人教A版普通高中数学一轮复习第八章第八节第一课时直线与圆锥曲线的位置关系学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第八章第八节第一课时直线与圆锥曲线的位置关系学案，共24页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

2．了解椭圆、双曲线和抛物线的简单应用．
第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系
自查自测,
知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)“直线l与椭圆C相切”的充要条件是“直线l与椭圆C只有一个公共点”．( √ )
(2)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”．( × )
(3)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．( × )
(4)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．( √ )
2．直线y＝kx＋2与椭圆x23＋y22＝1有且只有一个交点，则k的值是( )
A．63B．－63
C．±63D．±33
C 解析：联立y=kx+2，x23+y22=1，得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，解得k＝±63．
3．(教材改编题)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
C 解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．故选C．
核心回扣
直线与圆锥曲线位置关系的判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则
直线与圆锥曲线相交⇔Δ＞0；
直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；
直线与圆锥曲线相离⇔Δ＜0.
特别地：
(1)与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．
(2)与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．
自查自测
知识点二 直线与圆锥曲线相交的弦长问题
已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是( )
A．2B．4
C．8D．16
C 解析：联立y=x-1，y2=4x，
消去y并整理得x2－6x＋1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，
所以|AB|＝1+k2x1+x22-4x1x2＝1+1×36-4＝8.
核心回扣
设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1+k2|x1－x2|＝1+k2x1+x22-4x1x2
＝1+1k2|y1－y2|＝1+1k2y1+y22-4y1y2．
【常用结论】
圆锥曲线的中点弦问题
(1)在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－b2x0a2y0．
(2)在双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝b2x0a2y0．
(3)在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝py0．
应用1 已知点A，B是双曲线C：x22－y23＝1上的两点，线段AB的中点是M(3，2)，则直线AB的斜率为( )
A．23B．32
C．49D．94
D 解析：直线AB的斜率k＝3×32×2＝94．
应用2 已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1，1)为中点的弦所在直线的方程是 ．
x＋2y－3＝0 解析：椭圆方程变形为x24＋y22＝1，所以直线的斜率k＝－24＝－12，所以直线方程为y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.
直线与圆锥曲线位置关系的判断
1．抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为( )
A．1B．2
C．4D．8
A 解析：因为抛物线C：y2＝4x的准线为l，
所以l的方程为x＝－1，A(－1，0)．
如图，设过点A作抛物线的一条切线为x＝my－1，切点为B.
由x=my-1，y2=4x，得y2－4my＋4＝0，
所以Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得|m|＝1，
所以y2－4y＋4＝0或y2＋4y＋4＝0，解得y＝2或y＝－2，即|yB|＝2，
所以△OAB的面积为12×1×2＝1.
2．若直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x29＋y216＝1的交点有( )
A．1个B．至多1个
C．2个D．0个
C 解析：因为直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，所以9m2+n2＞3，即m2＋n2＜9，
所以m29＋n216≤m29＋n29＜1，
即点(m，n)在椭圆x29＋y216＝1内，
所以过点(m，n)的直线与椭圆x29＋y216＝1的交点有2个．
3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是( )
A．-153，153B．0，153
C．-153，0D．-153，-1
D 解析：由y=kx+2，x2-y2=6，
得(1－k2)x2－4kx－10＝0.
设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则1-k2≠0， Δ=16k2-41-k2×-10＞0，x1+x2=4k1-k2＞0，x1x2=-101-k2＞0，
解得－153＜k＜－1，
即k的取值范围是-153，-1．
直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
弦长问题
【例1】(2024·滨州模拟)已知点1，32在椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上，且E的离心率为12．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设F为椭圆E的右焦点，点P(m，n)是E上的任意一点，直线PF与直线3mx＋4ny＝0相交于点Q，求|PQ|的值．
解：(1)由题意得1a2+94b2=1， ca=12，a2=b2+c2，解得a=2， b=3，c=1.
所以椭圆E的方程为x24＋y23＝1.
(2)由题知F(1，0)且m24＋n23＝1，即3m2＋4n2＝12.
①当m＝1时，点P1，32或P1，-32．
当点P1，32时，直线PF与直线x＋2y＝0相交于点Q1，-12，此时|PQ|＝2；
当点P1，-32时，直线PF与直线x－2y＝0相交于点Q1，12，此时|PQ|＝2.
②当m≠1时，直线PF的方程为y＝nm-1(x－1)，
由y=nm-1x-1，3mx+4ny=0，可得x=4n212-3m，y=-mn4-m，
所以Q4n212-3m，-mn4-m．
所以|PQ|2＝m-4n212-3m2＋n--mn4-m2
＝12m-3m2-4n212-3m2＋4n-mn+mn4-m2
＝4m-44-m2＋4n4-m2
＝4m-42+16n24-m2
＝4m-42+412-3m24-m2
＝4m2-8m+164-m2
＝4m-424-m2＝4，
所以|PQ|＝2.
综上所述，|PQ|＝2.
求解弦长的常用方法
(1)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．
(2)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2的值，代入弦长公式．
(3)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，右焦点为F(2，0)，且离心率为63．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x＞0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝3.
(1)解：由题意得，椭圆半焦距c＝2且e＝ca＝63，所以a＝3.
又b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为x23＋y2＝1.
(2)证明：由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x＞0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
必要性：
若M，N，F三点共线，由题易知此时直线MN的斜率存在．
设直线MN：y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x＞0)相切，
得2kk2+1＝1，解得k＝±1.
联立y=±x-2，x23+y2=1，可得4x2－62x＋3＝0，
Δ＝(62)2－4×4×3＝24＞0，
所以x1＋x2＝322，x1x2＝34，
所以|MN|＝1+1×3222-4×34 ＝3，
所以必要性成立．
充分性：
由题分析易知当|MN|＝3且直线MN与曲线相切时，直线MN的斜率必存在．
设直线MN：y＝kx＋m(km＜0)，即kx－y＋m＝0.
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x＞0)相切，
得mk2+1＝1，所以m2＝k2＋1.
联立y=kx+m，x23+y2=1，
可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
Δ＝(6km)2－4(1＋3k2)(3m2－3)＝36k2－12m2＋12＝24k2＞0，
所以x1＋x2＝－6km1+3k2，x1x2＝3m2-31+3k2，
所以|MN|＝1+k2·x1+x22-4x1x2
＝1+k2-6km1+3k22-4·3m2-31+3k2
＝1+k2·24k21+3k2＝3，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
所以k=1，m=-2或k=-1，m=2，
所以直线MN：y＝x－2或y＝－x＋2，
所以直线MN过点F(2，0)，即M，N，F三点共线，充分性成立．
综上，M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝3.
中点弦问题
考向1 确定直线方程
【例2】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为22，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2，1)，求直线l的方程．
解：(1)因为离心率e＝ca＝22，所以a＝2c.
因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.
因为四边形MF1NF2的面积为32，所以2bc＝32，
所以b＝c＝4，a＝42，
故椭圆C的标准方程为x232＋y216＝1.
(2)由题意易知，直线l的斜率存在．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1232+y1216=1，x2232+y2216=1，
两式相减得x12-x2232＋y12-y2216＝0，
所以y1-y2x1-x2＝－12·x1+x2y1+y2．
因为AB的中点坐标为(－2，1)，
所以y1-y2x1-x2＝1，即直线l的斜率为1，
故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0，经验证满足题意．
点差法处理中点弦问题
设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减少计算量．
提醒：在求出直线方程以后，必须将直线方程和圆锥曲线方程联立得到一个关于x(或y)的一元二次方程，判断该方程的Δ和0的关系，只有Δ＞0，直线才是存在的．
考向2 确定曲线方程或参数的值
【例3】已知椭圆x22＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，点A和点B关于直线l对称，l与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围是 ．
-12，0 解析：因为直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，左焦点F(－1，0)，所以设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，
代入x22＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
由题意易知方程有两个不等实根，则Δ＝(4k2)2－4(1＋2k2)(2k2－2)＝8k2＋8＞0恒成立．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点N(x0，y0)，
则x1＋x2＝－4k22k2+1．
x0＝12(x1＋x2)＝－2k22k2+1，y0＝k(x0＋1)＝k2k2+1．
因为点A和点B关于直线l对称，
所以直线l为线段AB的垂直平分线，其方程为
y－y0＝－1k(x－x0)．
令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－2k22k2+1＋k22k2+1
＝－k22k2+1＝－12＋14k2+2．
因为k≠0，所以－12＜xG＜0，
即点G横坐标的取值范围为-12，0．
利用根与系数的关系处理中点弦问题
联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．
1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y＝ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－12，则m的值为( )
A．32B．52
C．2D．3
A 解析：由双曲线的定义知2a＝4，得a＝2，
所以抛物线的方程为y＝2x2.
因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，
所以y1＝2x12，y2＝2x22，
两式相减得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)，
不妨设x1＜x2，又A，B关于直线y＝x＋m对称，所以y1-y2x1-x2＝－1，故x1＋x2＝－12，而x1x2＝－12，解得x1＝－1，x2＝12．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，
则x0＝x1+x22＝－14，y0＝y1+y22＝2x12+2x222＝54．
因为中点M在直线y＝x＋m上，所以54＝－14＋m，解得m＝32．
2．过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p＞0)的两条切线，切点分别为A，B.若线段AB的中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为 ．
x2＝2y或x2＝4y 解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y＝x22p，则y′＝xp，
所以切线MA的方程是y－y1＝x1p(x－x1)，
即y＝x1px－x122p．
又点M(2，－2p)位于直线MA上，
于是有－2p＝x1p×2－x122p，即x12－4x1－4p2＝0；
同理有x22－4x2－4p2＝0，
因此x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根，
则x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.
由线段AB的中点的纵坐标是6，
得y1＋y2＝12，
即x12+x222p＝x1+x22-2x1x22p＝12，
即16+8p22p＝12，解得p＝1或p＝2.
故抛物线的方程为x2＝2y或x2＝4y.
课时质量评价(五十三)
1．若直线y＝kx＋2与椭圆x27＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m＞1B．m＞0
C．0＜m＜4且m≠1D．m≥4且m≠7
D 解析：直线y＝kx＋2恒过定点(0，2)，若直线y＝kx＋2与椭圆x27＋y2m＝1总有公共点，则点(0，2)在椭圆x27＋y2m＝1内部或在椭圆上，所以4m≤1，m≥4.由方程x27＋y2m＝1表示椭圆，则m＞0且m≠7.综上，m的取值范围是m≥4且m≠7.
2．(2024·长春模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于A，B两点．若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于( )
A．14B．12
C．1D．2
C 解析：由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则AB必须垂直于x轴，故A，B两点的坐标分别为p2，1，p2，-1或p2，-1，p2，1，代入抛物线方程可解得p＝1.
3．(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C：x23＋y2＝1的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点．若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝( )
A．23B．23
C．－23D．－23
C 解析：记直线y＝x＋m与x轴交于M(－m，0)，
因为椭圆C：x23＋y2＝1的左、右焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，且由△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，可得|F1M|＝2|F2M|，
所以|－2－xM|＝2|2－xM|，解得xM＝23或xM＝32.
所以－m＝23或－m＝32，所以m＝－23或m＝－32.
联立x23+y2=1，y=x+m，可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.
因为直线y＝x＋m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，
所以m＝－32不符合题意，故m＝－23．
4．(2024·巴中模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为34的直线与C的右支交于点P.若线段PF1恰被y轴平分，则C的离心率为( )
A．12B．233
C．2D．3
C 解析：如图，设PF1交y轴于点A，A为PF1的中点．
又因为O为F1F2的中点，所以AO为△PF1F2的中位线，则AO∥PF2.而AO⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2.
因为直线PF1的斜率为34，故在Rt△PF2F1中，tan ∠PF1F2＝34，
设|PF2|＝3t，则|F1F2|＝4t，|PF1|＝5t，
结合双曲线的定义以及点P在双曲线右支上，
得4t＝2c，|PF1|－|PF2|＝2a＝2t，则2a＝c，
所以e＝ca＝2.
5．(多选题)过双曲线x2－y22＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则下列满足条件的直线l有( )
A．x＝3B．x＋2y－1＝0
C．x－2y－3＝0D．x＋2y－3＝0
ACD 解析：由题意知F(3，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝3，
由x=3，x2-y22=1，得y＝±2，
所以|AB|＝|y1－y2|＝4满足题意．
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－3)，
由y=kx-3，x2-y22=1，
得(2－k2)x2＋23k2x－3k2 －2＝0.
当2－k2＝0时，不符合题意，
当2－k2≠0时，Δ＝(23k2)2＋4(2－k2)(3k2＋2)＞0，x1＋x2＝23k2k2-2，x1x2＝3k2+2k2-2，
|AB|＝1+k2·x1+x22-4x1x2
＝1+k2·23k2k2-22-12k2+8k2-2
＝1+k2·16k2+1k2-22＝4k2+1k2-2＝4，
解得k＝±22．
所以直线l的方程为y＝±22(x－3)，
即x±2y－3＝0.
6．过点(0，3)的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则直线l的方程为 ．
y＝13x＋3或y＝3或x＝0 解析：当直线l的斜率k存在且k≠0时，直线l的方程为y＝kx＋3(k≠0)，与抛物线方程联立得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0，由题可知Δ＝(6k－4)2－4×k2×9＝0，解得k＝13，所以直线l的方程为y＝13x＋3；当k＝0时，直线l的方程为y＝3，此时直线l平行于抛物线的对称轴，且与抛物线只有一个公共点94，3；当k不存在时，若直线l与抛物线只有一个公共点，则直线l的方程为x＝0.综上，过点(0，3)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线l的方程为y＝13x＋3或y＝3或x＝0.
7．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F作斜率为5的直线l与C交于M，N两点．若线段MN中点的纵坐标为10，则F到C的准线的距离为 ．
52 解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y12＝2px1，y22＝2px2，
两式相减得y12-y22＝2px1－2px2，
即(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．
因为M，N两点在斜率为5的直线l上，
所以y1-y2x1-x2＝2py1+y2＝5，
得5(y1＋y2)＝2p.
因为线段MN中点的纵坐标为10，
所以y1＋y2＝210，
则5×210＝2p，p＝52，
所以F到C的准线的距离为52.
8．已知焦点在x轴上的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，短轴长为23，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝1827，求直线l的方程．
解：(1)由2b=23，a-c=1，a2-c2=b2，得a=2，b=3，c=1，
所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.
(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为0，F1(－1，0)，B(2，0)，
设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由x24+y23=1，x=my-1，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
Δ＝36m2＋4×9×(3m2＋4)＞0，
则y1＋y2＝6m3m2+4，y1y2＝-93m2+4．
又S△BMN＝12|BF1|·|y1|＋12|BF1|·|y2|＝12|BF1|·|y1－y2|＝12|BF1|·y1+y22-4y1y2＝18m2+13m2+4＝1827，
解得m＝±1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
9．(思维创新)(2024·淮北模拟)已知A(－2，0)，B(2，0)，过P(0，－1)且斜率为k的直线上存在不同的两个点M，N满足：|MA|－|MB|＝|NA|－|NB|＝23，则k的取值范围是( )
A．-63，63
B．-63，-33∪-33，33∪33，63
C．33，63
D．-63，-33
C 解析：因为|MA|－|MB|＝|NA|－|NB|＝23＜|AB|＝4，
所以M，N是以A(－2，0)，B(2，0)为焦点的双曲线的右支上的两点，且c＝2，a＝3，
所以b＝c2-a2＝1，
所以双曲线的方程为x23－y2＝1(x≥3)，
则过P(0，－1)且斜率为k的直线方程为y＝kx－1.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由x23-y2=1，y=kx-1，
消去y，整理得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0，
所以1-3k2≠0， Δ=6k2+4×61-3k2＞0，x1+x2=-6k1-3k2＞0， x1x2=-61-3k2＞0，
解得33＜k＜63，即k的取值范围为33，63．
10．(多选题)已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则( )
A．y1y2为定值
B．k1k2为定值
C．y1＋y2为定值
D．k1＋k2＋t为定值
ABD 解析：由x=ty+4，y2=4x，得y2－4ty－16＝0，
Δ＝16t2＋64＞0，
则y1+y2=4t，y1y2=-16.
对于A，y1y2＝－16为定值，故A正确；
对于B，k1k2＝y1y2x1x2＝y1y2y12y2216＝16y1y2＝－1为定值，故B正确；
对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，故C错误；
对于D，k1＋k2＋t＝y1x1＋y2x2＋t＝x2y1+x1y2x1x2＋t＝ty2+4y1+ty1+4y2y12y2216＋t
＝2ty1y2+4y1+y2y12y2216＋t＝-32t+16t16＋t
＝－t＋t＝0为定值，故D正确．
11．已知点A(0，1)，抛物线C：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA与抛物线C的准线相交于点N.若|FM|∶|MN|＝1∶2，则实数a的值为 ．
433 解析：依题意得抛物线的焦点F的坐标为a4，0，过点M作抛物线的准线的垂线，垂足为K(图略)，
由抛物线的定义知|MF|＝|MK|.
因为|FM|∶|MN|＝1∶2，所以|KN|∶|KM|＝3∶1.
又kFA＝0-1a4-0＝－4a，kFN＝－KNKM＝－3，F，N，A三点共线，
所以－4a＝－3，解得a＝433．
12．椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，斜率为12的直线l过左焦点F1且交C于A，B两点，且△ABF2内切圆的周长是2π.若椭圆C的离心率为12，则|AB|＝ ．
45 解析：如图所示，由椭圆定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，则△ABF2的周长为4a.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
△ABF2内切圆的半径为r，
又△ABF2内切圆的周长是2π，故2π＝2πr，则r＝1.
由题意得12×4a×r＝12×2c×|y1－y2|，
得|y1－y2|＝2ac＝2e＝4，
所以|AB|＝1+1k2|y1－y2|＝45.
13．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点P(5，23)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0，2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为22，求直线l的方程．
解：(1)依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，
则双曲线C的方程为x2a2－y24-a2＝1(0＜a2＜4)．
将点P(5，23)代入上式，得25a2－234-a2＝1，
解得a2＝2或a2＝50(舍去)，
故双曲线C的方程为x22－y22＝1.
(2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，
代入双曲线C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6＝0.
因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，
所以1-k2≠0， Δ=-4k2+241-k2＞0，
解得k≠±1， -3＜k＜3．(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k1-k2，x1x2＝-61-k2，
所以|AB|＝1+k2·x1+x22-4x1x2
＝1+k2·22×3-k21-k2．
又原点O到直线l的距离d＝21+k2，
所以S△OAB＝12d·|AB|＝12×21+k2×1+k2×22×3-k21-k2＝22×3-k21-k2．
又S△OAB＝22，即3-k21-k2＝1，
所以k4－k2－2＝0，解得k＝±2，满足(*)．
故满足条件的直线l有两条，
其方程分别为y＝2x＋2和y＝－2x＋2.
14．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，长轴长为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线l过定点E14，0，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围．
解：(1)因为椭圆的离心率为e＝ca＝12，
长轴长为2a＝4，
所以a＝2，c＝1，则b2＝3，
所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.
(2)易知直线的斜率k存在，设直线l的方程为y＝kx-14，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称．
当k≠0时，有kAB＝y1-y2x1-x2＝－1k，
设线段AB的中点坐标为(x0，y0)，因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，
所以x124+y123=1，x224+y223=1，
两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)·(y1－y2)，即3kx0＝4y0.
又y0＝kx0-14 ，
解得x0＝1，y0＝3k4．
因为线段AB的中点在椭圆内部，
所以x024＋y023＜1，即14＋3k423＜1，
解得－2＜k＜0或0＜k＜2.
综上，直线l的斜率k的取值范围为(－2，2)．
代数法
即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标
几何法
即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数