2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第5章　§5.3　平面向量的数量积（2份打包，原卷版+含解析）

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1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．
知识梳理
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(—→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up6(—→))叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cs θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；
若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；
若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
3．向量a在向量b上的投影向量为eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|).
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( )
(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( )
(4)若a·b＝a·c，则b＝c.( )
2．已知向量m＝(2x,1)与向量n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)))垂直，则x等于( )
A.eq \f(1,4) B．－eq \f(1,4) C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
3．已知向量a，b满足|b|＝2|a|＝2，且a与b的夹角为eq \f(2π,3)，则(2a＋b)·a等于( )
A．12 B．4 C．3 D．1
4．已知a＝(1，eq \r(2))，|b|＝2eq \r(3)，a·b＝－3，则a与b的夹角为________．
题型一 平面向量数量积的基本运算
例1 (1)已知四边形ABCD为平行四边形，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝2，eq \(DN,\s\up6(→))＝2eq \(NC,\s\up6(→))，eq \(BM,\s\up6(→))＝3eq \(MC,\s\up6(→))，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))等于( )
A．7 B．1 C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,4)
(2)在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝AB＝2DC＝2，E为BC的中点，F为AE的中点，则eq \(CF,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(31,16) B.eq \f(33,16) C.eq \f(35,16) D.eq \f(37,16)
跟踪训练1 (1)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AD＝1，点E在边AB上，且eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝3，则BE等于( )
A．1 B．2 C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,2)
(2)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝eq \f(π,3)，E是边BC的中点，F是CD上靠近D的三等分点，若eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝8，则|eq \(AD,\s\up6(→))|等于( )
A．4 B．4eq \r(2) C．4eq \r(3) D．8
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 向量的模
例2 已知向量a，b满足|a－b|＝eq \r(3)，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________.
命题点2 向量的夹角
例3已知a，b为单位向量，且|3a－5b|＝7，则a与a－b的夹角为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(π,6) D.eq \f(5π,6)
命题点3 向量的垂直
例4 已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
命题点4 向量的投影
例5 (1)已知向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，|a|＝2，|b|＝1，则向量a在b上的投影向量为( )
A．b B.eq \f(1,2)b C．a D.eq \f(1,2)a
(2)已知非零向量a，b满足b＝(eq \r(3)，1)，〈a，b〉＝eq \f(π,3)，若(a－b)⊥a，则向量a在b方向上的投影向量的坐标为______．
跟踪训练2
(1)已知非零向量a，b满足|b|＝eq \r(2)|a|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A．45° B．135° C．60° D．120°
(2)(多选)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－2,1)，则下列说法正确的是( )
A．若m＝1，则|a－b|＝eq \r(13)
B．若a⊥b，则m＝2
C．“m<－eq \f(1,2)”是“a与b的夹角为锐角”的充要条件
D．若m＝－1，则b在a上的投影向量的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,2)))
课时精练
一、单项选择题
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝eq \r(3)，|a－2b|＝3，则a·(a＋b)等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
2．已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于( )
A．－6 B．－5 C．5 D．6
3．平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1,0)的夹角是钝角，则b等于( )
A．(－3，－4) B．(4,3) C．(－4,3) D．(－4，－3)
4．已知向量a＝(λ＋1,2)，b＝(1，－λ)，若a⊥b，则向量c＝(1,2)在向量a＋b上的投影向量的坐标为( )
A．(3,1) B．(1,3) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)))
5．已知平面单位向量a，b，c满足〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝eq \f(2π,3)，则|3a＋2b＋c|等于( )
A．0 B．1 C.eq \r(3) D.eq \r(6)
二、多项选择题
6．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))的可能取值是( )
A．－2 B．2 C．4 D．8
7．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是( )
A．a与b的夹角为钝角
B．向量a在b上的投影向量为eq \f(\r(2),2)b
C．2m＋n＝4
D．mn的最大值为2
三、填空题
8．已知向量a＝(2,3)，b＝(－3，－2)，写出一个与a－b垂直的非零向量c＝________.
9．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－8，则|a×b|等于________．
四、解答题
10．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2|eq \(DC,\s\up6(→))|＝2，∠BAD＝eq \f(π,3)，E是BC边的中点．
(1)试用eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))表示eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))；
(2)求eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))的值．
11．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M.
(1)求∠EMF的余弦值；
(2)设eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AF,\s\up6(→))，求λ的值及点M的坐标．
几何表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cs θ
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的
充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与
|a||b|
的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))