1.2 集合间的基本关系7种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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1、符号“∈”与“⊆”区别
①“∈”表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1N.
②“⊆”表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}.
③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合．
2、0，{0}，∅，{∅}的关系
3、对子集概念的三角度理解
(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.
4、求集合子集、真子集的步骤
5、有限集的子集的确定问题，求解关键有三点：
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
6、与子集、真子集个数有关的四个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数为2n个；
(2)A的非空子集的个数有2n－1个
(3)A的真子集的个数为2n－1个；
(4)A的非空真子集的个数为2n－2个．
具体示例如下:
注：对于元素个数有限的集合A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中含有m个元素(n，m∈N＋，且m7、空集是任何集合的子集
因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
8、判断集合间关系的常用方法
(1)列举观察法
当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．
(2)集合元素特征法
首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．
(3)数形结合法
利用Venn图、数轴和直角坐标平面等图示形象直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴，但要注意端点值的取舍.
9、由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解,此时应注意分类讨论．
(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．
注：(1)不能忽视集合为∅的情形．
(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
10、利用集合关系求参数的关注点
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．
∅与0
∅与{0}
∅与{∅}
相同点
都表示无
的意思
都是集合
都是集合
不同点
∅是集合；
0是实数
∅中不含任何元素；
{0}含一个元素0
∅不含任何元素；
{∅}含一个元素，该元素是∅
关系
0∉∅
∅{0}
∅{∅}或∅∈{∅}
集合A
所有子集
子集个数
真子集个数
非空真子集个数
{a}
∅，{a}
2＝21
1
0
{a，b}
∅，{a}，{b}，{a，b}
4＝22
3
2
{a，b，c}
∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}
8＝23
7
6
A＝{a1，a2，…，an}
2n
2n－1
2n－2
考点一 集合间关系的判断
考点二 求集合的子集、真子集
考点三 判断集合子集、真子集的个数
考点四 根据子集、真子集的个数求参数
考点五 空集的性质及其应用
考点六 集合相等及其应用
考点七 由集合间的包含关系求参数
考点一 集合间关系的判断
1．（2023·全国·高一假期作业）下列各式：①，②，③，④，⑤，其中错误的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可．
【详解】由元素与集合的关系可知，故①错误；
由集合与集合的关系可知，故②错误；
任何集合都是自身的子集，故③正确；
空集是任何非空集合的子集，故④正确；
集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确；
综上可得，只有①②错误．
故选B．
2．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．A
【答案】D
【分析】由题可化简集合A，由集合关系可判断选项正误.
【详解】由题可得，则，故ABC错误，D正确.
故选：D
3．（2023·高一课时练习）设集合，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将集合化简，即可由集合间的关系求解.
【详解】由，所以，
故选：B
4．（2023·江苏·高一假期作业）指出下列各对集合之间的关系.
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|－1(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}；
(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}.
【答案】(1)无包含关系
(2)
(3)
(4)
(5)A＝B
【分析】（1）由集合A和集合B的代表元素判断；
（2）利用数轴求解判断；
（3）由等边三角形和等腰三角形的关系判断；
（4）由n∈N*判断；
（5）由任意k∈Z是否符合集合元素的公共属性判断.
【详解】（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.
（2）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.
（3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.
（4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.
（5）A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意k∈Z，k＝2×(－k)＋3k∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z，
因为任意k∈Z，k＝4k－3k∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z.
5．（2023·全国·高一假期作业）设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别分析两个集合中的元素所代表的意思即可判断选项.
【详解】解：因为，因为，
所以集合是由所有奇数的一半组成，
而集合是由所有整数的一半组成，故.
故选：B
6．【多选】（2023·高一单元测试）集合，，则下列关系错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系.
【详解】因为，
表示整数，表示奇数，
故，故选项A、B、D错误，选项C正确，
故选：ABD.
7．【多选】（2023秋·陕西西安·高一高新一中校考期中）若集合，则之间的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据集合间的关系分析理解.
【详解】∵，， 且为奇数，为整数，
∴，即，A、D错误，C正确；
又∵，且均为整数，
∴，B正确；
故选：BC.
考点二 求集合的子集、真子集
8．（2023秋·西藏拉萨·高一校考期中）已知集合，则集合的子集为______.
【答案】
【分析】根据子集概念求解即可。
【详解】因为，
所以的子集为.
故答案为：.
9．（2023·高一课时练习）已知集合且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组求解方程组的根，进而可得集合,由子集的性质即可求解.
【详解】由，又且,所以，
故选：B
10．（2023秋·西藏拉萨·高一校考期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为______.
【答案】，，，,
【分析】根据子集概念求解即可,
【详解】因为，，
所以集合为，，，,
故答案为：，，，
11．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（ ）
A．1B．3C．4D．6
【答案】D
【分析】首先列出集合的非空子集，即可得到方程，解得即可.
【详解】解：集合的非空子集有、、，
所以，
解得.
故选：D
12．（2023·湖南·校联考模拟预测）设集合，若A的所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】不妨设，由题意可得，即可得解.
【详解】不妨设，
则A的所有三元子集为，
由题意可得，解得，
因此集合.
故选：B.
13．（2023秋·海南儋州·高一校考期中）写出集合的所有子集和它的真子集.
【答案】答案见解析.
【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可.
【详解】集合的所有子集为；
集合的所有真子集为.
14．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，则下列集合中是集合A的真子集的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据真子集的定义一一判断即可.
【详解】对A，两集合相等，故A选项不是集合A的真子集，
对B，由真子集定义知，是集合A的真子集，
C和D选项的集合里含有不属于集合A的元素，故C,D错误，
故选：B.
15．（2023秋·河北张家口·高一张家口市第四中学校考期中）已知集合，且；
(1)求实数；
(2)写出的所有真子集.
【答案】(1)
(2)，，
【分析】（1）利用集合与元素的关系求解即可；
（2）根据真子集的定义写出的所有真子集即可.
【详解】（1）因为，所以或，
当，即时，不满足集合元素的互异性；
当时，解得（不满足集合元素互异性舍去）或，
所以当时，，
综上实数.
（2）由（1）得，
所以的所有真子集为，，.
考点三 判断集合子集、真子集的个数
16．（2023春·浙江衢州·高一统考期末）已知集合，则集合的子集有（ ）
A．7个B．6个C．4个D．3个
【答案】C
【分析】列举出集合的子集即可得解.
【详解】因为集合，
所以集合的子集有共个.
故选：C.
17．（2023秋·江苏苏州·高一统考开学考试）由英文单词“bk”中的字母构成的集合的子集个数为（ ）
A．3B．6C．8D．16
【答案】C
【分析】首先写出该集合，即可判断集合的元素个数，根据含有个元素的集合的子集个数为个计算可得.
【详解】解：由英文单词“bk”中的字母构成的集合为，集合中含有个元素，
所以该集合的子集为个.
故选：C
18．（2023·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（ ）
A．4B．8C．15D．16
【答案】D
【分析】先求出，再找出中6的正约数，可确定集合，进而得到答案．
【详解】集合，,
，
故有个子集.
故选：D．
19．（2023秋·广东深圳·高一校考阶段练习）若集合满足，则的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据真子集的概念即可求解.
【详解】由题意可知：集合或或,
所以的个数为3，
故选：B.
20．（2023·高一课时练习）集合且的真子集的个数是（ ）
A．16B．15C．8D．7
【答案】B
【分析】用列举法表示集合A，根据下面的结论求解：含有个元素的集合的真子集的个数是个．
【详解】，集合A含有4个元素，真子集的个数是，
故选：B．
21．（2023·河南开封·统考三模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【分析】根据题意得到集合，然后根据集合中元素的个数求集合的真子集个数即可.
【详解】由题意得，所以集合的真子集个数为.
故选：C.
22．（2023秋·高一课时练习）设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（ ）
A．4B．6C．7D．15
【答案】B
【分析】求得集合，即可求得结果.
【详解】根据题意知，集合且，其非空真子集的个数为.
故选：B
23．（2023·全国·高三对口高考）已知集合，定义，则集合的所有非空子集的个数为__________．
【答案】31
【分析】先根据题意得到，从而根据元素个数得到非空子集个数.
【详解】集合，，定义，
则，元素个数为5，
故集合的所有非空子集的个数为
故答案为：31
24．（2023春·山东烟台·高二统考期中）若2730能被不同的偶数整除，则这样的偶数个数有（ ）．
A．14B．15C．16D．17
【答案】C
【分析】根据题意分析可得所求偶数个数即为集合的子集的个数，即可得结果.
【详解】因为，
所以这样的偶数个数即为集合的子集的个数，共有个.
故选：C.
25．（2023·全国·高三对口高考）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（ ）
A．3种B．5种C．7种D．9种
【答案】C
【分析】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可.
【详解】由，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素，
依次有以下可能：七种可能.
故选：C
26．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据题意，利用列举法计数即可.
【详解】∵，∴要确定集合M,只需确定1和4是否放置在其中，
共有4种情况，，
故选：D
27．（2023秋·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．8个B．4个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据给定的条件，确定集合中元素即可求解作答.
【详解】因，则有都是集合中元素，4，6都不在中，5可以在中，
因此集合可以是或，
所以满足条件的集合的个数为2.
故选：C
28．（2023·高一单元测试）已知集合，，则满足条件的集合的个数为_____个.
【答案】31
【分析】根据得是的真子集，根据子集个数即可求解.
【详解】集合，，
由得,所以是的真子集
故有，
故答案为：31
29．（2023·全国·高三专题练习）已知集合．
（1）用列举法表示集合，则______，集合的真子集的个数为______．
（2）若，则所有满足条件的集合为______．
（3）若，则满足条件的集合的个数为______．
【答案】 7 ，，， 3
【分析】由条件先确定集合中的全部元素，由此用列举法写出集合，再根据结论确定其真子集的个数，根据关系列出满足条件的集合，由关系确定满足条件的集合，可得结论.
【详解】（1）由知．又，所以，
集合的真子集的个数为．
（2）由题意知集合中必含元素0，1，2，而3，4这两个元素可以不含，也可以含一个或含两个，所以满足条件的集合为，，，．
（3）由，结合（2）知满足条件的集合的个数为3．
故答案为：，7；，，，；3
考点四 根据子集、真子集的个数求参数
30．（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是______．（说明：写出满足条件的一个实数m的值）
【答案】（答案不唯一）
【分析】先根据题意得集合A中所含元素个数，再通过二次方程得答案.
【详解】集合恰有两个非空真子集,
则集合A中含有2个元素，即方程由2个不等实根，
，
解得且.
故答案为：（答案不唯一）.
31．（2023秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知集合的子集只有两个，则实数的值为______．
【答案】0或1
【分析】分类讨论确定集合中元素或元素个数后得出其子集个数，从而得结论．
【详解】时，，子集只有两个，满足题意，
时，若即，则，子集只有1个，不满足题意；
若，即，则集合有两个元素，子集有4个，不满足题意，
时，，，子集只有两个，满足题意，
所以或1.
故答案为：0或1，
32．（2023秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）若集合有且仅有两个子集，则实数的值是__________.
【答案】
【分析】通过集合有且仅有两个子集，可知集合中只有一个元素，根据二次项系数是否为分类讨论.
【详解】由集合有且仅有两个子集，得中只有一个元素.
当即时，，符合题意.
当即时， 解得.
故答案为：
33．【多选】（2023秋·四川宜宾·高一统考阶段练习）已知集合恰有4个子集，则的值可能为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】ABC
【分析】集合恰有4个子集，则集合有2个元素，问题转化为有两个不相等的实数解即可.
【详解】因为集合恰有4个子集，所以集合有2个元素，则有两个不相等的实数解，则，解得.
故选：ABC.
34．（2023秋·全国·高一专题练习）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【分析】根据真子集的个数可得或者为单元素集，进而根据方程的根可求解.
【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多一个，故或者为单元素集，
当时，则且，解得，
当为单元素集，则中只有一个元素，当时，符合题意，当时，则，解得 ，
综上，或，
故选：D
35．（2023秋·上海普陀·高一校考阶段练习）若集合至多有两个子集，则实数的取值范围为___________．
【答案】或．
【分析】若集合至多有两个子集，则集合中至多有一个元素，通过分类讨论得出的范围．
【详解】若集合至多有两个子集，则集合中至多有一个元素．
当时，，此时集合为，符合题意，
当时，方程是一元二次方程，
时，解得，，此时集合为，符合题意，
时，解得，此时集合为空集，符合题意，
综上，的取值范围是或．
故答案为： 或．
考点五 空集的性质及其应用
36．（2023秋·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考阶段练习）下列关于空集的说法中，错误的是（ ）
A．0B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据元素与集合之间的关系可判断A、C选项，根据空集是任何集合的子集可判断B、D选项.
【详解】A：因为用于元素与集合之间，故A错误；
B：因为空集是任何集合的子集，故B正确；
C：因为中的元素是，故C正确；
D：因为空集是任何集合的子集，故D正确；
故选：A
37．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由集合与集合间的关系，元素与集合的关系判断即可.
【详解】，，，，A，B，D正确，∵表示以为元素的集合，而集合A中不含元素，
∴不是A的子集。故C不对，
故选：C.
38．（2023秋·高一课时练习）以下六个关系式：，，， ， ，是空集，错误的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定排除得到答案．
【详解】根据元素与集合间的关系可判定、正确，不正确，根据集合与集合之间的关系可判定、、是空集正确
故选：D
39．（2023·高一单元测试）下列四个命题：①＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】利用空集的定义、属性对各个命题进行判断．Φ不含任何元素；空集是任何一个集合的子集．是任何非空集合的真子集．
【详解】解：对于①Φ不含任何元素而{0}含元素0，故①错
对于②空集是本身的子集，故②错
对于③空集的子集只有其本身，故③错
对于④，空集是任何一个集合的子集．是任何非空集合的真子集，故④对
故选B．
【点睛】本题考查空集的定义、性质：Φ不含任何元素；空集是任何一个集合的子集．是任何非空集合的真子集．
40．（2023秋·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知集合，，
（1）若A为空集，求实数a的取值范围；
（2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)根据给定条件，利用空集的意义列式作答；
(2)利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.
【详解】（1）因是空集，则，解得，
所以实数a的取值范围是；
（2）且B是A的真子集，则，解得，
显然，a-1=0与2a+1=1不同时成立，于是得，
所以实数a的取值范围.
考点六 集合相等及其应用
41．（2023秋·河南周口·高一校考阶段练习）下列各组集合表示同一集合的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据集合相等的条件判断即可
【详解】选项A，两个集合表示点集元素与元素不一样，故A错误；
选项B，集合为点集，而集合为实数集，故不相同，所以B选项错误；
选项C，由集合中元素具有无序性，所以集合与集合相同，故C正确；
选项D，集合为实数集，而集合为点集，故不相同，所以D选项错误；
故选：C.
42．【多选】（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）下列各组中表示相同集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，集合M，P含有的元素相同，只是顺序不同，由于集合的元素具有无序性，因此它们是相同集合，A是；
对于B，因为，则，因此集合M，P都表示所有偶数组成的集合，B是；
对于C，，即，C是；
对于D，因为集合M的元素是实数，集合P中元素是有序实数对，因此集合M，P是不同集合，D不是.
故选：ABC
43．（2023·江苏·高一假期作业）（1）集合与________相等集合．（填“是”或“不是”）
（2）若集合，集合 且，则________，
________．
【答案】 是 1
【分析】（1）解出集合A，并判断与B是否相等；
（2）找到相等的对应情况，解方程即可．
【详解】（1）因为，所以或．
又，所以．
（2）由题意知，，故，
∴，则，此时，
由于，∴.
44．（2023春·湖南长沙·高二湘府中学校考期末）已知实数集合若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和,再根据集合元素的互异性可确定a，b的值，进而得出答案.
【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，
得到或又根据集合互异性，可知，
解得或（舍），所以
故选:A.
45．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和，再根据集合元素的互异性可确定，的值，进而得出答案.
【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则，
故选：A
46．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合，若，求实数q的值．
【答案】
【分析】由集合相等的定义一一讨论元素对应关系即可.
【详解】由元素的互异性得，
若，则有以下两种情况：
①，不符合题意舍去；
②或（舍去），
综上，.
考点七 由集合间的包含关系求参数
47．（2023·江苏·高一假期作业）设集合，且，则的值为________.
【答案】或.
【分析】由，得到或，求得或，结合集合间的包含关系，即可求解.
【详解】由，可得或，解得或，
当时，，此时满足，符合题意；
当时，，此时满足，符合题意，
所以实数的值为或.
故答案为：或.
48．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为（ ）
A．－3B．－2
C．0D．3
【答案】BCD
【分析】由题得B＝，，，，再分四种情况讨论得解.
【详解】由题知B⊆A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝.
所以B＝，，，.
当 B＝时，此种情况不可能，所以舍去；
当B＝时，，解得a＝3；
当B＝时，，解得a＝－2；
当B＝时，a＝0.
综上可得实数a的可能取值为3，0，－2.
故选：BCD.
49．（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
50．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，且，则实数a的值是_________．
【答案】-3
【分析】根据得出是方程的解，将代入方程中进行计算，即可得出结果.
【详解】因为，，，
所以是方程的解，
即，解得.
经检验，符合题意，所以.
故答案为：.
51．（2023秋·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合，.若，求实数的取值范围.
【答案】或.
【分析】由题意，求得，再根据，结合韦达定理分和两种情况讨论即可求出答案．
【详解】由，则.
，
为方程的解集.
①若，则，
或或，
当时有两个相等实根，即不合题意，同理，
当时，符合题意；
②若则，即，
综上所述，实数的取值范围为或
52．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合，且，则实数m的取值范围是________.
【答案】.
【分析】根据集合间的包含关系，分和，两种情况讨论，即可求解.
【详解】由集合，
若时，可得，此时满足；
若时，要是得到，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
故答案为：.
53．（2023秋·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）设集合.
(1)当时，求的非空真子集的个数；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)254
(2)
【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决.
【详解】（1）由题知，，
当时，共8个元素，
的非空真子集的个数为个；
（2）由题知，
显然，
因为，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
54．（2023·高一单元测试）已知，，且，则a的取值范围为_________．
【答案】
【分析】求得集合，根据，分和两种情况讨论，即可求解.
【详解】由题意，集合，
当时，即，解得，此时满足，
当时，要使得，则或，
当时，可得，即，此时，满足；
当时，可得，即，此时，不满足，
综上可知，实数的取值范围为.
故答案为：.
55．（2023·全国·高一假期作业）已知集合.
(1)若，则实数a的值是多少?
(2)若，则实数a的取值范围是多少?
(3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少?
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用集合相等的性质及集合的包含关系，结合数轴法求解即可.
【详解】（1）因为集合，，
所以.
（2）因为，如图，

由图可知，即实数a的取值范围是.
（3）因为B⫋A，如图，

由图可知，即实数a的取值范围是.
56．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)不存在
【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足；
②当时，要使得，
则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
（2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解，
所以实数不存在，即不存在实数使得.
57．（2023秋·安徽滁州·高一校考阶段练习）已知集合，，
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案.
【详解】（1）因为，
当时：，即符合题意；
当时，，，
综上所述：.
（2）因为，
当时，，
，解得，无解，
当时，或，
，
综上所述：.
58．（2023·高一课时练习）已知集合，.
（1）若⫋，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据⫋，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围．
（2）根据，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围．
【详解】
（1）由题意，集合，，
又由⫋，可得，
所以实数的取值范围是；
(2) 由集合，，
又由，
当时，，满足题意；
当时，，
所以，
综上可知：，
即实数的取值范围是.