高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系精品练习

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知识点一
子集、真子集
1.子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.
2.真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA．
3.概念解读：(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．
(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．
(4)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.任何集合都不是它本身的真子集．
(5)若A⊆B，且A≠B，则AB．
知识点二
空集
1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
2.规定：空集是任何集合的子集．
3.辨析：
知识点三
集合间关系的性质
对于集合A，B，C，
①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；
②若AB，BC，则AC．
知识点四
子集、真子集个数
若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
考点01 判断集合的子集（真子集）关系
【典例1】（2012·全国·高考真题）已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023秋·高一课时练习）设，，，则集合的关系是 ．
【总结提升】
判断集合关系的方法有三种：
(1)一一列举观察．
(2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若p(x)推出q(x)，则A⊆B；②若q(x)推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．
(3)数形结合法：利用数轴或图示．
对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法．注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示．
考点02 求集合的子集（真子集）
【典例3】（2023秋·高一课前预习）已知集合，则集合的子集有（ ）
A．7个B．6个C．4个D．3个
【典例4】写出集合A＝{a，b，c}的所有子集和真子集.
【规律方法】
求有限集合的子集问题，关键有三点：
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
考点03 确定子集、真子集的个数
【典例5】（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知集合，集合且，则集合的子集个数为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【典例6】（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）满足条件的所有集合的个数是（ ）
A．32B．31C．16D．15
【总结提升】
1．明确集合中元素个数．
2．依据若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个
考点04 根据集合的包含关系求参数
【典例7】（2023春·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知集合，，，则实数m的值为（ ）
A．－1B．0C．1D．2
【典例8】（2023春·江苏苏州·高二校考期中）已知集合，，若，则实数m可能的取值为 .
【典例9】（2023·全国·高一假期作业）已知集合．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围．
【总结提升】
1.弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
2.看集合中是否含有参数，若含参数，应考虑参数使该集合为空集的情形；
3.将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围．
考点05 判断集合之间的关系
【典例10】（2023·全国·高一假期作业）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【典例11】 已知集合A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，则集合A与B的关系正确的是( )
A．A⊆B B．AB
C．B⊆A D．A∈B
【总结提升】
判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等、不等关系，但有时也可能为属于关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两集合中元素之间的关系是什么．
考点06 根据集合的相等求参数
【典例12】（2023春·湖南长沙·高二湘府中学校考期末）已知实数集合若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【典例13】（2023春·云南普洱·高一校考阶段练习）已知集合，．若，则值为 ．
【典例14】（2022秋·甘肃定西·高三校考阶段练习）已知集合， 若， 则实数的取值范围是 ．
【总结提升】
根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．
考点07 空集及其应用
【典例15】（2023·全国·高一假期作业）下列集合中为的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例16】【多选题】（2023·江苏·高一假期作业）下列说法错误的是（ ）
A．0∈∅B．∅＝{0}
C．∅中元素的个数为0D．∅∈{0}
【典例17】【多选题】（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）已知集合，，若，则实数的取值可以是（ ）
A．0B．1C．D．
【典例18】（2022秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 .
【易错警示】
空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
考点08 根据子集（真子集）个数求参数
【典例19】（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）若集合的所有子集个数是，则的取值是（ ）
A．B．C．D．或
【典例20】（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）设集合，只有一个子集，则满足要求的实数 ．
1．（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
2．（2012·湖北·高考真题）已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2013·江苏·高考真题）集合共有 个子集.
一、单选题
1．（2022秋·甘肃临夏·高一校考期中）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．以上都不正确
2．（2023春·江西九江·高二统考期末）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．1B．2C．4D．8
3.（2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）若关于x的方程的解集是空集，求k的值（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（ ）
A．1B．3C．4D．6
二、多选题
5．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）下列关系中表述正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
6．（2022·江苏·高一专题练习）若集合，则实数a的取值范围 ．
7．（2022秋·广西玉林·高一校考阶段练习）如果集合满足，则满足条件的集合的个数为 （填数字）．
8．（2021秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）已知集合，集合，且，则实数 .
9．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第七中学校考期末）已知集合没有非空真子集，则实数a构成的集合为 .
四、解答题
10．（2022·江苏·高一专题练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
11．（2021秋·高一校考课时练习）设，若，求所有满足条件的的集合.
12．（2023·全国·高一假期作业）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.