适用于新教材提优版2024届高考数学一轮复习学案第八章直线和圆圆锥曲线8.8直线与圆锥曲线的位置关系新人教A版

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知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．
2．弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)
＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝___________________
或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|
＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))的直线一定与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1相交．( )
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切．( )
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．( )
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．( )
教材改编题
1．直线y＝kx＋2与椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1有且只有一个交点，则k的值是( )
A.eq \f(\r(6),3)B．－eq \f(\r(6),3)
C．±eq \f(\r(6),3)D．±eq \f(\r(3),3)
2．已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是( )
A．2 B．4 C．8 D．16
3．已知点A，B是双曲线C：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C.eq \f(4,9) D.eq \f(9,4)
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 (1)若直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1的交点有( )
A．1个 B．至多1个
C．2个 D．0个
(2)(多选)已知直线y＝x与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率可能为( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \f(\r(6),2) D.eq \r(3)
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思维升华 (1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．
跟踪训练1 (1)(2023·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
(2)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，经过双曲线C的右焦点F，且倾斜角为60°的直线l与双曲线右支有两个交点，则双曲线离心率的取值范围为________．
题型二 弦长问题
例2 (2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，右焦点为F(eq \r(2)，0)，且离心率为eq \f(\r(6),3).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝eq \r(3).
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思维升华 (1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求．
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率．
跟踪训练2 已知焦点在x轴上的椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，短轴长为2eq \r(3)，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝eq \f(18\r(2),7)，求直线l的方程．
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题型三 中点弦问题
例3 (2023·衡水模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(\r(2),2)，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程．
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思维升华 (1)解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
①根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．
②点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量．
(2)点差法常用结论
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上的两点，AB的中点为C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.
若E的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
则k＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)；
若E的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则k＝eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)；
若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝eq \f(p,y0).
跟踪训练3 (1)(2022·石家庄模拟)已知倾斜角为eq \f(π,4)的直线与双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，相交于A，B两点，M(1,3)是弦AB的中点，则双曲线的渐近线方程为________．
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为( )
A．(1，－1) B．(2,0)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,2)))D．(1,1)