苏科版八年级上册第二章 轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性多媒体教学课件ppt

这是一份苏科版八年级上册第二章 轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性多媒体教学课件ppt，共39页。
知识点3　等腰三角形的判定
1.(2024江苏南京联合体期中)在△ABC中,其两个内角如下, 则能判定△ABC为等腰三角形的是 (　　)A.∠A=40°,∠B=50°　    B.∠A=40°,∠B=60°C.∠A=40°,∠B=70°　    D.∠A=40°,∠B=80°
解析    A.180°-40°-50°=90°,故选项A错误;B.180°-40°-60°=80 °,故选项B错误;C.180°-40°-70°=70°,故选项C正确;D.180°-40 °-80°=60°,故选项D错误.故选C.
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,点D是AC上一点,连接 BD,∠DBC=60°,BD=4,则AD的长是 (　　) A.4　    B.5　    C.6　    D.8
解析　∵∠C=90°,∠DBC=60°,∴∠BDC=90°-∠DBC=30°.∵ ∠A=15°,∴∠ABD=∠BDC-∠A=15°,∴∠A=∠ABD,∴AD= BD=4.故选A.
3.某城市几条道路的位置关系如图所示,道路AB∥CD,道路 AB与AE的夹角∠BAE=54°,城市规划部门想新修一条道路 CE,要求使CF=EF,则∠E的度数为 (　　) A.23°　    B.25°　    C.27°　    D.30°
解析　∵AB∥CD,∴∠DFE=∠BAE=54°.当∠C=∠E时,CF= EF.∵∠DFE=∠C+∠E,∴∠E= ∠DFE= ×54°=27°.故选C.
4.将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形,若AB=6 cm,CB =5 cm,则AC=　　　    cm.
解析　如图,延长原长方形的边. ∵长方形的对边平行,∴∠1=∠ACB.由折叠的性质得,∠1= ∠ABC,∴∠ABC=∠ACB,∴AC=AB.∵AB=6 cm,∴AC=6 cm. 故答案为6.
5.(教材变式·P67T7)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BE平 分∠ABC交AC于E,CD平分∠ACB交BE于D,则图中有　　     个等腰三角形.
解析　∵AB=AC,∠A=36°,∴△ABC是等腰三角形,∴∠ACB =∠ABC=72°.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC=36°,∠A= ∠ABE,∴△ABE是等腰三角形.∵∠BEC=∠A+∠ABE=72°= ∠ACB,∴△BEC是等腰三角形.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD= ∠BCD=36°=∠EBC,∴△BCD是等腰三角形.∵∠EDC=∠ DBC+∠DCB=72°=∠DEC,∴△CDE是等腰三角形.综上,题 图中共有5个等腰三角形.
6.(分类讨论思想)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=40°,点D在 线段BC上运动(D不与B,C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE与 AC交于E.在点D的运动过程中,∠BDA的度数为　　　　     时,△ADE的形状是等腰三角形.
解析　∵AB=AC,∴∠C=∠B=40°,∴∠BAC=180°-40°-40°=1 00°.①当∠ADE=∠AED=40°时,AD=AE,∵∠AED>∠C,∴此情况不符合题意.②当∠DAE=∠DEA= ×(180°-40°)=70°时,DA=DE,∴∠BAD=100°-70°=30°,∴∠BDA=180°-30°-40°=110°.③当∠ADE=∠DAE=40°时,EA=ED,
∴∠BAD=100°-40°=60°,∴∠BDA=180°-60°-40°=80°.综上,当∠BDA的度数为110°或80°时,△ADE的形状是等腰 三角形.故答案为110°或80°.
7.如图,在△ABC中,AB=BC,点D在边AB的延长线上,过点D作 DF⊥AC于F,交BC于E.求证:BD=BE.
证明　∵DF⊥AC,∴∠DFA=∠EFC=90°.∵AB=BC,∴∠A= ∠C,∵∠D=90°-∠A,∠CEF=90°-∠C,∴∠D=∠CEF.∵∠BED=∠CEF,∴∠D=∠BED,∴BD=BE.
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,AE是∠ BAC的平分线,AE与CD交于点F.求证:△CEF是等腰三角形. 
证明　∵在△ABC中,∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°.∵CD 是AB边上的高,∴∠ACD+∠BAC=90°,∴∠B=∠ACD.∵AE 是∠BAC的平分线,∴∠BAE=∠EAC,∴∠B+∠BAE=∠ACD +∠EAC,即∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,∴△CEF是等腰三角形.
9.(2024江苏徐州丰县期末,7,★☆☆)如图,共有等腰三角形  (　　) A.4个　    B.5个　    C.3个　    D.2个
解析　根据三角形的外角的性质,得∠AOB=∠COD=72°,根 据三角形内角和定理,得∠ABO=∠DCO=36°,∴∠ABC=∠ DCB=36°+36°=72°,由等角对等边得等腰三角形有△AOB,△ COD,△ABC,△CBD和△BOC.故选B.
10.(2024北京朝阳期中,7,★★☆)如图,在△ABC中,∠B=∠C =36°,D、E分别是线段BC、AC上的一点,根据下列条件之一, 不能判定△ADE是等腰三角形的是 (　　) A.∠1=2∠2　    B.∠1+∠2=72°C.∠1+2∠2=90°　    D.2∠1=∠2+72°
解析　当∠1+2∠2=90°时,∠1=90°-2∠2,∴∠DAE=180°-∠B-∠C-∠1=108°-∠1=108°-(90°-2∠2)=18 °+2∠2,∠AED=36°+∠2,∠ADE=36°+∠1-∠2=36°+90°-2∠2 -∠2=126°-3∠2,∴∠DAE、∠AED、∠ADE之间的大小关系无法确定.故根 据选项C的条件不能判定△ADE是等腰三角形.故选C.
11.(2023江苏连云港东海三模,16,★★☆)在△ABC中,∠A=8 0°,当∠B=　　　　 　    时,△ABC是等腰三角形.
80°或50°或20°
解析　由题意得,①当∠B=80°=∠A时,△ABC是等腰三角形; ②当∠B=(180°-80°)÷2=50°时,△ABC是等腰三角形;③当∠B =180°-80°×2=20°时,△ABC是等腰三角形.故答案为80°或50° 或20°.
12.(分类讨论思想)(2024江苏淮安淮阴期中,16,★★★)如图, 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,射线AH⊥BC于点D,点M为 射线AH上一点,如果点M满足△ABM为等腰三角形,则∠ ABM的度数为　　　　 　　    .
40°或70°或100°
解析　∵AB=AC,∠BAC=80°,AH⊥BC于点D,∴∠BAD= ∠BAC=40°.如图1,当∠ABM=∠AMB= ×(180°-40°)=70°时,AM=AB,此时△ABM为等腰三角形.
如图2,当∠AMB=∠BAD=40°时, AB=MB,此时△ABM为等腰三角形,∴∠ABM=180°-∠BAD- ∠AMB=100°.如图3,当∠ABM=∠BAM=40°时,AM=BM,此时 △ABM为等腰三角形.综上,∠ABM的度数是40°或70°或100°.
13.(2024江苏苏州相城期中,25,★★☆)如图,已知AB=AC,∠ ACB=2∠BAC,点D为BC中点,CE平分∠ACB交AD于点I,交 AB于点E,连接BI.(1)求∠AIC的度数.(2)求证:△IBE为等腰三角形. 
解析　(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=2∠BAC,∴ ∠BAC+2∠BAC+2∠BAC=180°,∴∠BAC=36°,∴∠ACB=72°.∵CE平分∠ACB,∴∠ACI= ∠ACB=36°.∵点D为BC中点,∴AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD= ∠BAC=18°,∴∠AIC=180°-∠CAD-∠ACI=126°.
(2)证明:∵AB=AC,点D为BC中点,∴AD垂直平分BC,∴BI= CI,∴∠BID=∠CID.∵∠AIC=126°,∴∠BID=∠CID=180°-126°=54°,∴∠BIE=180°-54°-54°=72°.∵∠BEI=∠BAC+∠ACE=72°,∴∠BIE=∠BEI,∴BE=BI,即△IBE是等腰三角形.
14.(创新意识)规定:从三角形一个顶点引出一条射线与对边 相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三 角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个 与原三角形的三个角分别相等,我们把这条线段叫做这个三 角形的“等角分割线”.示例:如图①,在△ABC中,∠ACB=110°,∠A=40°,∠ABC=30°, CD把△ABC分割成△ADC和△CDB两个小三角形,其中,
∠CDB=110°,∠DCB=40°,∠ACD=∠ADC=70°.∵∠ACD=∠ ADC,∴AC=AD,即△ADC为等腰三角形,又∵∠B=∠B,∠DCB=∠A=40°,∠ACB=∠CDB=110°,∴△BDC与△BCA的三 个角分别相等,∴CD为△ABC的等角分割线.(1)如图②,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=50°,∠B=30°,求 证:CD为△ABC的等角分割线.(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的等角分割线,求∠ACB 的度数.
解析　(1)证明:∵在△ABC中,∠A=50°,∠B=30°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=100°.∵CD为角平分线,∴∠ACD=∠DCB= ∠ACB=50°,∴∠BCD=∠A,∠DCA=∠A,∴CD=AD,∴△ACD为等腰三角形.又∵∠BCD=50°,∠B=30°,∴∠BDC=180°-∠B-∠BCD=100°,∴∠BDC=∠ACB,∵∠B=∠B,∠BCD=∠A,
∴△BDC与△BCA的三个角分别相等,∴CD为△ABC的等角分割线.(2)∵∠A=48°,CD是△ABC的等角分割线,∴△ACD为等腰三角形或者△BCD为等腰三角形.当△ACD是等腰三角形时,①当AC=AD,∠A=∠BCD=48°时,如图1,则∠ACD=∠ADC= =66°,∴∠BDC=∠A+∠ACD=48°+66°=114°,
∠ACB=∠ACD+∠BCD=66°+48°=114°;  图1　   图2 
②当DA=DC,∠A=∠BCD=48°时,如图2,则∠ACD=∠A=∠BCD=48°,∴∠BDC=∠ACD+∠A=96°,∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°;③当CA=CD,∠A=∠BCD=48°时,则∠ADC=∠A=∠BCD=48°,∴AD∥BC,故此情况不存在.
当△BCD是等腰三角形时,①当BD=CD,∠B=∠ACD时,如图3,则∠ACD=∠B=∠BCD,由∠A+∠B+∠ACB=180°,得48°+3∠ACD=180°,∴∠ACD=44°,∴∠ACB=2∠ACD=88°; 图3 
　      图4②当BD=BC,∠ACD=∠B时,如图4,则∠BCD=∠BDC,设∠ACD=∠B=α,