2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第8章　§8.7　抛物线（2份打包，原卷版+含解析）

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1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.
2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
3.了解抛物线的简单应用．
知识梳理
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
常用结论
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．
3．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，准线x＝－eq \f(p,2)与x轴相交于点P，过焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为原点，α为AB与对称轴正向所成的角，则有如下的焦点弦长公式：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|，|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|，|AB|＝x1＋x2＋p，|AB|＝eq \f(2p,sin2α).
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．( )
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．( )
(3)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．( )
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．( )
2．抛物线x2＝eq \f(1,4)y的准线方程为( )
A．y＝－eq \f(1,16) B．x＝－eq \f(1,16) C．y＝eq \f(1,16) D．x＝eq \f(1,16)
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
4．若抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的最短距离为1，则p的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
题型一 抛物线的定义及应用
例1 (1)设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝16y C．y2＝8x D．y2＝16x
(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
跟踪训练1 (1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为eq \f(11,4)，则m等于( )
A．4 B．3 C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,3)
(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( )
A.eq \f(5,2) B.eq \f(5\r(2),2) C．2 D.eq \r(2)
题型二 抛物线的标准方程
例2 (1)抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为________．
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点A，B在抛物线上，且直线AB过点D(－eq \f(p,2),0)，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|＝6，则抛物线C的标准方程为________．
跟踪训练2 (1)抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0，－9)，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝6y B．x2＝12y C．x2＝18y D．x2＝36y
(2)设抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，点P在抛物线C上，|PF|＝eq \f(5,2)，若以线段PF为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，则该抛物线C的方程为________．
题型三 抛物线的几何性质
例3 (1)已知圆x2＋y2＝1与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(\r(2),5) C.eq \f(5\r(2),2) D.eq \f(2\r(5),5)
跟踪训练3 (1)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为______．
(2)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若3eq \(FM,\s\up6(→))＝2eq \(MN,\s\up6(→))，则|NF|＝________.
课时精练
一、单项选择题
1．在平面内，已知定点A及定直线l，记动点P到l的距离为d，则“|PA|＝d”是“点P的轨迹是以点A为焦点，直线l为准线的抛物线”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
3．在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝－4x D．y2＝－8x
4．设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于( )
A．3 B．4 C.eq \f(4,3) D.eq \f(7,3)
5．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：(x－6)2＋(y－2)2＝4上，则|PQ|＋|PF|的最小值为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
二、多项选择题
6．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上的两点，下列结论正确的是( )
A．|MF|的最小值为2
B．若|MF|＋|NF|＝12，则线段MN的中点P到x轴的距离为6
C．若直线MN过点F，则x1x2＝4
D．若eq \(MF,\s\up6(→))＝λeq \(NF,\s\up6(→))，则|MN|的最小值为8
三、填空题
7．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A在抛物线C上，若点A到x轴的距离是|AF|－2，则p＝________.
8．A，B是抛物线x2＝2y上的两点，O为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为12eq \r(3)，则∠AOB＝________.
四、解答题
9．已知动点M与点F(2,0)的距离与其到直线x＝－2的距离相等．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)求点M与点A(6,0)的距离的最小值，并指出此时M的坐标．
10．已知动圆过定点(4,0)，且在y轴上截得的弦长为8.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程；
(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值．
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1