资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩8页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
必修 第一册5.5 三角恒等变换精品课时练习
展开
这是一份必修 第一册5.5 三角恒等变换精品课时练习，文件包含专题55三角恒等变换原卷版docx、专题55三角恒等变换解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
知识点一
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．C(α－β)：cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cs(α＋β)＝csαcs_β－sin_αsinβ；
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ；
S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcs_β－csαsinβ；
T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；
T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β).
2．变形公式：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
.
sinαsinβ＋cs(α＋β)＝csαcsβ，
csαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcsβ，
3.适用条件：
公式Tα±β只有在α≠eq \f(π,2)＋kπ，β≠eq \f(π,2)＋kπ，α±β≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立，这是由正切函数的定义域决定的．
4．辅助角公式：
函数f(α)＝acs α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．
知识点二
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
2.变形公式：
（1）降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，sin αcs α＝eq \f (1,2)sin 2α.
（2）升幂公式
1＋cs α＝2cs2eq \f (α,2)；
1－cs α＝2sin2eq \f (α,2)；
1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)＋cs \f (α,2)))eq \s\up12(2)；
1－sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)－cs \f (α,2)))eq \s\up12(2).
（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2,1－sin 2α＝(sin α－cs α)2
1±sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)±cs\f(α,2)))2,1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)，1－csα＝2sin2eq \f(α,2)
（4）sin 2α＝eq \f (2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f (2tan α,1＋tan2α)；
cs 2α＝eq \f (cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f (1－tan2α,1＋tan2α).
tan eq \f (α,2)＝eq \f (sin α,1＋cs α)＝eq \f (1－cs α,sin α).
3．公式的适用条件：
在S2α，C2α中，α∈R，在T2α中，α≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)且α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，当α＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式．
知识点三
简单的三角恒等变换
1．半角公式(不要求记忆)
sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－csα,2))，cseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋csα,2)) ，taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－csα,1＋csα)) ＝eq \f(1－csα,sinα)＝eq \f(sinα,1＋csα).符号由eq \f(α,2)所在的象限决定．
2.积化和差与和差化积
(1)积化和差公式(不要求记忆和应用)
sinαcsβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，
csαsinβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]，
csαcsβ＝eq \f(1,2)[cs(α＋β)＋cs(α－β)]，
sinαsinβ＝－eq \f(1,2)[cs(α＋β)－cs(α－β)]．
(2)和差化积公式(不要求记忆和应用)
sinx＋siny＝2sineq \f(x＋y,2)cseq \f(x－y,2)，
sinx－siny＝2cseq \f(x＋y,2)sineq \f(x－y,2)，
csx＋csy＝2cseq \f(x＋y,2)cseq \f(x－y,2)，
csx－csy＝－2sineq \f(x＋y,2)sineq \f(x－y,2)．
知识点四
常见变换规律
(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(π,2)，eq \f(α,2)＝2×eq \f(α,4)，15°＝45°－30°＝60°－45°＝eq \f(30°,2)，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)．eq \f(π,3)－α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))，
eq \f(π,6)－α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))，eq \f(π,3)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))，eq \f(π,4)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α)).
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
考点01 两角和与差的三角函数公式的“正用”
【典例1】（2022上·吉林·高一校考期末）已知，则的值为 ．
【答案】3
【分析】根据题意，由正切函数的和差角公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】已知，所以，
故答案为：
【典例2】（2023上·全国·高一专题练习）利用和（差）公式，求下列各式的值
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)2-
【分析】利用和（差）公式的三角函数公式求解.
【详解】（1）解：，
；
（2），
；
（3），
；
（4），
.
【总结提升】
三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
考点02 两角和与差的三角函数公式的“逆用”“变用”
【典例3】（2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式以及诱导公式求得正确答案.
【详解】，
，
，
所以，
所以
.
故选：A
【典例4】（2023·全国·高一随堂练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）逆用余弦的和角公式即可得解；
（2）逆用正弦的和角公式即可得解；
（3）逆用、正用正切的和角公式即可得解；
（4）利用诱导公式及余弦差角公式的逆用即可得解.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
【总结提升】
注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现eq \f(1,2)，1，eq \f(\r(3),2)，eq \r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
考点03 利用“角的变换”求值
【典例5】（2023上·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知，，，，则 .
【答案】/
【分析】根据题意，分别求得，再由余弦的差角公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为且，则，
又，所以，且，
所以，则，
，
所以
.
故答案为：
【典例6】（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知，，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据确定的取值范围，再由同角三角函数的平方关系及诱导公式即可求得的值；
（2）由题意求得，再利用凑角即可求得的值.
【详解】（1）∵，∴，
又，，
∴，
∴
.
（2）∵，，
∴，，，
∴，
∴
.
【规律总结】
三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
考点04 二倍（半）角公式的应用
【典例7】（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求，，．
【答案】，，
【分析】根据二倍角正余弦公式以及同角的三角函数关系即可求得答案.
【详解】因为，故，则，
由可得，解得，
由可得，解得，
故.
【典例8】（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求，的值．
【答案】；
【分析】根据二倍角公式，即可求解.
【详解】因为，，所以，
，
，.
考点05 三角函数式的化简
【典例9】（2023下·辽宁铁岭·高一西丰县高级中学校考期中） .
【答案】
【分析】利用，结合倍角公式和诱导公式求得，利用切化弦，结合辅助角公式和倍角公式求得，从而可求解.
【详解】，
，
所以.
故答案为：.
【典例10】（2023·全国·高一课堂例题）化简．
【答案】
【分析】法1：由倍角余弦公式得，以此形式及和差角余弦公式化简求值；法2：应用和差角正弦公式及平方关系化简求值.
【详解】法1：由倍角公式，得．
原式
．
法2：
．
【总结提升】
1.三角函数式的化简遵循的三个原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．
(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．
(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．
2.三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．
考点06 三角函数式求值
【典例11】（2023下·四川眉山·高一统考期中）已知，，其中，为锐角．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用已知表示未知.首先用和表示，即，求出，再根据即可求出；
（2）由题意求出及，再求出，根据题意求出的取值范围，根据正切函数即可解决.
【详解】（1）由题意知
所以.
（2）由题意知且为锐角，
所以，
所以，所以，
所以，
因为为锐角，
所以且，
所以，则，
故.
【典例12】（2022上·黑龙江鸡西·高一校考期末）已知，且为第二象限角．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的基本关系式即可得解；
（2）利用正切函数的倍角公式与和差公式即可得解.
【详解】（1）因为，且为第二象限角，
所以，
则.
（2）由（1）知，
所以，
故.
【总结提升】
三角函数式求值的三种题型
(1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．
(2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．
(3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正、余弦函数值，若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,2)，\f (π,2)))，选正弦函数．
考点07 三角恒等式的证明
【典例13】（2023下·江苏徐州·高一校考期中）求证下列恒等式：
(1)；
(2)
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化简即可；
（2）先将正切化弦，通分得到原式，再用辅助角公式，最后利用二倍角公式，即可证明.
【详解】（1）.
（2）左边
,
原式得证.
【典例14】（2023·全国·高一随堂练习）求证：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
(3)证明见详解
(4)证明见详解
【分析】（1）左边直接使用和差公式化简，右边用二倍角公式展开，然后化简可证；
（2）对左边先用余弦二倍角公式，然后再使用正弦二倍角公式化简即可证明；
（3）对左边配方后，使用平方关系式和正弦二倍角公式化简即可得证；
（4）对左边使用和差公式展开，然后通分化简，再由正切二倍角公式可证.
【详解】（1）因为左边，
右边，
所以左边=右边，原等式成立.
（2）因为左边右边，
所以，原等式成立.
（3）因为左边右边，
所以，原等式成立.
（4）因为左边右边，
所以，原等式成立.
考点08 研究三角函数的图像和性质
【典例15】（2023上·全国·高一专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用和差公式和辅助角公式化简，然后由正弦函数的性质可得.
【详解】
，
因为，
所以函数的值域为．
故选：B.
【典例16】已知函数f(x)＝cs x(2eq \r(3)sin x＋cs x)－sin2x.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，关于x的不等式f(x)≥m________，求实数m的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题(2)，并求解．其中，①有解，②恒成立．
【答案】（1）eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))，k∈Z.；（2）m≤1.
【解析】(1)因为f(x)＝cs x(2eq \r(3)sin x＋cs x)－sin2x＝2eq \r(3)sin xcs x＋cs2x－sin2x＝eq \r(3)sin 2x＋cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
令eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))，k∈Z.
(2)若选择①，
由题意可知，不等式f(x)≥m有解，即m≤f(x)max，
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，所以eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(2π,3)，故当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,6)时，f(x)取得最大值，且最大值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝2，所以m≤2.
若选择②，
由题意可知，不等式f(x)≥m恒成立，即m≤f(x)min，
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，所以eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(2π,3).故当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，即x＝0时，f(x)取得最小值，且最小值为f(0)＝1.
所以m≤1.
【总结提升】
1.先根据和角公式、辅助角公式、倍角公式等，把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式.
2.求三角函数周期的常用方法
(1)公式法求周期
①函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B与f (x)＝Acs(ωx＋φ)＋B的周期为T＝eq \f (2π,|ω|)；
②函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝eq \f (π,|ω|).
(2)对称性求最值
①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于eq \f (T,2)；
②对称中心到对称轴距离的最小值等于eq \f (T,4)；
③两个最大(小)值点之差的最小值等于T.
3.三角函数是奇、偶函数的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(2)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
4．如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：
(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(3)若为奇函数则有.
5.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法
(1)求f (x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f (x)＝Acs(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f (x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝eq \f (kπ,2)(k∈Z)，求x.
1.（2022·北京·高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】
化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
2.（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
3.（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】
（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
一、单选题
1.（2023上·全国·高一专题练习）的值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式和和差公式求解可得.
【详解】
.
故选：D
2．（2023下·广东深圳·高一校考期中）计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据降幂公式计算，即可得答案.
【详解】，
故选：A
3．（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考期中）已知，则（ ）
A．B．C． D． -
【答案】D
【分析】根据角的变换及二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】因为，
所以
.
故选：D
二、多选题
4．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】利用三角恒等变换与三角诱导公式即可得解.
【详解】对于A，，故A错误.
对于B，，故B错误，
对于C，
，故C正确.
对于D，，故D正确.
故选：CD.
5.（2023下·江苏连云港·高一统考期中）下列各式的值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据三角恒等变换逐个选项计算即可.
【详解】对A，因为，
故，故，故A正确；
对B，
，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，故D错误.
故选：AC．
三、填空题
6．（2023上·江西·高二校联考期中）已知，则的值为 .
【答案】
【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.
【详解】.
故答案为: .
7．（2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知，则 .
【答案】
【分析】根据和差公式和同角三角函数基本关系计算即可.
【详解】因为，所以，
.
故答案为：-1.
8.（2023上·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）已知，均为锐角，，，则 ， .
【答案】
【分析】根据二倍角的余弦公式即可求出，先确定的范围，再求出的正弦值即可.
【详解】因为，
所以，
又因，均为锐角，所以，则，
所以，所以，，
又因，所以，
则，
所以.
故答案为：；.
四、解答题
9.（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求，及的值．
【答案】.
【分析】先由同角三角函数的关系结合角的范围求得，再利用三角函数的和差角公式即可得解.
【详解】因为，，所以，
由，解得，
所以，
所以，
，
.
10.（2023下·甘肃武威·高一天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）已知，，其中，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用半角公式计算出，利用同角三角函数关系求出，利用正弦差角公式进行计算；
（2）先求出，再利用差角公式计算，结合角的范围求出，得到答案.
【详解】（1）因为，所以，.
因为，所以，
因为，所以，
解得，
所以.
（2）因为，所以，则.
因为，
由，，得，所以.
11．（2023上·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）计算求值：
(1)已知、均为锐角，，，求的值
(2)计算的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方和公式和三角函数的和差公式即可得答案.
（2）根据诱导公式、二倍角公式、辅助角公式即可得答案.
【详解】（1）、均为锐角，则，
所以，
，
所以
.
（2）
.
12．（2023上·江苏南通·高一统考阶段练习）已知函数.
(1)证明：；
(2)当时，求函数的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用，对化简即可证明；
（2）由题意可化简得，由，得，即可求解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
故.
（2）由
，
因为，得，
所以，当时，即，
有最大值，
故当时，函数的最大值为.
知识点一
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．C(α－β)：cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cs(α＋β)＝csαcs_β－sin_αsinβ；
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ；
S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcs_β－csαsinβ；
T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；
T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β).
2．变形公式：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；
.
sinαsinβ＋cs(α＋β)＝csαcsβ，
csαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcsβ，
3.适用条件：
公式Tα±β只有在α≠eq \f(π,2)＋kπ，β≠eq \f(π,2)＋kπ，α±β≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立，这是由正切函数的定义域决定的．
4．辅助角公式：
函数f(α)＝acs α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．
知识点二
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
2.变形公式：
（1）降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，sin αcs α＝eq \f (1,2)sin 2α.
（2）升幂公式
1＋cs α＝2cs2eq \f (α,2)；
1－cs α＝2sin2eq \f (α,2)；
1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)＋cs \f (α,2)))eq \s\up12(2)；
1－sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f (α,2)－cs \f (α,2)))eq \s\up12(2).
（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2,1－sin 2α＝(sin α－cs α)2
1±sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)±cs\f(α,2)))2,1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)，1－csα＝2sin2eq \f(α,2)
（4）sin 2α＝eq \f (2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f (2tan α,1＋tan2α)；
cs 2α＝eq \f (cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f (1－tan2α,1＋tan2α).
tan eq \f (α,2)＝eq \f (sin α,1＋cs α)＝eq \f (1－cs α,sin α).
3．公式的适用条件：
在S2α，C2α中，α∈R，在T2α中，α≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)且α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，当α＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式．
知识点三
简单的三角恒等变换
1．半角公式(不要求记忆)
sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－csα,2))，cseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋csα,2)) ，taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－csα,1＋csα)) ＝eq \f(1－csα,sinα)＝eq \f(sinα,1＋csα).符号由eq \f(α,2)所在的象限决定．
2.积化和差与和差化积
(1)积化和差公式(不要求记忆和应用)
sinαcsβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，
csαsinβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]，
csαcsβ＝eq \f(1,2)[cs(α＋β)＋cs(α－β)]，
sinαsinβ＝－eq \f(1,2)[cs(α＋β)－cs(α－β)]．
(2)和差化积公式(不要求记忆和应用)
sinx＋siny＝2sineq \f(x＋y,2)cseq \f(x－y,2)，
sinx－siny＝2cseq \f(x＋y,2)sineq \f(x－y,2)，
csx＋csy＝2cseq \f(x＋y,2)cseq \f(x－y,2)，
csx－csy＝－2sineq \f(x＋y,2)sineq \f(x－y,2)．
知识点四
常见变换规律
(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(π,2)，eq \f(α,2)＝2×eq \f(α,4)，15°＝45°－30°＝60°－45°＝eq \f(30°,2)，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)．eq \f(π,3)－α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))，
eq \f(π,6)－α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))，eq \f(π,3)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))，eq \f(π,4)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α)).
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
考点01 两角和与差的三角函数公式的“正用”
【典例1】（2022上·吉林·高一校考期末）已知，则的值为 ．
【答案】3
【分析】根据题意，由正切函数的和差角公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】已知，所以，
故答案为：
【典例2】（2023上·全国·高一专题练习）利用和（差）公式，求下列各式的值
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)2-
【分析】利用和（差）公式的三角函数公式求解.
【详解】（1）解：，
；
（2），
；
（3），
；
（4），
.
【总结提升】
三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
考点02 两角和与差的三角函数公式的“逆用”“变用”
【典例3】（2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式以及诱导公式求得正确答案.
【详解】，
，
，
所以，
所以
.
故选：A
【典例4】（2023·全国·高一随堂练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）逆用余弦的和角公式即可得解；
（2）逆用正弦的和角公式即可得解；
（3）逆用、正用正切的和角公式即可得解；
（4）利用诱导公式及余弦差角公式的逆用即可得解.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
【总结提升】
注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现eq \f(1,2)，1，eq \f(\r(3),2)，eq \r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
考点03 利用“角的变换”求值
【典例5】（2023上·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知，，，，则 .
【答案】/
【分析】根据题意，分别求得，再由余弦的差角公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为且，则，
又，所以，且，
所以，则，
，
所以
.
故答案为：
【典例6】（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知，，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据确定的取值范围，再由同角三角函数的平方关系及诱导公式即可求得的值；
（2）由题意求得，再利用凑角即可求得的值.
【详解】（1）∵，∴，
又，，
∴，
∴
.
（2）∵，，
∴，，，
∴，
∴
.
【规律总结】
三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
考点04 二倍（半）角公式的应用
【典例7】（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求，，．
【答案】，，
【分析】根据二倍角正余弦公式以及同角的三角函数关系即可求得答案.
【详解】因为，故，则，
由可得，解得，
由可得，解得，
故.
【典例8】（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求，的值．
【答案】；
【分析】根据二倍角公式，即可求解.
【详解】因为，，所以，
，
，.
考点05 三角函数式的化简
【典例9】（2023下·辽宁铁岭·高一西丰县高级中学校考期中） .
【答案】
【分析】利用，结合倍角公式和诱导公式求得，利用切化弦，结合辅助角公式和倍角公式求得，从而可求解.
【详解】，
，
所以.
故答案为：.
【典例10】（2023·全国·高一课堂例题）化简．
【答案】
【分析】法1：由倍角余弦公式得，以此形式及和差角余弦公式化简求值；法2：应用和差角正弦公式及平方关系化简求值.
【详解】法1：由倍角公式，得．
原式
．
法2：
．
【总结提升】
1.三角函数式的化简遵循的三个原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．
(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．
(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．
2.三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．
考点06 三角函数式求值
【典例11】（2023下·四川眉山·高一统考期中）已知，，其中，为锐角．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用已知表示未知.首先用和表示，即，求出，再根据即可求出；
（2）由题意求出及，再求出，根据题意求出的取值范围，根据正切函数即可解决.
【详解】（1）由题意知
所以.
（2）由题意知且为锐角，
所以，
所以，所以，
所以，
因为为锐角，
所以且，
所以，则，
故.
【典例12】（2022上·黑龙江鸡西·高一校考期末）已知，且为第二象限角．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的基本关系式即可得解；
（2）利用正切函数的倍角公式与和差公式即可得解.
【详解】（1）因为，且为第二象限角，
所以，
则.
（2）由（1）知，
所以，
故.
【总结提升】
三角函数式求值的三种题型
(1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．
(2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．
(3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正、余弦函数值，若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f (π,2)))，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (π,2)，\f (π,2)))，选正弦函数．
考点07 三角恒等式的证明
【典例13】（2023下·江苏徐州·高一校考期中）求证下列恒等式：
(1)；
(2)
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化简即可；
（2）先将正切化弦，通分得到原式，再用辅助角公式，最后利用二倍角公式，即可证明.
【详解】（1）.
（2）左边
,
原式得证.
【典例14】（2023·全国·高一随堂练习）求证：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
(3)证明见详解
(4)证明见详解
【分析】（1）左边直接使用和差公式化简，右边用二倍角公式展开，然后化简可证；
（2）对左边先用余弦二倍角公式，然后再使用正弦二倍角公式化简即可证明；
（3）对左边配方后，使用平方关系式和正弦二倍角公式化简即可得证；
（4）对左边使用和差公式展开，然后通分化简，再由正切二倍角公式可证.
【详解】（1）因为左边，
右边，
所以左边=右边，原等式成立.
（2）因为左边右边，
所以，原等式成立.
（3）因为左边右边，
所以，原等式成立.
（4）因为左边右边，
所以，原等式成立.
考点08 研究三角函数的图像和性质
【典例15】（2023上·全国·高一专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用和差公式和辅助角公式化简，然后由正弦函数的性质可得.
【详解】
，
因为，
所以函数的值域为．
故选：B.
【典例16】已知函数f(x)＝cs x(2eq \r(3)sin x＋cs x)－sin2x.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，关于x的不等式f(x)≥m________，求实数m的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题(2)，并求解．其中，①有解，②恒成立．
【答案】（1）eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))，k∈Z.；（2）m≤1.
【解析】(1)因为f(x)＝cs x(2eq \r(3)sin x＋cs x)－sin2x＝2eq \r(3)sin xcs x＋cs2x－sin2x＝eq \r(3)sin 2x＋cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
令eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))，k∈Z.
(2)若选择①，
由题意可知，不等式f(x)≥m有解，即m≤f(x)max，
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，所以eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(2π,3)，故当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,6)时，f(x)取得最大值，且最大值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝2，所以m≤2.
若选择②，
由题意可知，不等式f(x)≥m恒成立，即m≤f(x)min，
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，所以eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(2π,3).故当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，即x＝0时，f(x)取得最小值，且最小值为f(0)＝1.
所以m≤1.
【总结提升】
1.先根据和角公式、辅助角公式、倍角公式等，把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式.
2.求三角函数周期的常用方法
(1)公式法求周期
①函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B与f (x)＝Acs(ωx＋φ)＋B的周期为T＝eq \f (2π,|ω|)；
②函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝eq \f (π,|ω|).
(2)对称性求最值
①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于eq \f (T,2)；
②对称中心到对称轴距离的最小值等于eq \f (T,4)；
③两个最大(小)值点之差的最小值等于T.
3.三角函数是奇、偶函数的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；偶函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；
(2)函数y＝Acs(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ＋eq \f (π,2)(k∈Z)；是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
4．如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：
(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(3)若为奇函数则有.
5.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法
(1)求f (x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f (x)＝Acs(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝eq \f (π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f (x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝eq \f (kπ,2)(k∈Z)，求x.
1.（2022·北京·高考真题）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】
化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
2.（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
3.（2021·浙江·高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】
（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
一、单选题
1.（2023上·全国·高一专题练习）的值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式和和差公式求解可得.
【详解】
.
故选：D
2．（2023下·广东深圳·高一校考期中）计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据降幂公式计算，即可得答案.
【详解】，
故选：A
3．（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考期中）已知，则（ ）
A．B．C． D． -
【答案】D
【分析】根据角的变换及二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】因为，
所以
.
故选：D
二、多选题
4．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】利用三角恒等变换与三角诱导公式即可得解.
【详解】对于A，，故A错误.
对于B，，故B错误，
对于C，
，故C正确.
对于D，，故D正确.
故选：CD.
5.（2023下·江苏连云港·高一统考期中）下列各式的值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据三角恒等变换逐个选项计算即可.
【详解】对A，因为，
故，故，故A正确；
对B，
，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，故D错误.
故选：AC．
三、填空题
6．（2023上·江西·高二校联考期中）已知，则的值为 .
【答案】
【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.
【详解】.
故答案为: .
7．（2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知，则 .
【答案】
【分析】根据和差公式和同角三角函数基本关系计算即可.
【详解】因为，所以，
.
故答案为：-1.
8.（2023上·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）已知，均为锐角，，，则 ， .
【答案】
【分析】根据二倍角的余弦公式即可求出，先确定的范围，再求出的正弦值即可.
【详解】因为，
所以，
又因，均为锐角，所以，则，
所以，所以，，
又因，所以，
则，
所以.
故答案为：；.
四、解答题
9.（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求，及的值．
【答案】.
【分析】先由同角三角函数的关系结合角的范围求得，再利用三角函数的和差角公式即可得解.
【详解】因为，，所以，
由，解得，
所以，
所以，
，
.
10.（2023下·甘肃武威·高一天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）已知，，其中，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用半角公式计算出，利用同角三角函数关系求出，利用正弦差角公式进行计算；
（2）先求出，再利用差角公式计算，结合角的范围求出，得到答案.
【详解】（1）因为，所以，.
因为，所以，
因为，所以，
解得，
所以.
（2）因为，所以，则.
因为，
由，，得，所以.
11．（2023上·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）计算求值：
(1)已知、均为锐角，，，求的值
(2)计算的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方和公式和三角函数的和差公式即可得答案.
（2）根据诱导公式、二倍角公式、辅助角公式即可得答案.
【详解】（1）、均为锐角，则，
所以，
，
所以
.
（2）
.
12．（2023上·江苏南通·高一统考阶段练习）已知函数.
(1)证明：；
(2)当时，求函数的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用，对化简即可证明；
（2）由题意可化简得，由，得，即可求解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
故.
（2）由
，
因为，得，
所以，当时，即，
有最大值，
故当时，函数的最大值为.
相关试卷
高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式精品练习题： 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册<a href="/sx/tb_c4000282_t7/?tag_id=28" target="_blank">5.3 诱导公式精品练习题</a>，文件包含专题53诱导公式原卷版docx、专题53诱导公式解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）精品一课一练： 这是一份人教A版 (2019)必修 第一册<a href="/sx/tb_c4000277_t7/?tag_id=28" target="_blank">第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）精品一课一练</a>，文件包含专题45函数的应用二原卷版docx、专题45函数的应用二解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数精品复习练习题： 这是一份人教A版 (2019)必修 第一册<a href="/sx/tb_c4000275_t7/?tag_id=28" target="_blank">4.3 对数精品复习练习题</a>，文件包含专题43对数原卷版docx、专题43对数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
