人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）精品达标测试

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知识点一
y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
1.匀速圆周运动的数学模型
如图，点P从P0(t＝0)开始，逆时针绕圆周匀速运动(角速度为ω)，则点P距离水面的高度H与时间t的函数关系式为H＝rsin(ωt＋φ)＋h.
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
提醒：用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髓是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为.
知识点二
图象变换
1.由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象
【特别提醒】
(1)两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是 (ω＞0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
2.常用结论
（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
（2）由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
知识点三
三角函数的应用
(1)如果某种变换着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．
(2)在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量，大都与这个解析式中的常数有关：
考点01 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换
【典例1】（2022上·青海西宁·高三统考期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简得到，然后根据图象的平移变换判断即可.
【详解】，，
，
所以的图象向右平移得到的图象.
故选：A.
【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）不画图，写出下列函数的振幅、周期和初相，并说明这些函数的图象可以由正弦曲线经过怎样的变换得到：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】求出函数的振幅、周期和初相，再结合对函数图象的影响可得变换方法.
【详解】（1）函数的振幅，周期，初相.
把正弦曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，
再把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），就得到函数的图象，
然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），就得到函数的图象.
（2）函数的振幅，周期，初相.
把正弦曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，
再把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），就得到函数的图象，
然后再把函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），就得到函数的图象.
（3）函数的振幅，周期，初相.
把正弦曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，
再把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），就得到函数的图象，
然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），就得到函数的图象.
（4）函数的振幅，周期，初相.
把正弦曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，
再把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），就得到函数的图象，
然后再把函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），就得到函数的图象.
【总结提升】
(1)注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出，对称变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换．
(2)“异名”函数图象的平移变换问题的关键是：借助诱导公式，将“异名”函数先化为“同名”函数，可以将“已知函数名称”化为 “所求函数名称”，也可将“所求函数名称”转化为“已知函数名称”．
考点02 作给定区间内的图象
【典例3】（2023·全国·高一课堂例题）在同一直角坐标系中画出，，一个周期内的图象，分析它们之间的变化关系．
【答案】答案见解析
【分析】通过“五点法”画出一个周期内的简图，观察图像，分析它们之间的变化关系.
【详解】通过“五点法”画出函数，，在一个周期内的简图，如下图．

观察上图，可以发现：
的图象可以由的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标减去得到，也就是将的图象向左平移个单位长度得到．
的图象可以由的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标加上得到，也就是将的图象向右平移个单位长度得到．
【典例4】（2023·全国·高一随堂练习）画出下列函数在一个周期上的图象，并讨论其性质：
(1)；
(2)．
【答案】(1)定义域：，值域：，周期性：，奇偶性：奇函数，
单调性：单调增区间：，单调减区间：
(2)定义域：，值域：，周期性：，奇偶性：奇函数，
单调性：单调增区间：，单调减区间：
【分析】（1）根据五点法作图规则作出图形，借助图象、周期公式、奇偶性定义等求解出性质；
（2）根据五点法作图规则作出图形，借助图象、周期公式、奇偶性定义等求解出性质.
【详解】（1）
定义域：；
值域：；
周期性：；
奇偶性：因为，
所以函数为奇函数；
单调性：当，解得，，
故函数的单调增区间：，
当，解得，，
故函数的单调减区间：，
所以单调性：单调增区间：，单调减区间：.
（2）
定义域：；
值域：；
周期性：；
奇偶性：因为，
所以函数为奇函数；
单调性：当，解得，，
故函数的单调增区间：，
当，解得，，
故函数的单调减区间：，
单调性：单调增区间：，单调减区间：.
【总结提升】
根据“五点法”作给定区间内的函数图象的步骤：(1)根据所给出的x的所在区间，确定ωx＋φ所在的区间；(2)在ωx＋φ所在的区间内，找出“特征点(五点)”，并根据ωx＋φ所在特征点位置，确定出x的值；(3)根据x，f(x)进行描点，并用光滑曲线连接起来即可．
考点03 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【典例5】（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数的部分图像如图所示，则，的值分别是（ ）
A．2，B．2，C．2，D．4，
【答案】C
【分析】先由图象确定周期，求解，再代入最值点，求解.
【详解】设函数的周期为，
则由图象知，，
解得，；
由图象点在函数的图象上，则
，则，
则，解得，
又已知，则.
故选：C.
【典例6】（2023下·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，

(1)求的解析式；
(2)当时，求的最值．
【答案】(1)
(2)最小值是－1，最大值是2．
【分析】（1）由求，由最小正周期求，由求，可得的解析式；
（2）时，，结合正弦函数的图像和性质，求的最值．
【详解】（1）∵，，∴；
由图象可知：最小正周期，∴，
又，∴，解得：，
又，∴，∴；
（2）当时，，
∴当即时，，
∴当即时，，
∴当时，的最小值是－1，最大值是2．
【总结提升】
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法为代入法，即把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
考点04 函数y＝Asin(ωx＋φ)的零点
【典例7】【多选题】（2023上·湖南衡阳·高一校考期末）已知函数的两个相邻零点间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数在区间上单调递减
C．
D．函数在区间内的零点个数为3
【答案】CD
【分析】确定，得到函数解析式，取，计算得到A错误，取，计算得到B错误，确定解析式得到C正确，计算零点得到D正确，得到答案.
【详解】对于选项A：，，令，，
解得，，故函数的图象关于直线，对称，错误；
对于选项B：令，，得，，
函数的单调递减区间为，，错误；
对于选项C：将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，
正确；
对于选项D：令，，得，，
函数在区间内的零点有，，，共3个，正确．
故选：CD．
【典例8】（2023上·重庆铜梁·高三校联考阶段练习）已知函数的图像上相邻两条对称轴的距离是，的最大值与最小值之差为1，且的图像的一个对称中心是．
(1)求函数的解析式；
(2)若方程在区间上有解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得的周期、振幅，再根据正弦函数的对称点公式求解即可；
（2）根据正弦函数的单调性与值域求解即可.
【详解】（1）因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以.
又，故，.
因为的最大值与最小值之差为1，故，，
又由的图像的一个对称中心是，故，
则，又，
故当时，，
故.
（2），，，
，若方程在区间上有解，则，
故实数m的取值范围是
【总结提升】
一般将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题．与三角函数相关的方程根的问题(零点问题)等常通过函数与方程思想化为图象交点问题，再借助图象分析．
考点05 三角函数图象与性质的综合应用
【典例9】（2022下·四川南充·高一四川省南充高级中学校考阶段练习）已知函数（其中，，）的图像如图所示.
(1)求函数的解析式及其对称轴方程；
(2)将函数的图像上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到了函数的图像，若函数在上单调递增，求的取值范围.
【答案】(1)，对称轴方程为；
(2).
【分析】（1）由图象可得、求出，五点法求，再由正弦型函数的性质求对称轴方程；
（2）根据图象平移可得，利用正弦型函数的单调性确定.
【详解】（1）由图知，，，则，
由，即，故，，
所以，，又，则，
故．
令，得，
所以的对称轴方程为．
（2）将上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到图象，函数在上单调递增,
因为，则，
而，即，
所以当，即时，在单调递增；
所以．
【典例10】（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数的最小正周期为．
(1)求的值；
(2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象．若在区间上有且仅有5个零点，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）化简函数解析式，由最小正周期为，求的值；
（2）根据图像变换得解析式，求出函数零点，由在区间上有且仅有5个零点，列不等式求的取值范围．
【详解】（1），
因为函数的最小正周期为，所以，解得．
（2）将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到的图像，
所以．
令，有，即，得，
因为上有且仅有5个零点，
所以．
所以的取值范围为.
【总结提升】
关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性、极值点、最值点、零点及有界函数)等．
考点06 三角函数模型的应用
【典例11】（2023·全国·高一随堂练习）一个单摆如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为，α与摆动时间t（单位：s）之间的函数解析式为．求：
(1)最初时α的值；
(2)单摆摆动的频率；
(3)经过多长时间单摆完成5次完整摆动？
【答案】(1)
(2)
(3)s.
【分析】（1）直接代入计算即可；
（2）由解析式求周期，再求频率即可；
（3）根据周期直接计算即可.
【详解】（1）代入得；
（2）由解析式可知其周期；
（3）由（2）知该函数的周期为，故完成5次完整摆动需要s.
【典例12】（2023·全国·高一随堂练习）已知某海滨浴场的浪高是时间（时）（）的函数，记作．下表是某日各时刻的浪高数据.经长期观测，可近似地看成是函数．
(1)根据以上数据，求出该函数的周期、振幅及函数解析式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放，试依据（1）的结论，判断一天内8：00至20：00之间有多长时间可供冲浪者进行运动．
【答案】(1)；
(2)6个小时.
【分析】（1）根据表中数据可知，再根据最大值和最小值求出和，从而得解析式；
（2）解，得，再结合，可得的范围，从而得答案.
【详解】（1）解：由表中数据可知，的最大值为1.5，最小值为0.5，
所以，，，
所以；
（2）解：由（1）可知，
由，得，
所以，
所以，
因为，
所以，，
所以一天内从上午9点天下午3点共有6个小时可以冲浪.
【总结提升】
1.三角函数能模拟现实生活中的许多周期现象，匀速圆周运动是比较典型的一个．解决这类问题时，首先寻找与角有关的信息，确定三角函数模型；其次搜集数据，求出三角函数解析式，再利用三角函数的性质解决有关问题．
2.三角函数的应用体现两个方面
(1)已知函数模型求解数学问题．
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
1.【多选题】（2020·山东·统考高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,
不妨令,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
2.（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
3.（2023·北京·统考高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1).
(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【详解】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
一、单选题
1.（2023上·陕西西安·高三校考期中）以下平移能将函数的图象变成函数的图象的是（ ）
A．向右平移B．向左平移
C．向右平移D．向左平移
【答案】B
【分析】根据三角函数图像变换的知识求得正确答案.
【详解】，
所以函数的图象向左平移得到.
故选：B
2．（2023上·全国·高一专题练习）如图，某港口某天从到的水深（单位：m）与时间（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天的水深为（ ）
A．B．4m
C．D．
【答案】A
【分析】根据图象确定的值，即可得函数解析式，将代入解析式中，即可求得答案.
【详解】由题图可得，，则，
当时，取得最小值，即，解得，
∵函数的图象过点，
∴，故，又，∴，
∴.
当时，，
即估计当天的水深为.
故选：A.
3．（2022上·河南周口·高一校联考期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．直线是图象的一条对称轴
C．图象的对称中心为
D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象
【答案】C
【分析】对A，根据图最大值为3可得，再根据周期求得，再根据最高点判断可得，即可判断；
对B，代入判断函数是否取最值即可；
对C，根据正弦函数对称中心的公式求解即可；
对D，根据三角函数图象平移性质判断即可.
【详解】对A，由最大值为3可得，由图知，故，故，
由图象最高点可得，即，
又，故，故.
故，故A错误；
对B，，不为函数最值，故直线不是图象的一条对称轴，故B错误；
对C，令，解得，故对称中心为，故C正确；
对D，的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，故D错误；
故选：C
二、多选题
4．（2023上·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）已知函数，直线为图象的一条对称轴，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A．的最小正周期为B．
C．的图象关于点对称D．的图象关于点对称
【答案】ABD
【分析】根据对称性求得，根据三角函数图象变换求得，根据三角函数的最小正周期、对称性等知识求得正确答案.
【详解】由于直线为图象的一条对称轴，
所以，
由于，所以，B选项正确，则，
的最小正周期为，A选项正确.
，所以C选项错误.
将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.
，的图象关于点对称，所以D选项正确.
故选：ABD
5．（2023·浙江宁波·统考一模）函数在区间上为单调函数，且图象关于直线对称，则（ ）
A．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称
B．函数在上单调递减
C．若函数在区间上没有最小值，则实数的取值范围是
D．若函数在区间上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是
【答案】AB
【分析】根据函数单调性及对称轴求出函数解析式，由函数的平移判断A，根据单调性判断B，由函数的图象与性质可判断CD.
【详解】由题意且，
可得，，
故当时，，.
对A，函数的图象向右平移个单位长度可得，故函数图象关于y轴对称，故A正确；
对B，当时，，所以函数单调递减，故B正确；
对C，当时，，函数在区间上没有最小值，则需，即，故C错误；
对D，由C，函数在区间上有且仅有2个零点，则，即
，故D错误.
故选：AB
三、填空题
6．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则 ．
【答案】
【分析】根据函数图象的平移可得，进而根据偶函数即可求解,进而可求解.
【详解】，
由于是偶函数，所以,故，
所以，
故答案为：
7．（2023上·江苏·高一专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】根据三角函数平移规律，即可求解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为．
故答案为：
四、解答题
8.（2023·全国·高一课堂例题）画出函数的图象，并求出这个函数的周期和值域．
【答案】图像见解析，函数的周期为，值域为．
【分析】第一种方法，先求周期，再用“五点法”作出在一个周期内的图象,从图象求值域；第二种方法，先从的图象变换得到 图象，再求周期和值域.
【详解】（方法一）函数的周期，我们先用“五点法”作出它在一个周期内的图象．
令，得，把作为第一点的横坐标，依次递加一个周期的，即，就可以得到其余四个点的横坐标．列表如下：
作出函数在上的简图，并左右连续地平移，就可以得到这个函数的图象，如下图．

函数的值域为．
（方法二）先作出函数的图象，将正弦曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，值域仍为，周期仍为．
再将的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，这个函数的值域仍为，周期变成．
将函数的图象上每一点的横坐标不变、纵坐标扩大为原来的2倍，就得到函数的图象，如下图．

函数的周期为，值域为．
9．（2022上·河南郑州·高一校考期末）已知函数.
(1)求函数及其最小正周期；
(2)求函数在区间上的单调减区间；
(3)将函数图象向右移动个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求a的取值范围．
【答案】(1)，最小正周期；
(2)递减区间为；
(3).
【分析】（1）由和角余弦公式、二倍角公式化简得，再求出最小正周期即可；
（2）设，结合正弦函数性质求递减区间；
（3）根据图象平移得，再由正弦函数图象和区间最值个数列不等式求参数范围.
【详解】（1）因为，
所以，
所以最小正周期为.
（2）设，由，可得，
而在上递增，在上递减，
所以在上递增，在上递减，
故在区间上的单调减区间为.
（3）由题意,可得，
则，则为奇函数，
由，可得，
要使在区间上至少有100个最大值，则上有50个最大值，
所以，即；
上有50个最大值，则，即，
综上，.
10.（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的单调递减区间．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数图象求出，，进而得出.根据“五点法”，即可求出的值；
（2）先求出，根据已知得出.结合正弦函数的单调性，解，即可得出答案.
【详解】（1）由图易知，，
所以，．
易知，故函数的图象经过点，
所以．
又 ，∴．
∴．
（2）由题意，易知，
因为时，所以.
解可得，，
此时单调递减，
故函数的单调递减区间为.
11．（2023上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知函数，满足______．
在：①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答．
(1)求的解析式；
(2)把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）若选①②：根据求出，函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，从而得到函数的解析式；若选①③：根据求出，函数图象的一个最低点的坐标为求出，可得函数的解析式；若选②③：根据函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，函数图象的一个最低点的坐标为，求出可得函数的解析式；
（2）利用图象平移可得的解析式，再由在区间上的最大值为2可得答案.
【详解】（1）若选①②：
因为函数的一个零点为，所以，所以，
所以，因为，所以．
因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以．
因为，所以，所以函数的解析式为；
若选①③：
因为函数的一个零点为，所以，所以，
所以，因为，所以．
因为函数图象的一个最低点的坐标为，
所以，所以，
所以，即，因为，所以．
所以函数的解析式为；
若选②③：
因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以，
因为，所以，因为函数图象的一个最低点的坐标为，
所以，所以，
所以即，
因为，所以，所以函数的解析式为；
（2）把的图象向右平移个单位得到，
再将向上平移1个单位得到，
即，由得，
因为在区间上的最大值为2，
所以在区间上的最大值为1，
所以，所以，所以的最小值为.
12．（2022下·浙江嘉兴·高一浙江省海盐高级中学校考开学考试）已知函数同时满足下列两个条件中的两个：
①函数的最大值为2；②函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求出的解析式；
(2)求方程在区间上所有解的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两个条件得到，，得到函数解析式；
（2）令，结合，得到或，求出答案.
【详解】（1）因为，函数的最大值为2，
所以，
又函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，，
所以，解得，
故；
（2）由（1）可知，，即，
因为，所以，
故或，
解得或，
则方程在区间上所有解的和为.
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f ＝＝
ωx＋φ
φ
/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
0
0
2
0
0