新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系

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8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.直线与圆的位置关系
设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),
圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.

位置关系
几何法
代数法
相交
d　　r 
Δ　　0 
相切
d　　r 
Δ　　0 
相离
d　　r 
Δ　　0 


2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0),
圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0).

位置关系
几何法:圆心距d与r1,r2的关系
代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
　　　　　 
　　　　　 
外切
　　　　　 
一组实数解
相交
　　　　　 
两组不同的实数解
内切
d=|r1-r2|(r1≠r2)
　　　　　 
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
　　　　　 


1.当两圆相交时,两圆方程(x2,y2项的系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.
2.过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
3.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
4.过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2.
5.当直线与圆相交时,弦心距d,半径r,弦长的一半12l满足关系式r2=d2+12l2.
6.同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.
7.过直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).
8.过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F>0)和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22-4F>0)交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.(　　)
(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(　　)
(3)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.(　　)
(4)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.(　　)
(5)联立两相交圆的方程,并消去二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在直线的方程.(　　)
2.(2020四川宜宾第四中学校高三月考)已知直线l:x-2y+a-1=0与圆(x-1)2+(y+2)2=9相交所得弦长为4,则a=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-9 B.1
C.1或-2 D.1或-9
3.若直线l是圆x2+y2=4在点(-1,3)处的切线,P是圆x2+y2-4x+3=0上的动点,则点P到直线l的距离的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.2
4.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=(　　)
A.21 B.19 C.9 D.-11
5.(2020浙江学军中学高三模考)若圆x2+y2+2ax+y-1=0的圆心在直线y=x上,则a的值为　　　　　,半径为　　　　　. 
关键能力学案突破　

考点
直线与圆的位置关系及其应用

【例1】(1)(多选)若直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值可以是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-2 B.2 C.-12 D.12
(2)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是(　　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
(3)平行于直线x+y+1=0,且与圆x2+y2=4相切的直线的方程为(　　)
A.x+y+22=0
B.x+y-2=0
C.x+y+22=0或x+y-22=0
D.x+y+2=0或x+y-2=0
解题心得1.判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数或圆心到直线的距离的表达较烦琐,则用代数法.
2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式(组)解决.
对点训练1(1)“a=3”是“直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为(　　)
A.相离 B.相切
C.相交 D.以上都有可能

考点
圆的切线与弦长问题

【例2】已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求过点M的圆的切线方程;
(2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;
(3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为23,求a的值.










解题心得1.求过某点的圆的切线问题,应首先确定点与圆的位置关系,然后求切线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线.
2.求直线被圆所截得的弦长,通常考虑由弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形,利用勾股定理来解决问题.
对点训练2(1)已知P是直线x+y+2=0上的动点,过点P引圆x2+y2=1的切线,则切线长的最小值为　　　　　. 
(2)已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若弦AB的长的最小值为2,则k的值为　　　　　. 

考点
圆与圆的位置关系及其应用

【例3】(1)圆x2+y2-4x=0与圆x2+y2+4x+3=0的公切线共有(　　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
(2)已知两点A(a,0),B(-a,0)(a>0),若曲线x2+y2-23x-2y+3=0上存在点P,使得∠APB=90°,则正实数a的取值范围为(　　)
A.(0,3] B.[1,3]
C.[2,3] D.[1,2]
(3)若圆C:x2+y2=5-m与圆E:(x-3)2+(y-4)2=16有三条公切线,则m的值为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.6
解题心得1.判断两圆的位置关系,通常用几何法,从圆心距d与两圆半径的和、差的关系入手.如果用代数法,那么从方程组解的个数来判断,但有时不能得到准确结论.
2.两圆位置关系中的含参问题有时需要将问题进行转化,要注重数形结合思想的应用.
对点训练3(1)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
(2)(2020河南安阳模拟)已知圆C1:x2+y2-kx+2y=0与圆C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在直线恒过点P(a,b),且点P在直线mx-ny-2=0上,则mn的取值范围为(　　)
A.0,14 B.0,14
C.-∞,14 D.-∞,14

考点
直线与圆的综合问题

【例4】已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
(1)求圆C1的圆心坐标.
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
(3)是否存在实数k,使得直线l:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.














解题心得1.利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化),把它转化为代数问题,通过代数的计算,使问题得到解决.
2.直线与圆和平面几何联系十分紧密,可充分考虑平面几何知识的运用,如在直线与圆相交的有关线段长度计算中,要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长放到一起综合考虑.
对点训练4(2020浙江杭州第二中学高三期中)已知圆心在x轴上的圆C与直线l:x+22y-10=0相切于点E(m,22),圆P:x2+(a+2)x+y2-ay+a+1=0.
(1)求圆C的标准方程.
(2)已知a>1,圆P与x轴相交于两点M,N(点M在点N的右侧).过点M任作一条倾斜角不为0的直线与圆C相交于A,B两点.问:是否存在实数a,使得∠ANM=∠BNM?若存在,求出实数a的值,若不存在,请说明理由.













8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.<　>　=　=　>　<
2.d>r1+r2　无实数解　d=r1+r2　|r1-r2| 考点自诊
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.D　由已知得圆的半径为3,圆心坐标为(1,-2).因为直线l:x-2y+a-1=0与圆(x-1)2+(y+2)2=9相交所得弦长为4,所以32-422=|1+4+a-1|52,即a2+8a-9=0,解得a=1或a=-9.故选D.
3.D　圆x2+y2=4在点(-1,3)处的切线方程为-x+3y=4,即直线l:x-3y+4=0.因为圆x2+y2-4x+3=0的圆心坐标为(2,0),半径r=1,所以圆心(2,0)到直线l的距离d=|2-0+4|1+3=3.又点P在圆x2+y2-4x+3=0上,所以点P到直线l的距离的最小值为d-r=3-1=2.故选D.
4.C　由已知得圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=1.因为圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆C2的圆心为C2(3,4),半径r2=25-m(m<25).
所以|C1C2|=32+42=5.由两圆外切得r1+r2=|C1C2|,即1+25-m=5,解得m=9.
5.12　62　由x2+y2+2ax+y-1=0,得(x+a)2+y+122=54+a2,故圆心坐标为-a,-12.
由题意可知-a=-12,所以a=12,半径r=54+14=62.
关键能力·学案突破
例1(1)BD　(2)A　(3)C　(1)∵x2+y2-2x-2y+1=0可化为(x-1)2+(y-1)2=1,
∴圆心坐标为(1,1),半径为1.
∵直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,∴圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离等于圆的半径,
即|3×1+4×1-b|32+42=|7-b|5=1,解得b=2或b=12.故选BD.
(2)(方法1)由mx-y+1-m=0,x2+(y-1)2=5,消去y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,因为Δ=16m2+20>0,所以直线l与圆C相交.
(方法2)由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离d=|-m|m2+1<1<5,故直线l与圆C相交.
(方法3)易知直线l过定点(1,1).因为12+(1-1)2<5,所以点(1,1)在圆的内部,故直线l与圆C相交.
(3)圆x2+y2=4的圆心为原点O,半径为2.设所求直线的方程为x+y+m=0(m≠1),由题意可知|m|2=2,解得m=±22.
故所求直线的方程为x+y+22=0或x+y-22=0.
对点训练1(1)A　(2)C　(1)由直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切,得|a-3+4|2=22,即|a+1|=4,解得a=3或a=-5.故“a=3”是“直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切”的充分不必要条件.
(2)直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2).因为12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0,所以点(1,-2)在圆x2+y2-2x+4y=0内,所以直线2tx-y-2-2t=0与圆x2+y2-2x+4y=0相交.
例2解(1)由题意知圆心的坐标为(1,2),半径r=2.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=3.由圆心(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时直线与圆相切.
当直线的斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.
由题意知|k-2+1-3k|k2+1=2,解得k=34.
所以直线方程为y-1=34(x-3),
即3x-4y-5=0.故过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.
(2)由题意得|a-2+4|a2+1=2,
解得a=0或a=43.
(3)因为圆心(1,2)到直线ax-y+4=0的距离为|a+2|a2+1,
所以|a+2|a2+12+2322=4,
解得a=-34.
对点训练2(1)1　(2)462　(1)圆x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1,要使切线长最小,只需点P到圆心的距离最小,而点P到圆心的距离的最小值为圆心到直线的距离d=0+0+21+1=2,
故切线长的最小值为2-1=1.
(2)

圆C:x2+y2-2y=0的圆心为C(0,1),半径r=1,如图所示,根据圆的性质知AB⊥PC,
∵|AB|=2|PB|sin∠BPC=2|PB|×|CB||PC|=2×|PB||PC|,
∴|AB|2=4×|PB|2|PC|2=4|PC|2-1|PC|2=41-1|PC|2,当|PC|取得最小值时,|AB|取得最小值2,即有2=41-1|PC|2,解得|PC|=2,此时圆心C到直线的距离就是|PC|的最小值,即51+k2=2,解得k=462(负值舍去).
例3(1)D　(2)B　(3)C　(1)由已知得圆x2+y2-4x=0的圆心坐标为(2,0),半径为2,圆x2+y2+4x+3=0的圆心坐标为(-2,0),半径为1,故圆心距为4,两圆半径和为3.因为4>3,所以两圆外离,所以两圆的公切线共有4条.故选D.
(2)因为∠APB=90°,所以点P在圆x2+y2=a2上.又点P在圆(x-3)2+(y-1)2=1上,所以|a-1|≤2≤a+1,
解得1≤a≤3.故选B.
(3)由题意可知两圆外切,圆C的圆心坐标为(0,0),半径为5-m,圆E的圆心坐标为(3,4),半径为4,则32+42=5-m+4,解得m=4.故选C.
对点训练3(1)B　(2)D　(1)由题意得圆M的标准方程为x2+(y-a)2=a2(a>0),圆心(0,a)到直线x+y=0的距离d=2a2,所以2a2-a22=22,解得a=2.
故圆M与圆N的圆心距|MN|=2.
因为2-1<2<2+1,所以两圆相交.
(2)将圆C1与圆C2的方程相减得公共弦所在直线的方程为kx+(k-2)y-4=0,即k(x+y)-(2y+4)=0.
由2y+4=0,x+y=0,得x=2,y=-2,
故点P(2,-2),因此2m+2n-2=0,即m+n=1,则mn≤m+n22=14,当且仅当m=n=12时,等号成立.
故mn的取值范围为-∞,14.
例4解(1)因为圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0),则x0=x1+x22,y0=y1+y22.由题意可知直线l的斜率必存在,
设直线l的方程为y=tx.
将上述方程代入圆C1的方程,
化简得(1+t2)x2-6x+5=0.
由题意可得x1+x2=61+t2,Δ=36-20(1+t2)>0,所以x0=31+t2,代入直线l的方程,得y0=3t1+t2.因为x02+y02=9(1+t2)2+9t2(1+t2)2=9(1+t2)(1+t2)2=91+t2=3x0,所以x0-322+y02=94.由Δ>0解得t2<45.又t2≥0,所以53 (3)存在实数k满足条件.由(2)知,曲线C是在区间53,3上的一段圆弧.
如图,D53,253,E53,-253,F(3,0),直线l过定点G(4,0).

联立直线l的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.
由Δ=0,解得k=±34,此时直线l与曲线C相切,由根与系数的关系易得切点的横坐标为x=125∈53,3,
又kDG=-257,kEG=257,由图可知要使直线l与曲线C只有一个交点,则k∈-257,257∪-34,34.
故k的取值范围为-257,257∪-34,34.
对点训练4解(1)设圆心C(c,0),∵点E(m,22)在直线l:x+22y-10=0上,
∴m+22×22-10=0,解得m=2.
∴点E(2,22).
由题意得|c-10|3=(c-2)2+8,解得c=1.∴圆心C(1,0),半径r=3.
故圆C的标准方程为(x-1)2+y2=9.
(2)在圆P的方程中,令y=0,可得x2+(a+2)x+a+1=0,
解得x1=-1-a,x2=-1.
∵a>1,点M在点N的右侧,
∴点N(-1-a,0),M(-1,0).
设点A(x1,y1),B(x2,y2),过点M,倾斜角不为0且不垂直于x轴的直线的方程为y=k(x+1)(k≠0),代入圆C的方程,消去y,得(1+k2)x2+2(k2-1)x+k2-8=0,
∴x1+x2=2(1-k2)1+k2,x1x2=k2-81+k2.
设直线AN,BN的斜率分别为k1,k2,则k1=y1x1+1+a,k2=y2x2+1+a,
∴k1+k2=k(x1+1)x1+1+a+k(x2+1)x2+1+a=kx1+1x1+1+a+x2+1x2+1+a=k·(x1+1)(x2+1+a)+(x2+1)(x1+1+a)(x1+1+a)(x2+1+a)=k·2x1x2+(2+a)(x1+x2)+2+2a(x1+1+a)(x2+1+a).
令t=2x1x2+(2+a)(x1+x2)+2+2a=2k2-161+k2+2(2+a)(1-k2)1+k2+2+2a=4a-101+k2.由∠ANM=∠BNM,知k1+k2=0,则t=0,即4a-101+k2=0,解得a=52.
当直线垂直于x轴时,显然满足∠ANM=∠BNM.故存在实数a=52满足题意.