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苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性教学课件ppt
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这是一份苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性教学课件ppt，共39页。
知识点4 角平分线的性质
1.(2024江苏无锡梁溪月考)如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若点P到BC的距离是4,则AD的长为 ( )
A.8 B.6 C.4 D.2
解析 过点P作PE⊥BC于E,则PE=4.∵AB∥CD,PA⊥AB,∴ PD⊥CD.∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,∴PA=PE,PD =PE,∴PE=PA=PD.∵PA+PD=AD,∴AD=2PE=8.故选A.
2.(2022北京中考)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB. 若AC=2,DE=1,则S△ACD= .
解析 过D点作DH⊥AC于H,如图, ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DH⊥AC,∴DH=DE=1,∴S△ACD= ×2×1=1.故答案为1.
3.(新独家原创)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以点A为圆心,适 当长为半径作弧,交AB于点F,交AC于点E,分别以点E,F为圆 心,大于 EF长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部交于点G,作射线AG交BC于点D.若AC=5,BC=12,AB=13,则CD= .
解析 如图,过D作DH⊥AB于H.∵AD平分∠CAB,∴CD= DH.∵S△ABC= AC·BC=S△ACD+S△ABD= AC·CD+ AB·DH,∴AC·BC=AC·CD+AB·DH.设CD=DH=x,∴5×12=5x+13x,∴x= ,即CD= .
4.(教材变式·P58T9)如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB, 垂足为E,AB=12,BC=8.(1)求△CBD与△ABD的面积之比.(2)若△ABC的面积为50,求DE的长.
解析 (1)如图,过点D作DF⊥BC于F. ∵BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.∵AB=12,BC=8,∴S△CBD∶S△ABD= ∶ =BC∶AB=8∶12=2∶3,∴△CBD与△ABD的面积之比2∶3.
(2)∵△ABC的面积为50,△CBD与△ABD的面积之比为2∶3, ∴△ABD的面积为30.又∵AB=12,∴ ×12DE=30,∴DE=5.
5.(2024江苏扬州广陵月考)如图,△ABC中,AD平分∠BAC, DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.(1)求证:BE=CF.(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长.
解析 (1)证明:如图,连接BD,CD. ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠BED=∠ CFD=90°.∵DG⊥BC且平分BC,∴BD=CD.在Rt△BED与Rt △CFD中, ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴BE=CF.
(2)∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD,在△AED和△AFD中, ∴△AED≌△AFD(AAS),∴AE=AF.设BE=x,则CF=x.∵AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF,∴5-x=3 +x,解得x=1,∴BE=1,∴AE=AB-BE=5-1=4.
6.(2024江苏南通如皋期末)已知△ABC,两个完全一样的三角 板如图摆放,它们的一组对应直角边分别在AB,AC上,且这组 对应边所对的顶点重合于点M,点M一定在 ( ) A.∠A的平分线上 B.AC边的高上C.BC边的垂直平分线上 D.AB边的中线上
知识点5 角平分线的判定
解析 如图,连接AM. 由题意得,MG=MH,MG⊥AB,MH⊥AC,∴AM平分∠BAC.故 选A.
7.(2024江苏徐州铜山月考)如图,已知:△ABC的两条外角平 分线交于点D.求证:AD是∠BAC的平分线.
证明 如图,分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC, 垂足分别为E、F、G,∵BD平分∠CBE,DE⊥BE,DF⊥BC,∴DE=DF.同理DG=DF, ∴DE=DG,∴点D在∠EAG的平分线上,∴AD是∠BAC的平 分线.
8.(2024江苏南通海安期末,14,★☆☆)如图,AD是△ABC的角 平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=9,DE=2,AB=5,则AC的长是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5
解析 过D作DF⊥AC于F. ∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DF=DE=2. ∵S△ADB= AB·DE= ×5×2=5,△ABC的面积为9,∴△ADC的面积为9-5=4,∴ AC·DF=4,∴ AC×2=4,∴AC=4,故选C.
9.(2024江苏南京秦淮月考,9,★★☆)如图,∠EAC和∠ACF是 △ABC的外角,∠ABC、∠EAC的平分线BP、AP交于点P, PM⊥BE,PN⊥BF,则下列结论正确的个数为 ( )
①CP平分∠ACF;②∠ABC+2∠APC=180°;③∠ACB=2∠ APB;④S△PAC=S△MAP+S△NCP.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ①过点P作PD⊥AC于D. ∵BP平分∠ABC,AP平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC,∴PM=PN,PM=PD,∴PN=PD.
∵PN⊥BF,PD⊥AC,∴点P在∠ACF的平分线上.故①正确.②∵PM⊥BE,PN⊥BF,∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°,∴ ∠ABC+∠MPN=180°.在Rt△PAM和Rt△PAD中, ∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),∴∠APM=∠APD.同理,Rt△ PCD≌Rt△PCN,∴∠CPD=∠CPN,∴∠MPN=2∠APC,∴∠ ABC+2∠APC=180°.故②正确.③∵AP平分∠CAE,BP平分∠ ABC,∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM,∠PAM= ∠ABC+
∠APB,∴∠ACB=2∠APB.故③正确.④由②可知Rt△PAM≌ Rt△PAD,Rt△PCD≌Rt△PCN,∴S△APD=S△APM,S△CPD=S△CPN,∴S△APM+S△CPN=S△PAC.故④正确.故选D.
10.(2024江苏南京建邺月考,10,★☆☆)如图,OP是∠AOB的 平分线,PM⊥OB,N是射线OA上的动点,若PM=2,则PN的最小 值为 .
解析 过P点作PH⊥OA于H,如图, ∵OP是∠AOB的平分线,PM⊥OB,PH⊥OA,∴PH=PM=2.∵点N是射线OA上的一个动点,∴PN的最小值为2.故答案为2.
11.(2024江苏盐城东台期中,12,★☆☆)如图,在△ABC中,CD 是边AB上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=8,DE=2,则△ BCE的面积等于 .
解析 如图,过E点作EF⊥BC于点F. ∵CD是边AB上的高,∴CD⊥BA.∵BE平分∠ABC,EF⊥BC, ∴DE=EF.∵DE=2,∴EF=2.∵BC=8,∴S△BCE= = =8.故答案为8.
12.(2023江苏苏州期中,25,★★☆)如图,在∠AOB的两边 OA、OB上分别取点M、N,连接MN.若MP平分∠AMN,NP平 分∠MNB.(1)求证:OP平分∠AOB.(2)若MN=8,△PMN与△OMN的面积分别是16和24,求线段 OM与ON的长度之和.
解析 (1)证明:过点P作PC⊥OA,PD⊥MN,PE⊥OB,垂足分 别为点C,D,E,如图, ∵MP平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN,∴PC=PD.∵NP平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,∴PD=PE,
∴PC=PE,∴OP平分∠AOB.(2)∵△PMN的面积是16,MN=8,∴ MN·PD=16,即 ×8×PD=16,∴PD=4,∴PE=PC=PD=4.∵△OMN的面积是24,∴四边形MONP的面积=△PMN的面积+△OMN的面积=16+ 24=40,∴△POM的面积+△PON的面积=40,
∴ OM·PC+ ON·PE=40,∴ OM×4+ ON×4=40,∴OM+ON=20,∴线段OM与ON的长度之和为20.
13.(推理能力)已知点C是∠MAN的平分线上一点,∠BCD的 两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B、D两点,且∠ ABC+∠ADC=180°.过点C作CE⊥AM,垂足为E.(1)如图①,当点E在线段AB上时,求证:BC=DC.(2)如图②,当点E在线段AB的延长线上时,探究线段AB、AD 与BE之间的数量关系.
(3)如图③,在(2)的条件下,若∠MAN=60°,连接BD,作∠ABD 的平分线BF交AD于点F,交AC于点O,连接DO并延长交AB于 点G,若BG=1,DF=2,求线段DB的长.
解析 (1)证明:如图,过点C作CF⊥AN,垂足为F. ∵AC平分∠MAN,CE⊥AB,CF⊥AN,∴CE=CF,∠CEB=∠CFD=90°,∵∠CBE+∠ADC=180°,∠CDF+∠ADC=180°,∴∠CBE=∠CDF.
在△BCE和△DCF中, ∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BC=DC.(2)AD-AB=2BE.理由:如图,过点C作CF⊥AD,垂足为F.
∵AC平分∠MAN,CE⊥AM,CF⊥AD,∴CE=CF,∠CFA=∠ CEA=90°,易证△ACE≌△ACF,∴AE=AF.∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠CBE=180°,∴∠CDF=∠CBE.在△BCE和△DCF中, ∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BE=DF,
∴AD=AF+DF=AE+DF=AB+BE+DF=AB+2BE,∴AD-AB=2BE.(3)如图,在BD上截取BH=BG,连接OH. ∵BF平分∠ABD,∴∠ABF=∠DBF,在△OBH和△OBG中,
∴△OBH≌△OBG(SAS),∴∠OHB=∠OGB.∵AO是∠MAN的平分线,BO是∠ABD的平分线,∴DO平分∠ADB,∴∠ODH=∠ODF.∵∠OHB=∠ODH+∠DOH,∠OGB=∠ODF+∠DAB,∴∠DOH=∠DAB=60°,∴∠GOH=180°-∠DOH=120°,∴∠BOG=∠BOH=60°,∴∠DOF=∠BOG=60°,
知识点4 角平分线的性质
1.(2024江苏无锡梁溪月考)如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若点P到BC的距离是4,则AD的长为 ( )
A.8 B.6 C.4 D.2
解析 过点P作PE⊥BC于E,则PE=4.∵AB∥CD,PA⊥AB,∴ PD⊥CD.∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,∴PA=PE,PD =PE,∴PE=PA=PD.∵PA+PD=AD,∴AD=2PE=8.故选A.
2.(2022北京中考)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB. 若AC=2,DE=1,则S△ACD= .
解析 过D点作DH⊥AC于H,如图, ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DH⊥AC,∴DH=DE=1,∴S△ACD= ×2×1=1.故答案为1.
3.(新独家原创)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以点A为圆心,适 当长为半径作弧,交AB于点F,交AC于点E,分别以点E,F为圆 心,大于 EF长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部交于点G,作射线AG交BC于点D.若AC=5,BC=12,AB=13,则CD= .
解析 如图,过D作DH⊥AB于H.∵AD平分∠CAB,∴CD= DH.∵S△ABC= AC·BC=S△ACD+S△ABD= AC·CD+ AB·DH,∴AC·BC=AC·CD+AB·DH.设CD=DH=x,∴5×12=5x+13x,∴x= ,即CD= .
4.(教材变式·P58T9)如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB, 垂足为E,AB=12,BC=8.(1)求△CBD与△ABD的面积之比.(2)若△ABC的面积为50,求DE的长.
解析 (1)如图,过点D作DF⊥BC于F. ∵BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.∵AB=12,BC=8,∴S△CBD∶S△ABD= ∶ =BC∶AB=8∶12=2∶3,∴△CBD与△ABD的面积之比2∶3.
(2)∵△ABC的面积为50,△CBD与△ABD的面积之比为2∶3, ∴△ABD的面积为30.又∵AB=12,∴ ×12DE=30,∴DE=5.
5.(2024江苏扬州广陵月考)如图,△ABC中,AD平分∠BAC, DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.(1)求证:BE=CF.(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长.
解析 (1)证明:如图,连接BD,CD. ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠BED=∠ CFD=90°.∵DG⊥BC且平分BC,∴BD=CD.在Rt△BED与Rt △CFD中, ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴BE=CF.
(2)∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD,在△AED和△AFD中, ∴△AED≌△AFD(AAS),∴AE=AF.设BE=x,则CF=x.∵AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF,∴5-x=3 +x,解得x=1,∴BE=1,∴AE=AB-BE=5-1=4.
6.(2024江苏南通如皋期末)已知△ABC,两个完全一样的三角 板如图摆放,它们的一组对应直角边分别在AB,AC上,且这组 对应边所对的顶点重合于点M,点M一定在 ( ) A.∠A的平分线上 B.AC边的高上C.BC边的垂直平分线上 D.AB边的中线上
知识点5 角平分线的判定
解析 如图,连接AM. 由题意得,MG=MH,MG⊥AB,MH⊥AC,∴AM平分∠BAC.故 选A.
7.(2024江苏徐州铜山月考)如图,已知:△ABC的两条外角平 分线交于点D.求证:AD是∠BAC的平分线.
证明 如图,分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC, 垂足分别为E、F、G,∵BD平分∠CBE,DE⊥BE,DF⊥BC,∴DE=DF.同理DG=DF, ∴DE=DG,∴点D在∠EAG的平分线上,∴AD是∠BAC的平 分线.
8.(2024江苏南通海安期末,14,★☆☆)如图,AD是△ABC的角 平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=9,DE=2,AB=5,则AC的长是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5
解析 过D作DF⊥AC于F. ∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DF=DE=2. ∵S△ADB= AB·DE= ×5×2=5,△ABC的面积为9,∴△ADC的面积为9-5=4,∴ AC·DF=4,∴ AC×2=4,∴AC=4,故选C.
9.(2024江苏南京秦淮月考,9,★★☆)如图,∠EAC和∠ACF是 △ABC的外角,∠ABC、∠EAC的平分线BP、AP交于点P, PM⊥BE,PN⊥BF,则下列结论正确的个数为 ( )
①CP平分∠ACF;②∠ABC+2∠APC=180°;③∠ACB=2∠ APB;④S△PAC=S△MAP+S△NCP.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ①过点P作PD⊥AC于D. ∵BP平分∠ABC,AP平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC,∴PM=PN,PM=PD,∴PN=PD.
∵PN⊥BF,PD⊥AC,∴点P在∠ACF的平分线上.故①正确.②∵PM⊥BE,PN⊥BF,∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°,∴ ∠ABC+∠MPN=180°.在Rt△PAM和Rt△PAD中, ∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),∴∠APM=∠APD.同理,Rt△ PCD≌Rt△PCN,∴∠CPD=∠CPN,∴∠MPN=2∠APC,∴∠ ABC+2∠APC=180°.故②正确.③∵AP平分∠CAE,BP平分∠ ABC,∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM,∠PAM= ∠ABC+
∠APB,∴∠ACB=2∠APB.故③正确.④由②可知Rt△PAM≌ Rt△PAD,Rt△PCD≌Rt△PCN,∴S△APD=S△APM,S△CPD=S△CPN,∴S△APM+S△CPN=S△PAC.故④正确.故选D.
10.(2024江苏南京建邺月考,10,★☆☆)如图,OP是∠AOB的 平分线,PM⊥OB,N是射线OA上的动点,若PM=2,则PN的最小 值为 .
解析 过P点作PH⊥OA于H,如图, ∵OP是∠AOB的平分线,PM⊥OB,PH⊥OA,∴PH=PM=2.∵点N是射线OA上的一个动点,∴PN的最小值为2.故答案为2.
11.(2024江苏盐城东台期中,12,★☆☆)如图,在△ABC中,CD 是边AB上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=8,DE=2,则△ BCE的面积等于 .
解析 如图,过E点作EF⊥BC于点F. ∵CD是边AB上的高,∴CD⊥BA.∵BE平分∠ABC,EF⊥BC, ∴DE=EF.∵DE=2,∴EF=2.∵BC=8,∴S△BCE= = =8.故答案为8.
12.(2023江苏苏州期中,25,★★☆)如图,在∠AOB的两边 OA、OB上分别取点M、N,连接MN.若MP平分∠AMN,NP平 分∠MNB.(1)求证:OP平分∠AOB.(2)若MN=8,△PMN与△OMN的面积分别是16和24,求线段 OM与ON的长度之和.
解析 (1)证明:过点P作PC⊥OA,PD⊥MN,PE⊥OB,垂足分 别为点C,D,E,如图, ∵MP平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN,∴PC=PD.∵NP平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,∴PD=PE,
∴PC=PE,∴OP平分∠AOB.(2)∵△PMN的面积是16,MN=8,∴ MN·PD=16,即 ×8×PD=16,∴PD=4,∴PE=PC=PD=4.∵△OMN的面积是24,∴四边形MONP的面积=△PMN的面积+△OMN的面积=16+ 24=40,∴△POM的面积+△PON的面积=40,
∴ OM·PC+ ON·PE=40,∴ OM×4+ ON×4=40,∴OM+ON=20,∴线段OM与ON的长度之和为20.
13.(推理能力)已知点C是∠MAN的平分线上一点,∠BCD的 两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B、D两点,且∠ ABC+∠ADC=180°.过点C作CE⊥AM,垂足为E.(1)如图①,当点E在线段AB上时,求证:BC=DC.(2)如图②,当点E在线段AB的延长线上时,探究线段AB、AD 与BE之间的数量关系.
(3)如图③,在(2)的条件下,若∠MAN=60°,连接BD,作∠ABD 的平分线BF交AD于点F,交AC于点O,连接DO并延长交AB于 点G,若BG=1,DF=2,求线段DB的长.
解析 (1)证明:如图,过点C作CF⊥AN,垂足为F. ∵AC平分∠MAN,CE⊥AB,CF⊥AN,∴CE=CF,∠CEB=∠CFD=90°,∵∠CBE+∠ADC=180°,∠CDF+∠ADC=180°,∴∠CBE=∠CDF.
在△BCE和△DCF中, ∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BC=DC.(2)AD-AB=2BE.理由:如图,过点C作CF⊥AD,垂足为F.
∵AC平分∠MAN,CE⊥AM,CF⊥AD,∴CE=CF,∠CFA=∠ CEA=90°,易证△ACE≌△ACF,∴AE=AF.∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠CBE=180°,∴∠CDF=∠CBE.在△BCE和△DCF中, ∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BE=DF,
∴AD=AF+DF=AE+DF=AB+BE+DF=AB+2BE,∴AD-AB=2BE.(3)如图,在BD上截取BH=BG,连接OH. ∵BF平分∠ABD,∴∠ABF=∠DBF,在△OBH和△OBG中,
∴△OBH≌△OBG(SAS),∴∠OHB=∠OGB.∵AO是∠MAN的平分线,BO是∠ABD的平分线,∴DO平分∠ADB,∴∠ODH=∠ODF.∵∠OHB=∠ODH+∠DOH,∠OGB=∠ODF+∠DAB,∴∠DOH=∠DAB=60°,∴∠GOH=180°-∠DOH=120°,∴∠BOG=∠BOH=60°,∴∠DOF=∠BOG=60°,
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