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沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷专题06二次函数(难点)(原卷版+解析)
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这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷专题06二次函数(难点)(原卷版+解析)，共45页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列关于二次函数的图像和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点在函数图像上B．开口方向向上
C．对称轴是直线D．与直线有两个交点
2．若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．在关于 n 的函数中， n 为自然数． 当 n =9 时，S< 0；当 n =10 时，S > 0．则当 S 取值最小时， n 的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，离水平线的高度为60米．那么当运动员滑出点A后，运动员运动的水平距离为（ ）米时，运动员与小山坡的竖直距离为20米．
A．50B．C．D．
5．如图，抛物线（a＞0）与y轴交于点B，直线y＝x经过抛物线顶点D，过点B作BA∥x轴，与抛物线交于点C，与直线y＝x交于点A，若点C恰为线段AB中点，则线段OA长度为（ ）
A．B．3C．D．
6．已知二次函数，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．如图，二次函数的图像与轴负半轴交于，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若点，，均在函数图像上，则；④若方程的两根为，且，则；⑤点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的范围为．其中结论正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为，是抛物线上一点，且在轴上方，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③B．①④C．①③D．②④
10．抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
二、填空题
11．如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣1的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于 _______．
12．已知二次函数y＝（x+m）2+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_______．
13．二次函数在范围内的最大值为___．
14．如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90°后，与x轴相交于点C，我们将图像过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数的关联二次函数是（），那么这个一次函数的解析式为______．
15．二次函数y＝x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…∁n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An﹣1BnAn∁n都是正方形，则正方形An﹣1BnAn∁n的周长为_____．
16．如图，曲线是抛物线的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是抛物线顶点），曲线是双曲线（）的一部分，，两点的纵坐标相等，曲线与组成“小波浪”，由点开始不断重复出现“小波浪”，若点和是波浪线上的点，则的最大值为______．
17．如图，抛物线在第一象限内经过的整数点横坐标、纵坐标都为整数的点依次为，，，其中的横坐标为将抛物线沿直线L：平移得一系列抛物线，且同时满足下列两个条件：①抛物线的顶点，，，，都在直线L：上；②抛物线依次经过点，，，则顶点的坐标为________
18．如（图1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE—ED—DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图像如（图2）(其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段)，则下列结论： ①AD=BE=5；②当0＜t≤5时，y＝t 2 ；③cs∠ABE＝；④当t＝秒时，ABE∽QBP；⑤当BPQ的面积为时，时间的值是或；其中正确的结论是______．
三、解答题
19．如图，已知二次函数y＝﹣x2＋2mx＋3m2（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)点B的坐标为 ，点D的坐标为 ；（用含有m的代数式表示）
(2)连接CD，BC．
①若CB平分∠OCD，求二次函数的表达式；
②连接AC，若CB平分∠ACD，求二次函数的表达式．
20．如图， 在平面直角坐标系 中， 直线 与 牰交于点 ， 与 轴交于点 ． 点C为拋物线 的顶点．
(1)用含 的代数式表示顶点 的坐标：
(2)当顶点 在 内部， 且 时，求抛物线的表达式：
(3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移 个单位后，平移后的抛物线的顶 点 仍在 内， 求 的取值范围．
21．已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；
(3)抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线（）的图像经过点、，设它与轴的另一个交点为（点在点的左侧），且的面积是．
（1）求该抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）求的度数；
（3）若抛物线与轴相交于点，直线交轴于点，点在线段上，当与相似时，求的长．
23．如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函数y＝﹣x2＋bx的图象经过点A，顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；
（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；
（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．
24．已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．
（1）求直线y＝kx+b的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；
（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB的上方，求抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点A、与轴交于点，抛物线经过点A、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴，分别交直线于点、．
①当时，求点的坐标；
②连接交于点，当点是的中点时，求的值．
26．如图．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线于点E．
(1)求抛物的解析式；
(2)当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段EF的长度：
(3)如果将沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标．
专题06 二次函数（难点）
一、单选题
1．下列关于二次函数的图像和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点在函数图像上B．开口方向向上
C．对称轴是直线D．与直线有两个交点
【答案】D
【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【解析】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
2．若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】先求得a=1，推出，原式化简得，利用偶次方的非负性，即可求解．
【解析】解：∵二次函数的图象经过P（1，3），
∴，
∴a=1，
∴二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过Q（m，n），
∴即，
∴
，
∵，
∴的最小值为1，
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，非负数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
3．在关于 n 的函数中， n 为自然数． 当 n =9 时，S< 0；当 n =10 时，S > 0．则当 S 取值最小时， n 的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】的图象经过原点，由S＝0时9＜n＜10可得对称轴取值范围是在4.5−5之间，根据选项可得答案．
【解析】解：∵函数图象经过原点，
n＝9时，S＜0；当n＝10时，S＞0，
∴S＝0时，n＝0或n在9−10之间，且在对称轴右侧，S随n的增大而增大，
即图象对称轴在4.5−5之间，且开口向上，
∴当n＝5时，S取最小值．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质与最值，解题关键是读懂题意通过二次函数性质作答．
4．北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，离水平线的高度为60米．那么当运动员滑出点A后，运动员运动的水平距离为（ ）米时，运动员与小山坡的竖直距离为20米．
A．50B．C．D．
【答案】C
【分析】把、代入可得抛物线所对应的函数表达式；根据纵坐标的差为20，列出方程可得答案．
【解析】解：把、代入中，得
得解得
∴抛物线所对应的函数表达式．
设运动员运动的水平距离是x米，
此时小山坡的高度是，
运动员运动的水平高度是，
∴，
解得或0（舍去），
答：运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为20米．
故选C
【点睛】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
5．如图，抛物线（a＞0）与y轴交于点B，直线y＝x经过抛物线顶点D，过点B作BA∥x轴，与抛物线交于点C，与直线y＝x交于点A，若点C恰为线段AB中点，则线段OA长度为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】先根据抛物线顶点为，直线y＝x经过抛物线顶点D，求出A、B、C三点的坐标，再根据点A在直线y＝x上建立关于a的方程，求出a值，最后求得OA长度．
【解析】抛物线顶点为，直线y＝x经过抛物线顶点D，
，
又点C恰为线段AB中点
，；
又点A在直线y＝x上，
，
解得：或（舍去）；
，
．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数、正比例函数的性质，解决本题的关键是熟练应用各性质．
6．已知二次函数，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据所给函数解析式，得到一个新的二次函数，若即>0，则新的二次函数二次项系数要大于0，并且Δ<0，据此求解即可．
【解析】解：，
选项A：若，则，，无法判断的符号，故此选项不符合题意；
选项B：若，则，，则，故此选项符合题意；
选项C：若，则，则这个二次函数开口向下，不可能对于任意的x，都有，故此选项不符合题意；
同理选项D也不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．如图，二次函数的图像与轴负半轴交于，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若点，，均在函数图像上，则；④若方程的两根为，且，则；⑤点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的范围为．其中结论正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】观察图像得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，可得a＞0，c＜0，再由图像的对称轴为直线．可得b=-2a＜0，可得，故①正确；再由当x=-1时，y=a-b+c>0，可得3a+c>0，故②正确；然后根据点离对称轴水平距离越大，函数值y值越大，可得，故③错误；由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一个交点为，从而得到抛物线解析式为，再令，可得，如图，作直线，观察图像可得，故④正确；根据当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，可得，再由，可得，从而得到关于a的不等式，，故⑤错误；即可求解．
【解析】解：观察图像得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵图像的对称轴为直线．
∴，
∴b=-2a＜0，
∴，故①正确；
∵图像与轴负半轴交于，
∴当x=-1时，y=a-b+c>0，
∴a+2a+c>0，即3a+c>0，故②正确；
∵抛物线开口向上，
∴点离对称轴水平距离越大，函数值y值越大，
又∵|-3-1|=4，|3-1|=2，|0-1|=1，
∴，故③错误；
由抛物线对称性得，抛物线与x轴另一个交点为，
∴抛物线解析式为，
令，则，
如图，作直线，
观察图像得：，故④正确；
根据题意得：点M、N到对称轴的距离均为，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即，
∵，
∴，
∴，解得：，故⑤错误；
故选：B
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质，本题属于难度题．
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为，是抛物线上一点，且在轴上方，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出，设点，然后根据的面积列式，再利用二次函数求最值的方法解答即可．
【解析】解：∵菱形顶点的坐标为，
∴，
∴，
设点，
则的面积，
，
∴当x＝3时，面积有最大值，
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的最值问题，菱形的性质，勾股定理的应用，通过点的坐标确定菱形的边长是解答本题的关键．
9．设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③B．①④C．①③D．②④
【答案】A
【分析】根据当a≤x≤b时，总有-1≤y1-y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”，逐项进行判断即可．
【解析】解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，当x＝1时，y1﹣y2最大值为﹣9，当x＝2时，y1﹣y2最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”不正确；
②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，当x＝3时，y1﹣y2最大值为1，当x＝4时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”正确；
③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，当x时，y1﹣y2最大值为，当x＝0或x＝1时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2，当然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”正确；
④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，当x时，y1﹣y2最大值为，当x＝2或x＝3时，y1﹣y2最小值为1，即1≤y1﹣y2，故2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”不正确；
∴正确的有②③，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的综合应用，解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某个范围内的最大、最小值．
10．抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
【答案】D
【分析】求出抛物线的对称轴、C点坐标以及当x=m-1和x=m+1时的函数值，再根据m-1＜m+1，判断出M点在N点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，第二种情况，当M点在y轴的右侧时，第三种情况，当y轴在M、N点之间时，来讨论，结合图像即可求解．
【解析】抛物线解析式变形为：，
即抛物线对称轴为，
当x=m-1时，有，
当x=m+1时，有，
设(m-1,1)为A点，(m+1,1)为B点，
即点A(m-1,1)与B(m+1,1)关于抛物线对称轴对称，
当x=0时，有，
∴C点坐标为，
当x=m时，有，
∴抛物线顶点坐标为，
∵直线l⊥y轴，
∴直线l为，
∵m-1＜m+1，
∴M点在N点左侧，
此时分情况讨论：
第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，
由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有，
∴此时不符合题意；
第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时不符合题意；
第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，
或者 ，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时符合题意；
此时由图可知：，
解得，
综上所述：m的取值范围为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键．
二、填空题
11．如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣1的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于 _______．
【答案】6或14##14或6
【分析】求出抛物线的对称轴，然后代入求得顶点的纵坐标，即可求解．
【解析】解：抛物线的对称轴为
将代入得
∵抛物线的顶点到x轴的距离是4，
∴，
解得
故答案为：6或14．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据解析式求得顶点坐标．
12．已知二次函数y＝（x+m）2+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_______．
【答案】m≥﹣2
【分析】根据二次函数顶点式确定对称轴，根据二次函数开口朝上，依题意，可知在对称轴的右侧y的值随x值的增大而增大，进而求得的取值范围．
【解析】解：二次函数y＝（x+m）2+2的对称轴为直线x＝﹣m，且开口朝上
∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣m≤2，
解得m≥﹣2．
故答案为：m≥﹣2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据解析式求得开口方向和对称轴是解题的关键．
13．二次函数在范围内的最大值为___．
【答案】36
【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
离对称轴越远函数值越大，
∵离对称轴的距离远，
当时，有最大值为：，
故答案为：36．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
14．如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90°后，与x轴相交于点C，我们将图像过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数的关联二次函数是（），那么这个一次函数的解析式为______．
【答案】
【分析】由题意可知二次函数与坐标轴的三个交点坐标为（0，k），（1，0），（-k，0），将其代入抛物线（）即可得m、k的二元一次方程组，即可解出，故这个一次函数的解析式为．
【解析】一次函数与y轴的交点为（0，k），与x轴的交点为（1，0）
绕O点逆时针旋转90°后，与x轴的交点为（-k，0）
即（0，k），（1，0），（-k，0）过抛物线（）
即
得
将代入有
整理得
解得k=3或k=-1（舍）
将k=3代入得
故方程组的解为
则一次函数的解析式为
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质，解二元一次方程组，结合旋转的性质以及图象得出抛物线与坐标轴的三个交点坐标是解题的关键．
15．二次函数y＝x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…∁n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An﹣1BnAn∁n都是正方形，则正方形An﹣1BnAn∁n的周长为_____．
【答案】4n
【分析】根据四边形A0B1A1C1是正方形，可得知△A0B1A1是等腰直角三角形，结合抛物线的解析式求出△A0B1A1的直角边长，同理求出直角△A1B2A2的直角边长……，找到直角三角形△An﹣1BnAn的直角边长的规律即可求出周长.
【解析】解：∵四边形A0B1A1C1是正方形，∠A0B1A1＝90°，
∴△A0B1A1是等腰直角三角形．
设△A0B1A1的直角边长为m1，则B1（m，m）；
代入抛物线的解析式中得：（m）2＝m，
解得m1＝0（舍去），m1＝；
故△A0B1A1的直角边长为，
同理可求得等腰直角△A1B2A2的直角边长为2，
…
依此类推，等腰直角△An﹣1BnAn的直角边长为n，
故正方形An﹣1BnAn∁n的周长为4n．
故答案是：4n．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律是解题的关键.
16．如图，曲线是抛物线的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是抛物线顶点），曲线是双曲线（）的一部分，，两点的纵坐标相等，曲线与组成“小波浪”，由点开始不断重复出现“小波浪”，若点和是波浪线上的点，则的最大值为______．
【答案】
【分析】由抛物线求出点A、点B，由点B求出双曲线的k，再求出点C，得到3个单位为一个循环，求出q，再结合顶点的纵坐标得到p＋q的最大值．
【解析】解：∵曲线AB是抛物线的一部分，
∴当x＝0时，y＝1；当x＝时，y＝−2＋4＋1＝3，
∴A（0，1），B（1，3），
把点B（1，3）代入双曲线（k≠0），得：k＝3，
∴双曲线的解析式为：（1＜x＜3），
∵A、C两点的纵坐标相等，
∴C（3，1），
∵2021＝3×673＋2，
∴点P的纵坐标和x＝2时的纵坐标相等，
当x＝2时，y＝，
∴p＝，
要使p＋q取到最大值，则q取最大值3，
∴（p＋q）max＝＋3＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象与点坐标、找规律，要求学生学会计算二次函数的顶点坐标和反比例函数的比例系数k，在找规律的时候要先找到一个循环的基本单位，再根据2021计算出循环的个数和余数，从而能够得到p的值，最后得到p＋q的最大值．
17．如图，抛物线在第一象限内经过的整数点横坐标、纵坐标都为整数的点依次为，，，其中的横坐标为将抛物线沿直线L：平移得一系列抛物线，且同时满足下列两个条件：①抛物线的顶点，，，，都在直线L：上；②抛物线依次经过点，，，则顶点的坐标为________
【答案】(
【分析】设顶点是抛物线的顶点，根据抛物线与抛物线交于点求解即可．
【解析】解：设顶点是抛物线的顶点，
由题意可知
∵抛物线与抛物线交于点，
∴
解得或（舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
18．如（图1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE—ED—DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图像如（图2）(其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段)，则下列结论： ①AD=BE=5；②当0＜t≤5时，y＝t 2 ；③cs∠ABE＝；④当t＝秒时，ABE∽QBP；⑤当BPQ的面积为时，时间的值是或；其中正确的结论是______．
【答案】②③④
【分析】根据图2可以判断三角形的面积变化分为四段，①当点在上运动，点到达点时；②当点到达点时，点静止于点，从而得到、的长度；③点到达点时，点静止于点；④当点在线段上，点仍然静止于点时．
【解析】解：观察图象可知，，，，，
在中，，
，
故①错误；
如图（1）中，作于．
，
，
，
，
当时，的面积，
故②正确；
，，
在中，
，
故③正确；
当秒时，点在边上，点和点重合，如图：
此时，
，
，，，
，
故④正确；
当当时，，
解得：，（舍去），
当时，，
解得：，
当的面积为时，时间的值是或，
故⑤错误．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点到达点用了，点到达点用了是解题的关键．
三、解答题
19．如图，已知二次函数y＝﹣x2＋2mx＋3m2（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)点B的坐标为 ，点D的坐标为 ；（用含有m的代数式表示）
(2)连接CD，BC．
①若CB平分∠OCD，求二次函数的表达式；
②连接AC，若CB平分∠ACD，求二次函数的表达式．
【答案】(1)（3m，0），（m，4m2）
(2)①；②
【分析】（1）在二次函数y=-x2+2mx+3m2中，令y=0，即可求出A，B的坐标，将y=-x2+2mx+3m2化为顶点式即可写出点D的坐标；
（2）①如图1，过点D作DH⊥AB，交BC于点E，证CD=DE，由（1）知OC=3m2，OB=3m，求出HE=2m2，DE=2m2，由CD=DE可列出关于m的方程，求出m的值即可；②如图2，过点D作DH⊥AB，交BC于点E，过点C作y轴的垂线CK，过点B作x轴的垂线交CK于点K，连接AE，证AC=AE，根据勾股定理列出关于m的方程，求出m的值即可．
（1）
在二次函数y＝﹣x2+2mx+3m2中，
当y＝0时，x1＝3m，x2＝﹣m，
∵点A在点B的左侧，m＞0，
∴A（﹣m，0），B（3m，0），
∵y＝﹣x2+2mx+3m2＝﹣（x﹣m）2+4m2，
∴顶点D（m，4m2），
∴故答案为：（3m，0），（m，4m2）；
（2）
①如图1，过点D作DH⊥AB，交BC于点E，
则DH∥OC，
∴∠DEC＝∠OCE，
∵BC平分∠OCD，
∴∠OCE＝∠DCE，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴CD＝DE，
由（1）知，C（0，3m2），A（﹣m，0），B（3m，0），
∴OC＝3m2，OB＝3m，
∵，
∴HE＝2m2，
∴DE＝DH﹣HE＝4m2﹣2m2＝2m2，
∵CD＝DE，
∴CD2＝DE2，
∴m2+m4＝4m4，
解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），
∴二次函数的关系式为：；
②如图2，过点D作DH⊥AB，交BC于点E，过点C作y轴的垂线CK，过点B作x轴的垂线交CK于点K，连接AE，
∵tan∠DCG＝＝m，tan∠KCB＝＝m，
∴∠DCG＝∠KCB，
∴CK∥AB，
∴∠KCB＝∠EBA，
由对称性知，DH垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴∠DCG＝∠KCB＝∠EBA＝∠EAB，
∵∠AEC＝∠EAB+∠EBA，∠DCB＝∠DCG+∠KCB，CB平分∠ACD，
∴∠DCB＝∠AEC＝∠ACE，
∴AC＝AE，
∴AC2＝AE2＝EH2+AH2，
∴m2+9m4＝4m4+4m2，
解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），
∴二次函数的关系式为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，锐角三角函数，勾股定理等，解题关键是能够作出适当的辅助线构造等腰三角形或直角三角形等．
20．如图， 在平面直角坐标系 中， 直线 与 牰交于点 ， 与 轴交于点 ． 点C为拋物线 的顶点．
(1)用含 的代数式表示顶点 的坐标：
(2)当顶点 在 内部， 且 时，求抛物线的表达式：
(3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移 个单位后，平移后的抛物线的顶 点 仍在 内， 求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)；
(3)1＜a＜3
【分析】（1）利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可解答；
（2）求出点A、B的坐标，利用三角形面积公式求解a值即可解答；
（3）根据点的坐标平移规律“右加左减，上加下减”得出P点坐标，再根据条件得出a的一元一次不等式组，解不等式组即可求解
（1）
解：拋物线 ，
∴顶点C的坐标为；
（2）
解：对于，当x=0时，y=5，当y=0时，x=5，
∴A（5，0），B（0，5），
∵顶点 在 内部， 且 ，
∴，
∴a=2，
∴拋物线的表达式为 ；
（3）
解：由题意，平移后的抛物线的顶点P的坐标为，
∵平移后的抛物线的顶 点 仍在 内，
∴，
解得：1＜a＜3，
即 的取值范围为1＜a＜3．
【点睛】本题考查求二次函数的顶点坐标和表达式、二次函数的图象平移、一次函数的图象与坐标轴的交点问题、坐标与图象、解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识的联系与运用，第（3）小问正确得出不等式组是解答的关键．
21．已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；
(3)抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点坐标为：；
(2)，证明见解析；
(3)存在点P，，理由见解析．
【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为：，将点C代入解得，代入抛物线可得函数解析式；将一般式化为顶点式即可确定顶点坐标；
（2）结合图象，分别求出的三边长，的三边长，由勾股定理逆定理可得为直角三角形，且两个三角形的三条边对应成比例，即可证明；
（3）设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，可得，，利用等腰直角三角形的性质可得，，再由勾股定理可得，设，根据直角坐标系中两点之间的距离利用勾股定理可得，同理可得=，利用代入消元法解方程即可确定点F的坐标，然后求出直线AF的直线解析式，联立抛物线解析式求交点坐标即可得．
(1)
解：抛物线经过点，，，
设抛物线解析式为：，
将点C代入可得：，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为：；
(2)
相似，证明如下：
如图所示：
为直角三角形且三边长分别为：，，，
的三边长分别为：，
，，
∴，
∴为直角三角形，
∵，
∴；
(3)
解：设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，如（2）中图：
∴，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，即
解得：，
设，
∴，，
∴，
整理得：①，
=，
即②，
将①代入②整理得：，
解得：，，
∴，，
∴或（不符合题意舍去），
∴，，
设直线FA解析式为：，将两个点代入可得：
，
解得：，
∴，
∴联立两个函数得：，
将①代入②得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，
∴．
【点睛】题目主要考查待定系数法确定函数解析式，相似三角形得判定和性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线（）的图像经过点、，设它与轴的另一个交点为（点在点的左侧），且的面积是．
（1）求该抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）求的度数；
（3）若抛物线与轴相交于点，直线交轴于点，点在线段上，当与相似时，求的长．
【答案】（1），顶点坐标为；（2）；（3）
【分析】（1）先根据的面积求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）过点D作轴于点F，根据的坐标求出，进而可求得；
（3）先根据的坐标求得直线的解析式，进而求得的坐标，进而求得的长，根据题意分，两种情况讨论，根据相似三角形的性质列出比例式，进而即可求解．
【解析】（1）设
，AB边上的高为3
则由的面积是3可得：
解得
设抛物线解析式为
将代入得：，解得
顶点坐标为
故该抛物线的表达式为，顶点坐标为；
（2）如图，过点D作轴于点F
；
（3）如图，
抛物线的表达式为，
令，则
设直线CD解析式为
将代入得
，
解得
直线CD解析式为：y=-x+8，
当时，，解得
，,，
①若，则
，
点在线段上，
此种情形不存在，不合题意，
②若，则
，
综上所述，的长为．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式、勾股定理、相似三角形的性质等知识点，读懂题意，根据已求出的函数解析式画出图象是解题关键．
23．如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函数y＝﹣x2＋bx的图象经过点A，顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；
（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；
（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．
【答案】（1）；（，3）；（2）；（3）（， ）或（，）
【分析】（1）由∠OAB=90°，在直角三角形OAB中求得点A，代入函数式解得．
（2）直角三角形OAB中求得AB的长度，由抛物线的对称轴可知DE∥AB，OE=AE．求得DE，进而求得CD，从而求得；
（3）利用三角形OCE和三角形POA的面积相等即求得．
【解析】解：（1）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，
∴AB=2
∴
∴A（，0）．
∵二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，
∴．
解得，．
∴二次函数的解析式为．
∴
∴顶点C的坐标是（，3）．
（2）∵DE是二次函数的图象的对称轴，
∴DE∥AB，OE＝AE．
∴．
∵AB=2，OE＝OA=
∴DE＝1．
又∵C（，3），
∴CE＝3．
即得CD＝2．
∴．
（3）根据题意，可设P（，n）．
∵，CE＝3，
∴．
∴．
解得,．
∴点P的坐标为（， ）或（，）
【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标，对称轴，面积公式，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
24．已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．
（1）求直线y＝kx+b的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；
（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB的上方，求抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式．
【答案】（1）y＝x+2；（2）a≥；（3）y＝﹣x2+2x+2．
【分析】（1）直线y=kx+b经过点A（-2，0），B（1，3）两点，将点坐标代入即得答案；
（2）用a表示顶点坐标，根据顶点不在第一象限，列出不等式即可解得a范围；
（3）延长PD交 x轴于M，对称轴与x轴交于N，首先求出D坐标，再根据直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，求出OM长度，又利用求出 PN列方程即可得答案．
【解析】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，
∴，解得，
∴直线y＝kx+b的表达式为y＝x+2；
（2）∵b＝2，
∴抛物线y＝ax2﹣4ax+b解析式为y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，
∴顶点是（2，2﹣4a），
∵顶点不在第一象限，且在对称轴x＝2上，
∴顶点在第四象限或在x轴上，
∴2﹣4a≤0，即a≥；
（3）延长PD交x轴于M，对称轴与x轴交于N，如图：
∵P在直线AB的上方，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），
∴开口向下，
∵直线y＝x+2与抛物线y＝ax2﹣4ax+2都经过（0，2），点C在点D的右侧，
∴D（0，2），
∴OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，
∴∠MDO＝30°，
Rt△MDO中，tan∠MDO＝，
∴tan30°＝，解得OM＝，
∵对称轴与x轴交于N，
∴OD∥PN，MN＝ON+OM＝2+，
∴，即，
∴PN＝2+2，
而P（2，2﹣4a），
∴2﹣4a＝2+2，
∴a＝﹣，
∴抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式为：y＝﹣x2+2x+2．
【点睛】】本题考查二次函数、一次函数等综合知识，难度较大，解题的关键是利用直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，求出OM长度．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点A、与轴交于点，抛物线经过点A、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴，分别交直线于点、．
①当时，求点的坐标；
②连接交于点，当点是的中点时，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由求，，将A、B代入即可求解；
（2）设①设点的坐标为，点的坐标为，由轴，轴，可得，，当时，即可求解；
②过点作轴，延长交轴于点，则，当点是的中点时，可得，由轴，轴，得，，设点的坐标为，则，，由，即可求解；
（1）
解：将代入得，y=8，
将y=0代入得0=2x+8，解得：x=-4，
所以，，
，在抛物线上，
∴，解得
抛物线的解析式
（2）
①设点的坐标为，
轴，且点在直线上，
点的坐标为
，，
，，
轴，轴，
，，
，
，
当时，
，解得
点的坐标为
②过点作轴，延长交轴于点，则.
当点是的中点时，可得
轴，轴，
，
点是的中点
，
设点的坐标为，则，
∵，
∴△OCD∽△OPE，
，
即，
.
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数综合应用、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
26．如图．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线于点E．
(1)求抛物的解析式；
(2)当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段EF的长度：
(3)如果将沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)N的的坐标是
【分析】（1）根据抛物线过点A，对称轴为直线列方程计算即可；
（2）求出B、C坐标及直线BC解析式，由可得，再设E、F的坐标，根据相似计算即可；
（3）由翻折结合EF∥y轴可得，设E、F坐标计算即可．
（1）
由题意得：
解得：
∴所求的抛物线的解析式是：
（2）
由题意得：，
∴直线BC的解析式为：
∴，
∴
设，则
当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，
①若，则，
∴或 （舍去）
∴
②若，则，
∴或 （舍去）
∴
（3）
∵是由沿直线CE翻折而得
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
设，则
∵，
解得：或 （舍去）
∴
∴
∴N的的坐标是
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及解析式、三角形相似的判定与性质、对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的线段长度，根据已知列方程求解．
1．下列关于二次函数的图像和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点在函数图像上B．开口方向向上
C．对称轴是直线D．与直线有两个交点
2．若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．在关于 n 的函数中， n 为自然数． 当 n =9 时，S< 0；当 n =10 时，S > 0．则当 S 取值最小时， n 的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，离水平线的高度为60米．那么当运动员滑出点A后，运动员运动的水平距离为（ ）米时，运动员与小山坡的竖直距离为20米．
A．50B．C．D．
5．如图，抛物线（a＞0）与y轴交于点B，直线y＝x经过抛物线顶点D，过点B作BA∥x轴，与抛物线交于点C，与直线y＝x交于点A，若点C恰为线段AB中点，则线段OA长度为（ ）
A．B．3C．D．
6．已知二次函数，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．如图，二次函数的图像与轴负半轴交于，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若点，，均在函数图像上，则；④若方程的两根为，且，则；⑤点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的范围为．其中结论正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为，是抛物线上一点，且在轴上方，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③B．①④C．①③D．②④
10．抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
二、填空题
11．如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣1的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于 _______．
12．已知二次函数y＝（x+m）2+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_______．
13．二次函数在范围内的最大值为___．
14．如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90°后，与x轴相交于点C，我们将图像过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数的关联二次函数是（），那么这个一次函数的解析式为______．
15．二次函数y＝x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…∁n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An﹣1BnAn∁n都是正方形，则正方形An﹣1BnAn∁n的周长为_____．
16．如图，曲线是抛物线的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是抛物线顶点），曲线是双曲线（）的一部分，，两点的纵坐标相等，曲线与组成“小波浪”，由点开始不断重复出现“小波浪”，若点和是波浪线上的点，则的最大值为______．
17．如图，抛物线在第一象限内经过的整数点横坐标、纵坐标都为整数的点依次为，，，其中的横坐标为将抛物线沿直线L：平移得一系列抛物线，且同时满足下列两个条件：①抛物线的顶点，，，，都在直线L：上；②抛物线依次经过点，，，则顶点的坐标为________
18．如（图1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE—ED—DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图像如（图2）(其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段)，则下列结论： ①AD=BE=5；②当0＜t≤5时，y＝t 2 ；③cs∠ABE＝；④当t＝秒时，ABE∽QBP；⑤当BPQ的面积为时，时间的值是或；其中正确的结论是______．
三、解答题
19．如图，已知二次函数y＝﹣x2＋2mx＋3m2（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)点B的坐标为 ，点D的坐标为 ；（用含有m的代数式表示）
(2)连接CD，BC．
①若CB平分∠OCD，求二次函数的表达式；
②连接AC，若CB平分∠ACD，求二次函数的表达式．
20．如图， 在平面直角坐标系 中， 直线 与 牰交于点 ， 与 轴交于点 ． 点C为拋物线 的顶点．
(1)用含 的代数式表示顶点 的坐标：
(2)当顶点 在 内部， 且 时，求抛物线的表达式：
(3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移 个单位后，平移后的抛物线的顶 点 仍在 内， 求 的取值范围．
21．已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；
(3)抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线（）的图像经过点、，设它与轴的另一个交点为（点在点的左侧），且的面积是．
（1）求该抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）求的度数；
（3）若抛物线与轴相交于点，直线交轴于点，点在线段上，当与相似时，求的长．
23．如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函数y＝﹣x2＋bx的图象经过点A，顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；
（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；
（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．
24．已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．
（1）求直线y＝kx+b的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；
（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB的上方，求抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点A、与轴交于点，抛物线经过点A、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴，分别交直线于点、．
①当时，求点的坐标；
②连接交于点，当点是的中点时，求的值．
26．如图．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线于点E．
(1)求抛物的解析式；
(2)当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段EF的长度：
(3)如果将沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标．
专题06 二次函数（难点）
一、单选题
1．下列关于二次函数的图像和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点在函数图像上B．开口方向向上
C．对称轴是直线D．与直线有两个交点
【答案】D
【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【解析】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
2．若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】先求得a=1，推出，原式化简得，利用偶次方的非负性，即可求解．
【解析】解：∵二次函数的图象经过P（1，3），
∴，
∴a=1，
∴二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过Q（m，n），
∴即，
∴
，
∵，
∴的最小值为1，
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，非负数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
3．在关于 n 的函数中， n 为自然数． 当 n =9 时，S< 0；当 n =10 时，S > 0．则当 S 取值最小时， n 的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】的图象经过原点，由S＝0时9＜n＜10可得对称轴取值范围是在4.5−5之间，根据选项可得答案．
【解析】解：∵函数图象经过原点，
n＝9时，S＜0；当n＝10时，S＞0，
∴S＝0时，n＝0或n在9−10之间，且在对称轴右侧，S随n的增大而增大，
即图象对称轴在4.5−5之间，且开口向上，
∴当n＝5时，S取最小值．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质与最值，解题关键是读懂题意通过二次函数性质作答．
4．北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，离水平线的高度为60米．那么当运动员滑出点A后，运动员运动的水平距离为（ ）米时，运动员与小山坡的竖直距离为20米．
A．50B．C．D．
【答案】C
【分析】把、代入可得抛物线所对应的函数表达式；根据纵坐标的差为20，列出方程可得答案．
【解析】解：把、代入中，得
得解得
∴抛物线所对应的函数表达式．
设运动员运动的水平距离是x米，
此时小山坡的高度是，
运动员运动的水平高度是，
∴，
解得或0（舍去），
答：运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为20米．
故选C
【点睛】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
5．如图，抛物线（a＞0）与y轴交于点B，直线y＝x经过抛物线顶点D，过点B作BA∥x轴，与抛物线交于点C，与直线y＝x交于点A，若点C恰为线段AB中点，则线段OA长度为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】先根据抛物线顶点为，直线y＝x经过抛物线顶点D，求出A、B、C三点的坐标，再根据点A在直线y＝x上建立关于a的方程，求出a值，最后求得OA长度．
【解析】抛物线顶点为，直线y＝x经过抛物线顶点D，
，
又点C恰为线段AB中点
，；
又点A在直线y＝x上，
，
解得：或（舍去）；
，
．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数、正比例函数的性质，解决本题的关键是熟练应用各性质．
6．已知二次函数，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据所给函数解析式，得到一个新的二次函数，若即>0，则新的二次函数二次项系数要大于0，并且Δ<0，据此求解即可．
【解析】解：，
选项A：若，则，，无法判断的符号，故此选项不符合题意；
选项B：若，则，，则，故此选项符合题意；
选项C：若，则，则这个二次函数开口向下，不可能对于任意的x，都有，故此选项不符合题意；
同理选项D也不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．如图，二次函数的图像与轴负半轴交于，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若点，，均在函数图像上，则；④若方程的两根为，且，则；⑤点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的范围为．其中结论正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】观察图像得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，可得a＞0，c＜0，再由图像的对称轴为直线．可得b=-2a＜0，可得，故①正确；再由当x=-1时，y=a-b+c>0，可得3a+c>0，故②正确；然后根据点离对称轴水平距离越大，函数值y值越大，可得，故③错误；由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一个交点为，从而得到抛物线解析式为，再令，可得，如图，作直线，观察图像可得，故④正确；根据当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，可得，再由，可得，从而得到关于a的不等式，，故⑤错误；即可求解．
【解析】解：观察图像得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵图像的对称轴为直线．
∴，
∴b=-2a＜0，
∴，故①正确；
∵图像与轴负半轴交于，
∴当x=-1时，y=a-b+c>0，
∴a+2a+c>0，即3a+c>0，故②正确；
∵抛物线开口向上，
∴点离对称轴水平距离越大，函数值y值越大，
又∵|-3-1|=4，|3-1|=2，|0-1|=1，
∴，故③错误；
由抛物线对称性得，抛物线与x轴另一个交点为，
∴抛物线解析式为，
令，则，
如图，作直线，
观察图像得：，故④正确；
根据题意得：点M、N到对称轴的距离均为，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即，
∵，
∴，
∴，解得：，故⑤错误；
故选：B
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质，本题属于难度题．
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为，是抛物线上一点，且在轴上方，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出，设点，然后根据的面积列式，再利用二次函数求最值的方法解答即可．
【解析】解：∵菱形顶点的坐标为，
∴，
∴，
设点，
则的面积，
，
∴当x＝3时，面积有最大值，
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的最值问题，菱形的性质，勾股定理的应用，通过点的坐标确定菱形的边长是解答本题的关键．
9．设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③B．①④C．①③D．②④
【答案】A
【分析】根据当a≤x≤b时，总有-1≤y1-y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”，逐项进行判断即可．
【解析】解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，当x＝1时，y1﹣y2最大值为﹣9，当x＝2时，y1﹣y2最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”不正确；
②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，当x＝3时，y1﹣y2最大值为1，当x＝4时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”正确；
③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，当x时，y1﹣y2最大值为，当x＝0或x＝1时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2，当然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”正确；
④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，当x时，y1﹣y2最大值为，当x＝2或x＝3时，y1﹣y2最小值为1，即1≤y1﹣y2，故2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”不正确；
∴正确的有②③，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的综合应用，解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某个范围内的最大、最小值．
10．抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
【答案】D
【分析】求出抛物线的对称轴、C点坐标以及当x=m-1和x=m+1时的函数值，再根据m-1＜m+1，判断出M点在N点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，第二种情况，当M点在y轴的右侧时，第三种情况，当y轴在M、N点之间时，来讨论，结合图像即可求解．
【解析】抛物线解析式变形为：，
即抛物线对称轴为，
当x=m-1时，有，
当x=m+1时，有，
设(m-1,1)为A点，(m+1,1)为B点，
即点A(m-1,1)与B(m+1,1)关于抛物线对称轴对称，
当x=0时，有，
∴C点坐标为，
当x=m时，有，
∴抛物线顶点坐标为，
∵直线l⊥y轴，
∴直线l为，
∵m-1＜m+1，
∴M点在N点左侧，
此时分情况讨论：
第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，
由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有，
∴此时不符合题意；
第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时不符合题意；
第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，
或者 ，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时符合题意；
此时由图可知：，
解得，
综上所述：m的取值范围为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键．
二、填空题
11．如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣1的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于 _______．
【答案】6或14##14或6
【分析】求出抛物线的对称轴，然后代入求得顶点的纵坐标，即可求解．
【解析】解：抛物线的对称轴为
将代入得
∵抛物线的顶点到x轴的距离是4，
∴，
解得
故答案为：6或14．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据解析式求得顶点坐标．
12．已知二次函数y＝（x+m）2+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_______．
【答案】m≥﹣2
【分析】根据二次函数顶点式确定对称轴，根据二次函数开口朝上，依题意，可知在对称轴的右侧y的值随x值的增大而增大，进而求得的取值范围．
【解析】解：二次函数y＝（x+m）2+2的对称轴为直线x＝﹣m，且开口朝上
∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣m≤2，
解得m≥﹣2．
故答案为：m≥﹣2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据解析式求得开口方向和对称轴是解题的关键．
13．二次函数在范围内的最大值为___．
【答案】36
【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
离对称轴越远函数值越大，
∵离对称轴的距离远，
当时，有最大值为：，
故答案为：36．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
14．如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90°后，与x轴相交于点C，我们将图像过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数的关联二次函数是（），那么这个一次函数的解析式为______．
【答案】
【分析】由题意可知二次函数与坐标轴的三个交点坐标为（0，k），（1，0），（-k，0），将其代入抛物线（）即可得m、k的二元一次方程组，即可解出，故这个一次函数的解析式为．
【解析】一次函数与y轴的交点为（0，k），与x轴的交点为（1，0）
绕O点逆时针旋转90°后，与x轴的交点为（-k，0）
即（0，k），（1，0），（-k，0）过抛物线（）
即
得
将代入有
整理得
解得k=3或k=-1（舍）
将k=3代入得
故方程组的解为
则一次函数的解析式为
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质，解二元一次方程组，结合旋转的性质以及图象得出抛物线与坐标轴的三个交点坐标是解题的关键．
15．二次函数y＝x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…∁n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An﹣1BnAn∁n都是正方形，则正方形An﹣1BnAn∁n的周长为_____．
【答案】4n
【分析】根据四边形A0B1A1C1是正方形，可得知△A0B1A1是等腰直角三角形，结合抛物线的解析式求出△A0B1A1的直角边长，同理求出直角△A1B2A2的直角边长……，找到直角三角形△An﹣1BnAn的直角边长的规律即可求出周长.
【解析】解：∵四边形A0B1A1C1是正方形，∠A0B1A1＝90°，
∴△A0B1A1是等腰直角三角形．
设△A0B1A1的直角边长为m1，则B1（m，m）；
代入抛物线的解析式中得：（m）2＝m，
解得m1＝0（舍去），m1＝；
故△A0B1A1的直角边长为，
同理可求得等腰直角△A1B2A2的直角边长为2，
…
依此类推，等腰直角△An﹣1BnAn的直角边长为n，
故正方形An﹣1BnAn∁n的周长为4n．
故答案是：4n．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律是解题的关键.
16．如图，曲线是抛物线的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是抛物线顶点），曲线是双曲线（）的一部分，，两点的纵坐标相等，曲线与组成“小波浪”，由点开始不断重复出现“小波浪”，若点和是波浪线上的点，则的最大值为______．
【答案】
【分析】由抛物线求出点A、点B，由点B求出双曲线的k，再求出点C，得到3个单位为一个循环，求出q，再结合顶点的纵坐标得到p＋q的最大值．
【解析】解：∵曲线AB是抛物线的一部分，
∴当x＝0时，y＝1；当x＝时，y＝−2＋4＋1＝3，
∴A（0，1），B（1，3），
把点B（1，3）代入双曲线（k≠0），得：k＝3，
∴双曲线的解析式为：（1＜x＜3），
∵A、C两点的纵坐标相等，
∴C（3，1），
∵2021＝3×673＋2，
∴点P的纵坐标和x＝2时的纵坐标相等，
当x＝2时，y＝，
∴p＝，
要使p＋q取到最大值，则q取最大值3，
∴（p＋q）max＝＋3＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象与点坐标、找规律，要求学生学会计算二次函数的顶点坐标和反比例函数的比例系数k，在找规律的时候要先找到一个循环的基本单位，再根据2021计算出循环的个数和余数，从而能够得到p的值，最后得到p＋q的最大值．
17．如图，抛物线在第一象限内经过的整数点横坐标、纵坐标都为整数的点依次为，，，其中的横坐标为将抛物线沿直线L：平移得一系列抛物线，且同时满足下列两个条件：①抛物线的顶点，，，，都在直线L：上；②抛物线依次经过点，，，则顶点的坐标为________
【答案】(
【分析】设顶点是抛物线的顶点，根据抛物线与抛物线交于点求解即可．
【解析】解：设顶点是抛物线的顶点，
由题意可知
∵抛物线与抛物线交于点，
∴
解得或（舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
18．如（图1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE—ED—DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图像如（图2）(其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段)，则下列结论： ①AD=BE=5；②当0＜t≤5时，y＝t 2 ；③cs∠ABE＝；④当t＝秒时，ABE∽QBP；⑤当BPQ的面积为时，时间的值是或；其中正确的结论是______．
【答案】②③④
【分析】根据图2可以判断三角形的面积变化分为四段，①当点在上运动，点到达点时；②当点到达点时，点静止于点，从而得到、的长度；③点到达点时，点静止于点；④当点在线段上，点仍然静止于点时．
【解析】解：观察图象可知，，，，，
在中，，
，
故①错误；
如图（1）中，作于．
，
，
，
，
当时，的面积，
故②正确；
，，
在中，
，
故③正确；
当秒时，点在边上，点和点重合，如图：
此时，
，
，，，
，
故④正确；
当当时，，
解得：，（舍去），
当时，，
解得：，
当的面积为时，时间的值是或，
故⑤错误．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点到达点用了，点到达点用了是解题的关键．
三、解答题
19．如图，已知二次函数y＝﹣x2＋2mx＋3m2（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)点B的坐标为 ，点D的坐标为 ；（用含有m的代数式表示）
(2)连接CD，BC．
①若CB平分∠OCD，求二次函数的表达式；
②连接AC，若CB平分∠ACD，求二次函数的表达式．
【答案】(1)（3m，0），（m，4m2）
(2)①；②
【分析】（1）在二次函数y=-x2+2mx+3m2中，令y=0，即可求出A，B的坐标，将y=-x2+2mx+3m2化为顶点式即可写出点D的坐标；
（2）①如图1，过点D作DH⊥AB，交BC于点E，证CD=DE，由（1）知OC=3m2，OB=3m，求出HE=2m2，DE=2m2，由CD=DE可列出关于m的方程，求出m的值即可；②如图2，过点D作DH⊥AB，交BC于点E，过点C作y轴的垂线CK，过点B作x轴的垂线交CK于点K，连接AE，证AC=AE，根据勾股定理列出关于m的方程，求出m的值即可．
（1）
在二次函数y＝﹣x2+2mx+3m2中，
当y＝0时，x1＝3m，x2＝﹣m，
∵点A在点B的左侧，m＞0，
∴A（﹣m，0），B（3m，0），
∵y＝﹣x2+2mx+3m2＝﹣（x﹣m）2+4m2，
∴顶点D（m，4m2），
∴故答案为：（3m，0），（m，4m2）；
（2）
①如图1，过点D作DH⊥AB，交BC于点E，
则DH∥OC，
∴∠DEC＝∠OCE，
∵BC平分∠OCD，
∴∠OCE＝∠DCE，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴CD＝DE，
由（1）知，C（0，3m2），A（﹣m，0），B（3m，0），
∴OC＝3m2，OB＝3m，
∵，
∴HE＝2m2，
∴DE＝DH﹣HE＝4m2﹣2m2＝2m2，
∵CD＝DE，
∴CD2＝DE2，
∴m2+m4＝4m4，
解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），
∴二次函数的关系式为：；
②如图2，过点D作DH⊥AB，交BC于点E，过点C作y轴的垂线CK，过点B作x轴的垂线交CK于点K，连接AE，
∵tan∠DCG＝＝m，tan∠KCB＝＝m，
∴∠DCG＝∠KCB，
∴CK∥AB，
∴∠KCB＝∠EBA，
由对称性知，DH垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴∠DCG＝∠KCB＝∠EBA＝∠EAB，
∵∠AEC＝∠EAB+∠EBA，∠DCB＝∠DCG+∠KCB，CB平分∠ACD，
∴∠DCB＝∠AEC＝∠ACE，
∴AC＝AE，
∴AC2＝AE2＝EH2+AH2，
∴m2+9m4＝4m4+4m2，
解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），
∴二次函数的关系式为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，锐角三角函数，勾股定理等，解题关键是能够作出适当的辅助线构造等腰三角形或直角三角形等．
20．如图， 在平面直角坐标系 中， 直线 与 牰交于点 ， 与 轴交于点 ． 点C为拋物线 的顶点．
(1)用含 的代数式表示顶点 的坐标：
(2)当顶点 在 内部， 且 时，求抛物线的表达式：
(3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移 个单位后，平移后的抛物线的顶 点 仍在 内， 求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)；
(3)1＜a＜3
【分析】（1）利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可解答；
（2）求出点A、B的坐标，利用三角形面积公式求解a值即可解答；
（3）根据点的坐标平移规律“右加左减，上加下减”得出P点坐标，再根据条件得出a的一元一次不等式组，解不等式组即可求解
（1）
解：拋物线 ，
∴顶点C的坐标为；
（2）
解：对于，当x=0时，y=5，当y=0时，x=5，
∴A（5，0），B（0，5），
∵顶点 在 内部， 且 ，
∴，
∴a=2，
∴拋物线的表达式为 ；
（3）
解：由题意，平移后的抛物线的顶点P的坐标为，
∵平移后的抛物线的顶 点 仍在 内，
∴，
解得：1＜a＜3，
即 的取值范围为1＜a＜3．
【点睛】本题考查求二次函数的顶点坐标和表达式、二次函数的图象平移、一次函数的图象与坐标轴的交点问题、坐标与图象、解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识的联系与运用，第（3）小问正确得出不等式组是解答的关键．
21．已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；
(3)抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点坐标为：；
(2)，证明见解析；
(3)存在点P，，理由见解析．
【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为：，将点C代入解得，代入抛物线可得函数解析式；将一般式化为顶点式即可确定顶点坐标；
（2）结合图象，分别求出的三边长，的三边长，由勾股定理逆定理可得为直角三角形，且两个三角形的三条边对应成比例，即可证明；
（3）设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，可得，，利用等腰直角三角形的性质可得，，再由勾股定理可得，设，根据直角坐标系中两点之间的距离利用勾股定理可得，同理可得=，利用代入消元法解方程即可确定点F的坐标，然后求出直线AF的直线解析式，联立抛物线解析式求交点坐标即可得．
(1)
解：抛物线经过点，，，
设抛物线解析式为：，
将点C代入可得：，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为：；
(2)
相似，证明如下：
如图所示：
为直角三角形且三边长分别为：，，，
的三边长分别为：，
，，
∴，
∴为直角三角形，
∵，
∴；
(3)
解：设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，如（2）中图：
∴，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，即
解得：，
设，
∴，，
∴，
整理得：①，
=，
即②，
将①代入②整理得：，
解得：，，
∴，，
∴或（不符合题意舍去），
∴，，
设直线FA解析式为：，将两个点代入可得：
，
解得：，
∴，
∴联立两个函数得：，
将①代入②得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，
∴．
【点睛】题目主要考查待定系数法确定函数解析式，相似三角形得判定和性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线（）的图像经过点、，设它与轴的另一个交点为（点在点的左侧），且的面积是．
（1）求该抛物线的表达式和顶点坐标；
（2）求的度数；
（3）若抛物线与轴相交于点，直线交轴于点，点在线段上，当与相似时，求的长．
【答案】（1），顶点坐标为；（2）；（3）
【分析】（1）先根据的面积求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）过点D作轴于点F，根据的坐标求出，进而可求得；
（3）先根据的坐标求得直线的解析式，进而求得的坐标，进而求得的长，根据题意分，两种情况讨论，根据相似三角形的性质列出比例式，进而即可求解．
【解析】（1）设
，AB边上的高为3
则由的面积是3可得：
解得
设抛物线解析式为
将代入得：，解得
顶点坐标为
故该抛物线的表达式为，顶点坐标为；
（2）如图，过点D作轴于点F
；
（3）如图，
抛物线的表达式为，
令，则
设直线CD解析式为
将代入得
，
解得
直线CD解析式为：y=-x+8，
当时，，解得
，,，
①若，则
，
点在线段上，
此种情形不存在，不合题意，
②若，则
，
综上所述，的长为．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式、勾股定理、相似三角形的性质等知识点，读懂题意，根据已求出的函数解析式画出图象是解题关键．
23．如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函数y＝﹣x2＋bx的图象经过点A，顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；
（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；
（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．
【答案】（1）；（，3）；（2）；（3）（， ）或（，）
【分析】（1）由∠OAB=90°，在直角三角形OAB中求得点A，代入函数式解得．
（2）直角三角形OAB中求得AB的长度，由抛物线的对称轴可知DE∥AB，OE=AE．求得DE，进而求得CD，从而求得；
（3）利用三角形OCE和三角形POA的面积相等即求得．
【解析】解：（1）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，
∴AB=2
∴
∴A（，0）．
∵二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，
∴．
解得，．
∴二次函数的解析式为．
∴
∴顶点C的坐标是（，3）．
（2）∵DE是二次函数的图象的对称轴，
∴DE∥AB，OE＝AE．
∴．
∵AB=2，OE＝OA=
∴DE＝1．
又∵C（，3），
∴CE＝3．
即得CD＝2．
∴．
（3）根据题意，可设P（，n）．
∵，CE＝3，
∴．
∴．
解得,．
∴点P的坐标为（， ）或（，）
【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标，对称轴，面积公式，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
24．已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．
（1）求直线y＝kx+b的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；
（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB的上方，求抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式．
【答案】（1）y＝x+2；（2）a≥；（3）y＝﹣x2+2x+2．
【分析】（1）直线y=kx+b经过点A（-2，0），B（1，3）两点，将点坐标代入即得答案；
（2）用a表示顶点坐标，根据顶点不在第一象限，列出不等式即可解得a范围；
（3）延长PD交 x轴于M，对称轴与x轴交于N，首先求出D坐标，再根据直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，求出OM长度，又利用求出 PN列方程即可得答案．
【解析】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，
∴，解得，
∴直线y＝kx+b的表达式为y＝x+2；
（2）∵b＝2，
∴抛物线y＝ax2﹣4ax+b解析式为y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，
∴顶点是（2，2﹣4a），
∵顶点不在第一象限，且在对称轴x＝2上，
∴顶点在第四象限或在x轴上，
∴2﹣4a≤0，即a≥；
（3）延长PD交x轴于M，对称轴与x轴交于N，如图：
∵P在直线AB的上方，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），
∴开口向下，
∵直线y＝x+2与抛物线y＝ax2﹣4ax+2都经过（0，2），点C在点D的右侧，
∴D（0，2），
∴OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，
∴∠MDO＝30°，
Rt△MDO中，tan∠MDO＝，
∴tan30°＝，解得OM＝，
∵对称轴与x轴交于N，
∴OD∥PN，MN＝ON+OM＝2+，
∴，即，
∴PN＝2+2，
而P（2，2﹣4a），
∴2﹣4a＝2+2，
∴a＝﹣，
∴抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式为：y＝﹣x2+2x+2．
【点睛】】本题考查二次函数、一次函数等综合知识，难度较大，解题的关键是利用直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，求出OM长度．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点A、与轴交于点，抛物线经过点A、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴，分别交直线于点、．
①当时，求点的坐标；
②连接交于点，当点是的中点时，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由求，，将A、B代入即可求解；
（2）设①设点的坐标为，点的坐标为，由轴，轴，可得，，当时，即可求解；
②过点作轴，延长交轴于点，则，当点是的中点时，可得，由轴，轴，得，，设点的坐标为，则，，由，即可求解；
（1）
解：将代入得，y=8，
将y=0代入得0=2x+8，解得：x=-4，
所以，，
，在抛物线上，
∴，解得
抛物线的解析式
（2）
①设点的坐标为，
轴，且点在直线上，
点的坐标为
，，
，，
轴，轴，
，，
，
，
当时，
，解得
点的坐标为
②过点作轴，延长交轴于点，则.
当点是的中点时，可得
轴，轴，
，
点是的中点
，
设点的坐标为，则，
∵，
∴△OCD∽△OPE，
，
即，
.
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数综合应用、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
26．如图．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线于点E．
(1)求抛物的解析式；
(2)当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段EF的长度：
(3)如果将沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)N的的坐标是
【分析】（1）根据抛物线过点A，对称轴为直线列方程计算即可；
（2）求出B、C坐标及直线BC解析式，由可得，再设E、F的坐标，根据相似计算即可；
（3）由翻折结合EF∥y轴可得，设E、F坐标计算即可．
（1）
由题意得：
解得：
∴所求的抛物线的解析式是：
（2）
由题意得：，
∴直线BC的解析式为：
∴，
∴
设，则
当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，
①若，则，
∴或 （舍去）
∴
②若，则，
∴或 （舍去）
∴
（3）
∵是由沿直线CE翻折而得
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
设，则
∵，
解得：或 （舍去）
∴
∴
∴N的的坐标是
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及解析式、三角形相似的判定与性质、对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的线段长度，根据已知列方程求解．
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