）x+m是一个关于x的完全平方式，则常数m的值是（　　）
A．4或9 B．1或4 C．1或9 D．1或16
【详解】解：∵4x2+4（m﹣2）x+（m﹣2）2＝[2x+（m﹣2）]2＝4x2+4（m﹣2）x+m，
∴（m﹣2）2＝m，
即m2﹣5m+4＝0，
∴m＝1或m＝4，
故选：B．

10.已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）
A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1
【详解】
解：设x2﹣2x+1＝a，
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，
∴a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，
即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，
故选：D．

二． 填空题（共24分）
11.x(x−2)=x−2的解为　 　
【答案】x1=2，x2=1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x(x-2)=x-2，
移项，得x(x-2)-（x-2）=0，
∴（x-2）（x-1）=0，
∴x-2=0或 x-1=0，
解得：x1=2，x2=1.
故答案为：x1=2，x2=1.

12.关于x的一元二次方程x2+(a+4)x+3a+3=0有一个大于−2的非正数根，那么实数a的取值范围是　 　．
【答案】−1≤a<1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+(a+4)x+3a+3=0，
∴(x+3)(x+a+1)=0，
∴x+3=0或x+a+1=0，
∴x=-3或x=-a-1.
∵方程有一个大于-2的非正数根，
∴-2<-a-1≤0，
∴-1≤a<1.
故答案为：-1≤a<1.
13.求方程x（x+5）=x的解为　 　．
【答案】x1=0，x2=−4
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x(x+5)=x，即x2+4x=0，
∴x(x+4)=0，
解得：x1=0，x2=−4，
故答案为：x1=0，x2=−4．
14.已知三角形两边的长是6和8，第三边的长是方程x2−16x+60=0的一个根，则该三角形的面积是　 　．
【答案】24或85
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的第三边的长为a，
∵x2−16x+60=0，
∴(x−6)(x−10)=0，
∴x1=6，x2=10，
∵三角形两边的长是6和8，
∴8−6 ∴2 ∴第三边的长为6或10．
∴三角形有两种：
①当三边为6、6、8时，如图，
在△ABC中，AC=BC=6，AB=8，
∴△ABC为等腰三角形，
过点C作CD⊥AB于点D，

∴AD=12AB=12×8=4，
CD=AC2−AD2=62−42=25，
∴S△ABC=12AB⋅CD=12×8×25=85；
②当三边为6、8、10时，如图，

在△ABC中，AC=8，BC=6，AB=10，
∵82+62=102，
∴△ABC为直角三角形，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12×8×6=24．
综上所述，该三角形的面积为24或85．
故答案为：24或85．
15.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数a2+2b−3．例如把(2，−5)放入其中，就会得到22+2×(−5)−3=−9．现将实数对(m，−3m)放入其中，得到实数−12，则m=　 　．
【答案】3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵把(m，−3m)放入魔术盒，得到实数−12，
∴m2+2×(−3m)−3=−12，
解得：m=3．
故答案为：3.
16.已知等腰三角形ABC的边长分别是m，n，4，且m，n是关于x的方程x2-6x+a+1=0的两根,则a的值为
【详解】解：①当m=n时，
∵m，n是关于x的方程x2-6x+a+1=0的两根，
∴Δ=（-6）2-4（a+1）=0，
解得，a=8，
∴关于x的方程为x2-6x+9=0，
解得：m=n=3，
∵m+n＞4，
∴m，n，4为边能组成三角形；
②m=4或n=4时，
∴4是关于x的方程x2-6x+a+1=0的根，
∴42-6×4+a+1=0，
解得：a=7，
∴关于x的方程为x2-6x+8=0，
解得：m=2，n=4，
∵m+n＞4，
∴m，n，4为边能组成三角形；
综上所述：a的值为7或8．

三． 解答题（共46分）
17.（8分）解方程
（1）x2+4x−5=0 ；
（2）3x(x−2)=2(x−2) .
【答案】（1）解：因式分解得 (x+5)(x−1)=0 ，
∴x+5=0 或 x−1=0 ，
∴x1=−5 ， x2=1
（2）解： 3x(x−2)−2(x−2)=0 ，
(x−2)(3x−2)=0 ，
∴x−2=0 或 3x−2=0 ，
∴x1=2 ， x2=23 ．

18.（8分）阅读下面的材料，并完成相应的任务．
材料：解含绝对值的方程：x2−5|x|−6=0．
解：分两种情况：
（ 1 ）当x≥0时，原方程可化为：x2−5x−6=0，解得x1=6，x2=−1（舍去）；
（ 2 ）当x<0时，原方程可化为：x2+5x−6=0，解得x1=−6，x2=1（舍去）．
综上所述：原方程的解是x1=6，x2=−6．任务：请参照上述方法解方程：x2−|x|−2=0．
【答案】解：分两种情况讨论：
（1）当x≥0时，原方程可化为x2−x−2=0
解得：x1=2，x2=−1（舍去）；
（2）当x<0时，原方程可化为x2+x−2=0
解得：x1=−2，x2=1（舍去）；
∴综上所述，原方程的根是x1=2，x2=−2．

19.（10分）下面是小明解一元二次方程2x(x−5)=3(5−x)的过程：
解：原方程可化为2x(x−5)=−3(x−5)，……第一步
方程两边同除以(x−5)得，2x=−3，……第二步
系数化为1得x=−32
小明的解答是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请指出从第几步开始出现错误，分析出现错误的原因，并写出正确的解答过程
【答案】解：不正确，错误出现在第二步，
当x−5=0时，丢掉根x=5，
正确解法为：
原方程可化为，2x(x−5)=−3(x−5)，
移项得，2x(x−5)+3(x−5)=0，
分解因式得，(x−5)(2x+3)=0，
∴x−5=0，或2x+3=0，
∴原方程的解为，x1=5，x2=−32.

20.（10分）．小明解关于的一元二次方程时，在解答过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和2．
（1）求的值；
（2）若菱形的对角线长是关于的一元二次方程的解，求菱形的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）设看错的常数为，根据题意列出方程组，解方程组即可得出答案；
（2）首先解出一元二次方程的两个解，然后利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】
（1）由题意得，设看错的常数为，
，
∴．
（2）原方程为，
解方程得，．
由菱形面积公式可得：．
21.（10分）如图1，点E为正方形内一点，，现将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点G．
（1）试判断四边形是什么图形，并证明你的结论．
（2）连接，如图2
①若，试求的长；
②如图3，若，求证：．

【答案】（1）正方形，证明见解析；（2）①9；②证明见解析．
【分析】
（1）先根据旋转的性质可得，从而可得，再根据矩形的判定、正方形的判定即可得证；
（2）①先根据正方形的性质可得，，再在中，利用勾股定理即可得；
②如图（见解析），先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据旋转的性质可得，最后根据正方形的性质可得，由此即可得证．
【详解】
证明：（1）四边形是正方形，证明如下：
由旋转的性质得：，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
（2）①四边形是正方形，
，
四边形是正方形，，
，
，
，
解得或（不符题意，舍去），
；
②如图，过点作于点，

，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
由旋转的性质得：，
，
又四边形是正方形，
，
，
．