2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第5章　§5.2　平面向量基本定理及坐标表示（2份打包，原卷版+含解析）

这是一份2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第5章　§5.2　平面向量基本定理及坐标表示（2份打包，原卷版+含解析），文件包含2025年高考数学一轮复习基础版课时精讲第5章§52平面向量基本定理及坐标表示原卷版doc、2025年高考数学一轮复习基础版课时精讲第5章§52平面向量基本定理及坐标表示含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。

1.了解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
知识梳理
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
常用结论
1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．( × )
(2)基底中可以含有零向量．( × )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( × )
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变．( √ )
2．若e1，e2是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能构成平面内所有向量的一个基底的是( )
A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与2e1＋e2
C．e1－2e2与e1＋2e2 D．e1－e2与e2－e1
答案 D
解析 因为e2－e1＝－(e1－e2)，故e1－e2与e2－e1共线，不能构成基底．
3．若向量a＝(3，－4)，b＝(－1，m)，且a∥b，则m等于( )
A．－eq \f(3,4) B.eq \f(3,4) C．－eq \f(4,3) D.eq \f(4,3)
答案 D
解析 由题意得3m＝4，则m＝eq \f(4,3).
4．已知A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是________．
答案 (－2,15)
解析 设点O为坐标原点，∵点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，∴2eq \(BP,\s\up6(→))＝3eq \(AP,\s\up6(→))，即2(eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝3(eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，∴eq \(OP,\s\up6(→))＝3eq \(OA,\s\up6(→))－2eq \(OB,\s\up6(→))＝3(2,3)－2(4，－3)＝(－2,15)．∴点P的坐标为(－2,15).
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)设{e1，e2}为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．4e1＋2e2和2e2－4e1
C．2e1＋e2和e1＋eq \f(1,2)e2 D．e1－2e2和4e2＋2e1
答案 C
解析 平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，C选项中，2e1＋e2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e1＋\f(1,2)e2))，即2e1＋e2和e1＋eq \f(1,2)e2为共线向量，所以它们不能作为基底．其他选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底．
(2)如图，在平行四边形ABCD中，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up6(→))，则eq \(BA,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(6,5)eq \(AF,\s\up6(→))－eq \f(9,5)eq \(CE,\s\up6(→)) B.eq \f(2,5)eq \(AF,\s\up6(→))－eq \f(3,5)eq \(CE,\s\up6(→)) C.eq \f(6,5)eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \f(9,5)eq \(CE,\s\up6(→)) D.eq \f(2,5)eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \f(3,5)eq \(CE,\s\up6(→))
答案 C
解析 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，所以eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝－a－eq \f(2,3)b，
因为eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up6(→))，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋b，设eq \(BA,\s\up6(→))＝meq \(AF,\s\up6(→))＋neq \(CE,\s\up6(→))，则－a＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a＋b))＋neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a－\f(2,3)b))，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,3)m－n＝－1，,m－\f(2,3)n＝0，))解得m＝eq \f(6,5)，n＝eq \f(9,5)，即eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(6,5)eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \f(9,5)eq \(CE,\s\up6(→)).
思维升华
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
跟踪训练1
(1)平面内任一向量m都可以表示成λa＋μb(λ，μ∈R)的形式，下列关于向量a，b的说法中正确的是( )
A．向量a，b的方向相同
B．向量a，b中至少有一个是零向量
C．向量a，b的方向相反
D．当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0
答案 D
解析 因为任一向量m＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以根据平面向量的基本定理得，向量a，b不共线，故A，B，C不正确；因为a，b不共线，所以当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0，故D正确．
(2)已知在矩形ABCD中，E为AB边中点，AC，DE交于点F，则eq \(BF,\s\up6(→))等于( )
A．－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→)) C.eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→)) D．－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))
答案 D
解析 如图，取CD中点G，连接BG，交AC于点H，
∵BE＝DG，BE∥DG，∴四边形BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，又E为AB中点，
∴AF＝FH，同理可得CH＝FH，∴eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，
∴eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→)).
题型二 平面向量的坐标运算
例2 (1)已知A(－1,2)，B(3,0)，点P在直线AB上且|eq \(AP,\s\up6(→))|＝2|eq \(PB,\s\up6(→))|，则点P的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(2,3))) B．(7,2) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(2,3)))或(7，－2) D．(2,1)或(7，－2)
答案 C
解析 设点P的坐标为(x，y)，∵A(－1,2)，B(3,0)∴eq \(AP,\s\up6(→))＝(x＋1，y－2)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)．
由点P在直线AB上且|eq \(AP,\s\up6(→))|＝2|eq \(PB,\s\up6(→))|，得eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))或eq \(AP,\s\up6(→))＝－2eq \(PB,\s\up6(→)).
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝23－x，,y－2＝2－y))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝－23－x，,y－2＝－2－y.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(5,3)，,y＝\f(2,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝－2.))
∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(2,3)))或(7，－2)．
(2)在正方形ABCD中，M是BC的中点．若eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(BD,\s\up6(→))，则λ＋μ的值为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3) C.eq \f(15,8) D．2
答案 B
解析 在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
令AB＝2，则B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，M(2,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,2)，eq \(AM,\s\up6(→))＝(2,1)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－2,2)，
λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(BD,\s\up6(→))＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(BD,\s\up6(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ－2μ＝2，,λ＋2μ＝2，))
解得λ＝eq \f(4,3)，μ＝eq \f(1,3)，λ＋μ＝eq \f(5,3)，所以λ＋μ的值为eq \f(5,3).
思维升华
(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．
(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．
跟踪训练2 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,3)，\f(8,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(8,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,3)，\f(4,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))
答案 D
解析 ∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－eq \f(1,3)(a－2b)．
∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，∴c＝－eq \f(1,3)(a－2b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).
(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b))表示c，则( )
A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b
C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b
答案 D
解析 如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，a＝eq \(AB,\s\up6(→))，b＝eq \(BC,\s\up6(→))，c＝eq \(CD,\s\up6(→))，
则A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)，所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)，设向量c＝ma＋nb，
则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2n＝7，,m＋3n＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝－2，))所以c＝3a－2b.
题型三 向量共线的坐标表示
例3 (1)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，若a＋2b与a共线，则m＝________.
答案 eq \f(3,2)
解析 a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，则a＋2b＝(－1＋2m，－4)，由题意得(a＋2b)∥a，
故4＝2(－1＋2m)，解得m＝eq \f(3,2).
(2)在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，AB⊥AC，E，F分别为AB，BC中点，则AF与CE的交点坐标为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(4,3)))
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(2,0)，C(0,4)，E(1,0)，F(1,2)，设AF与CE交点为D(x，y)，则eq \(AD,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(1,2)，
且eq \(AD,\s\up6(→))∥eq \(AF,\s\up6(→))，即2x－y＝0，①又eq \(CD,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq \(CE,\s\up6(→))＝(1，－4)，且eq \(CD,\s\up6(→))∥eq \(CE,\s\up6(→))，即y－4＋4x＝0，②
由①②得x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(4,3)，故交点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(4,3))).
思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
跟踪训练3
(1)已知向量a＝(2,3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cs α)，若(a＋b)∥c，则tan α的值为( )
A．2 B．－2 C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
答案 A
解析 因为a＝(2,3)，b＝(2，sin α－3)，所以a＋b＝(4，sin α)，
又c＝(2，cs α)且(a＋b)∥c，所以4cs α＝2sin α，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝2.
(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为____．
答案 (2,4)
解析 ∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，∴eq \(DC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，设点D的坐标为(x，y)，
则eq \(DC,\s\up6(→))＝(4－x,2－y)，又eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x＝2，,2－y＝－2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))
∴点D的坐标为(2,4)．
课时精练
一、单项选择题
1．下列各组向量中，{e1，e2}不能作为平面的一个基底的是( )
A．e1＝(2，－1)，e2＝(1，－2) B．e1＝(4，－2)，e2＝(－2,1)
C．e1＝(3,3)，e2＝(－1,1) D．e1＝(2,3)，e2＝(－1,3)
答案 B
解析 对于A，C，D，因为两向量不共线，所以{e1，e2}能作为一个基底；
对于B，因为e1＝－2e2，所以e1∥e2，所以{e1，e2}不能作为一个基底．
2．已知a＝(2,1)，b＝(3x2－1，x)，若a∥b，则x等于( )
A．1或－eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(2,3)或eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 因为a∥b，所以3x2－1－2x＝0，解得x＝1或x＝－eq \f(1,3).
3．已知向量a与b的方向相反，b＝(－2,3)，|a|＝2eq \r(13)，则a等于( )
A．(－6,4) B．(－4,6) C．(4，－6) D．(6，－4)
答案 C
解析 ∵a与b的方向相反，∴a＝λb(λ<0)．设a＝(x，y)，则(x，y)＝λ(－2,3)，
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2λ，,y＝3λ，))由|a|＝2eq \r(13)，得x2＋y2＝52，即4λ2＋9λ2＝13λ2＝52，∴λ2＝4，
又λ<0，∴λ＝－2，∴a＝(4，－6)．
4．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且|eq \(AG,\s\up6(→))|＝2|eq \(GD,\s\up6(→))|，那么点C的坐标为( )
A．(－4,2) B．(－4，－2) C．(4，－2) D．(4,2)
答案 C
解析 由题意知，G是△ABC的重心，设C(x，y)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2＋6＋x,3)＝4，,\f(3－4＋y,3)＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2.))故点C的坐标为(4，－2)．
5．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(EG,\s\up6(→))＝λeq \(EF,\s\up6(→))，则λ等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
答案 C
解析 如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD边长为6，
则B(6,0)，D(0,6)，C(6,6)，E(6,3)，F(3,6)，∴eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(6,0)＋eq \f(5,6)(0,6)＝(4,5)，
∴G(4,5)，eq \(EG,\s\up6(→))＝(－2,2)，eq \(EF,\s\up6(→))＝(－3,3)，∴eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(EF,\s\up6(→))，∴λ＝eq \f(2,3).
二、多项选择题
6．已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B.eq \f(1,2) C．1 D．－1
答案 ABD
解析 因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点即可构成三角形．
7.如图，在正方形ABCD中，Q为BC上一点，AQ交BD于E，且E，F为BD的两个三等分点，则( )
A.eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(FQ,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))
答案 ABC
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，
设Q(x,0)，则根据题意可得A(0,2)，D(2,2)，C(2,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)))，B(0,0)，则eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3)))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq \(AQ,\s\up6(→))＝(x，－2)，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，－\f(4,3)))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，－2)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(2,0)，由于eq \(AE,\s\up6(→))∥eq \(AQ,\s\up6(→))，所以－eq \f(4,3)x＝－2×eq \f(2,3)，解得x＝1，故Q(1,0)，对于A，eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，－\f(4,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3)))＝(2，－2)＝eq \(AC,\s\up6(→))，故A正确；对于B，eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×(0，－2)＋eq \f(1,3)×(2,0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，－\f(4,3)))＝eq \(AE,\s\up6(→))，故B正确；对于C，eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)×(0，－2)＋eq \f(2,3)×(2,0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3)))＝eq \(AF,\s\up6(→))，故C正确；对于D，eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×(0，－2)＋eq \f(1,6)×(2,0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(4,3)))，eq \(FQ,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(4,3)))，故D错误．
三、填空题
8．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量eq \(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量的坐标是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5)))
解析 ∵点A(1,3)，B(4，－1)，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，－4)，可得|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(32＋－42)＝5，
因此，与向量eq \(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量为eq \f(1,|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)(3，－4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))).
9．已知向量a＝(－1,4)，b＝(3，－2λ)，若a∥(2a＋b)，则λ＝________.
答案 6
解析 向量a＝(－1,4)，b＝(3，－2λ)，则2a＋b＝(1,8－2λ)，由a∥(2a＋b)，得4＝－8＋2λ，解得λ＝6.
10．已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，eq \(AM,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝neq \(AD,\s\up6(→)) (mn≠0)，若eq \(MN,\s\up6(→))∥eq \(BE,\s\up6(→))，则eq \f(n,m)＝________.
答案 2
解析 依题意设eq \(MN,\s\up6(→))＝λeq \(BE,\s\up6(→))，则eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))＝－meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))＝λ(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→)))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))－\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))，
即－meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)λeq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AD,\s\up6(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m＝－\f(1,2)λ，,n＝λ，))故eq \f(n,m)＝2.
四、解答题
11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(2sin(A＋C)，eq \r(3))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 2B，2cs2\f(B,2)－1))，且m∥n.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝1，求△ABC面积的最大值．
解 (1)由于m∥n，所以2sin(A＋C)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(B,2)－1))＝eq \r(3)cs 2B，即2sin Bcs B＝eq \r(3)cs 2B，
即sin 2B＝eq \r(3)cs 2B，tan 2B＝eq \r(3)，
由于B是锐角，所以0(2)依题意，B＝eq \f(π,6)，b＝1，由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
即eq \f(a,sin A)＝eq \f(1,sin \f(π,6))＝eq \f(c,sin C)，a＝2sin A，c＝2sin C，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝sin Asin C＝sin Asin(A＋B)＝sin Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))＝sin Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin A＋\f(1,2)cs A))
＝eq \f(\r(3),2)sin2A＋eq \f(1,2)sin Acs A＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(1－cs 2A,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)sin 2A＝eq \f(1,4)sin 2A－eq \f(\r(3),4)cs 2A＋eq \f(\r(3),4)＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,3)))＋eq \f(\r(3),4)，
由于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0\f(π,2)，))所以eq \f(π,3)所以当2A－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，即A＝eq \f(5π,12)时，S△ABC取得最大值为eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),4)＝eq \f(2＋\r(3),4).