人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念优秀当堂达标检测题

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知识点一
集合的概念
1.含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．
2.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．
3.元素和集合的字母表示：
知识点二
集合中元素的性质
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．
知识点三
元素与集合的关系

知识点四
集合的表示法
1.自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．
2.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
3.描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示成.这种表示集合的方法称为描述法.
知识点五
五个特定的数集及其关系
N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
知识点六
集合的分类
有限集：
无限集：
数集：
点集：
考点01 集合的概念
【典例1】（2023·江苏·高一假期作业）判断下列每组对象，能组成一个集合的是（ ）
A．某校高一年级成绩优秀的学生
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．不小于3的自然数
D．2022年第24届冬季奥运会金牌获得者
【答案】BCD
【分析】判断是否满足集合三要素中的确定性，得到答案.
【详解】A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；
B、C、D中的对象都满足确定性，所以能组成集合．
故选：BCD
【典例2】（2023·江苏·高一假期作业）现有以下说法，其中正确的是（ ）
A．接近于0的数的全体构成一个集合
B．正方体的全体构成一个集合
C．未来世界的高科技产品构成一个集合
D．不大于3的所有自然数构成一个集合
【答案】BD
【分析】判断是否满足构成集合的元素的确定性，得到答案.
【详解】“接近于”，“高科技产品”不满足确定性，故A、C不符合集合中元素的确定性，B、D具有确定性．
故选：BD
【总结提升】
判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
考点02 集合的表示方法
【典例3】（2023春·广西北海·高二统考期末）用列举法可将集合表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】列举出集合中的元素，结合集合的列举法，即可求解.
【详解】.
集合表示为.
故选：D.
【典例4】（2023春·辽宁阜新·高一校考期中）集合还可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由集合中的元素的范围和所需满足的条件确定集合中的元素，再利用列举法表示该集合.
【详解】集合的元素为小于等于3的全部自然数，
故；
故选：A.
【典例5】（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期末）方程的解集为 .
【答案】
【分析】根据题意，化简方程为，进而求得方程的解.
【详解】由方程，
所以或或，故该方程的解集为.
故答案为：.
【规律方法】
1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．
2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．
因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．
3．用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合的表示．
4．用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x∈R.
考点03 判断元素与集合的关系
【典例6】（2022秋·甘肃临夏·高一校考期中）下列表述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据元素和集合的关系判断即可.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误；
故选：A
【典例7】（2021秋·高一课时练习）已知a、b、c为非零实数，记代数式的值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是（ ）
A．0MB．-4MC．2∈MD．4∈M
【答案】D
【分析】对a，b，c分类讨论求出原代数式所有可能得值即可.
【详解】令，
若全为正数，则 ；若全为负数，则，
若中有2个正数一个负数，则，若中有2个负数，1个正数，则，
；
故选：D.
【典例8】（2022秋·江西南昌·高一统考期中）已知集合，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据已知集合逐个分析判断
【详解】对于A，，所以A正确，
对于B，，所以B错误，
对于C，，所以C正确，
对于D，，所以D正确，
故选：ACD
【总结提升】
1．对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，在数学上分别用N＋，N，Z，Q，R来表示，这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数集的表示方法，应当熟练掌握．
2．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．
考点04 确定集合中元素的个数
【典例9】（2023秋·江西南昌·高一统考期末）已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】由条件用列举法表示可得结论.
【详解】因为，
所以，
故集合中元素的个数为3，
故选：D.
【典例10】（2023·江苏·高一假期作业）对于、，规定，集合，则中元素的个数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分、的奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论，列举出满足条件的元素，即可得出集合的元素个数.
【详解】分、的奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论：
①如果、的奇偶性相同，且、，
此时，可为：、、、、、、、、
、、，共个；
②如果、的奇偶性不同，且、，
此时，可为：、、、，共个.
因此，集合的元素个数为个.
故选：C.
【典例11】（2023·江苏·高一假期作业）集合，则M中元素的个数为 .
【答案】5
【分析】解不等式求出，得到答案.
【详解】∵，∴.
又，∴，所以M中元素的个数为5.
故答案为：5
【总结提升】
判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．
考点05 集合的相等及应用
【典例12】（2021·江苏省天一中学高三三模）设，则集合，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由集合的描述写出集合，根据求，进而可求.
【详解】
由题意，得，
∵，
∴仅当时符合题意，故.
故选：C.
【典例13】【多选题】（2022秋·陕西商洛·高一校考期中）集合，集合A还可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】用列举法表示集合及各选项的集合，对比即可得出答案.
【详解】，
选项A，不符合；
选项B，，符合；
选项C，符合；
选项D，，符合，
故选：BCD.
【典例14】（2021秋·高一课时练习）含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为 ．
【答案】0
【分析】根据集合相等和元素的互异性，即可求解得值，得到答案.
【详解】由题意，可得，
根据集合相等和元素的互异性，可得且，解得，
此时集合
所以.
故答案为.
【总结提升】
利用集合相等的条件，合理应用元素的互异性求解是解答的关键
考点06 由集合中元素的互异性求参数
【典例15】（2023春·天津北辰·高一校考阶段练习）已知，求实数x的值 ．
【答案】
【分析】根据集合元素的互异性，以及元素与集合的关系，建立方程，可得答案.
【详解】由题意可知：，，
令，解得；令，解得或，不符合题意.
故答案为：.
【典例16】（2023·高一课时练习）若，则a的值为 .
【答案】
【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答.
【详解】因为，则当，即，此时，矛盾，
若，解得，此时，，符合题意，即，
而，即，
所以a的值为.
故答案为：
【总结提升】
与集合元素有关问题的思路：
（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．
（2）看这些元素满足什么限制条件．
（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性
考点07 根据集合中元素的个数求参数
【典例17】（2023·高一课时练习）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案.
【详解】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，
因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3，
故，即，即a可取2，
即A，B，C错误，D正确，
故选：D
【典例18】（2023秋·高一课时练习）如果集合至多有一个元素，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求参数范围.
【详解】若，此时，符合题意；
若，要使集合至多有一个元素，则，故，
综上，.
考点08 常用数集之间的关系及应用
【典例19】【多选题】（2023·江苏·高一假期作业）下列说法正确的是（ ）
A．中最小的数是1B．若，则
C．若，则最小值是2D．的实数解组成的集合中含有2个元素
【答案】AC
【分析】根据所表示的集合可以判断A,B,C，再根据集合的定义可以判断D.
【详解】因为表示正整数集，容易判断A,C正确；
对B，若，则满足，但，B错误；
对D，的解集为{2}，D错误.
故选：AC.
【典例20】【多选题】（2023·江苏·高一假期作业）下列说法正确的有（ ）
A．N与N*是同一个集合
B．N中的元素都是Z中的元素
C．Q中的元素都是Z中的元素
D．Q中的元素都是R中的元素
【答案】BD
【分析】根据常用数集表示的含义，即可根据选项逐一判断.
【详解】因为N*表示正整数集，N表示自然数集，不是同一个集合，
Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，
所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确．
故选：BD.
1．（2018·全国·高考真题）已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
【答案】A
【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.
【详解】
当时，；
当时，；
当时，；
所以共有9个，
故选：A.
2．（2013·山东·高考真题）设集合,则集合中元素的个数是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，
∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；
当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；
当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；
∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．
故选C．
3．（2013·全国·高考真题）设集合，，，则M中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】由题意知，，
则x的可能取值为5,6,7,8.
因此集合M共有4个元素，故选B.
一、单选题
1．（2022春·湖南长沙·高一浏阳市第六中学校考开学考试）集合,等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】解不等式即可求得集合中的元素．
【详解】由，可得，又，
所以集合,．
故选：C．
2．（2023·高一课时练习）若集合，则N中元素的个数为（ ）
A．3B．6C．9D．10
【答案】C
【分析】根据集合中元素的特征即可列举求解.
【详解】由可知集合,故共有9个元素，
故选：C
3．（2023·全国·高一假期作业）设集合，若，则实数m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案.
【详解】设集合，若，
，或，
当时，，此时；
当时，，此时；
所以或.
故选：C
二、多选题
4．（2023秋·高一单元测试）设集合，且，则x的值可以为（ ）
A．3B．C．5D．
【答案】BC
【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性.
【详解】∵，则有：
若，则，此时，不符合题意，故舍去；
若，则或，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
综上所述：或.
故选：BC.
三、填空题
5.（2023·江苏·高一假期作业）已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为 ．
【答案】或
【分析】根据元素与集合间的关系即可求解.
【详解】因为2∈A，所以或，即或.
故答案为：或
6．（2021·高一课时练习）若，且，则 ．
【答案】1
【分析】根据自然数集的概念即可求出结果.
【详解】因为，且，则，
故答案为：1.
7．（2023·上海·高三统考学业考试）“ntebks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是
【答案】7
【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素.
【详解】根据集合中元素的互异性，“ntebks”中的不同字母为“n，，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7；
故答案为：7.
8.（2021秋·高一课时练习）设A＝{4，a}，B＝{2，ab}，若A与B的元素相同，则a＋b＝ ．
【答案】4
【分析】根据集合的元素相同，找到对应的相等关系，列出方程组求得的值，进而得解.
【详解】因为A与B的元素相同，
所以,
即a＝2，b＝2,
故a＋b＝4.
答案：4.
9.（2023春·北京朝阳·高二统考期末）已知集合为非空数集，且同时满足下列条件：
（ⅰ）；
（ⅱ）对任意的，任意的，都有；
（ⅲ）对任意的且，都有．
给出下列四个结论：
①；②；③对任意的，都有；④对任意的，都有．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】由集合满足的条件，验证给出的结论是否正确.
【详解】由题意可知，，则，结论①正确；
，有，，，结论②错误；
对任意的，则，有，结论③正确；
，则，可得，，即，
所以，即，得，
由，有，
∴当，可得，，
故结论④正确.
故答案为： ①③④
四、解答题
10．（2023秋·高一课时练习）若，求的取值范围．
【答案】
【分析】由集合的特性列出不等式组，求解得出的取值范围．
【详解】
，得
综上，且
即的取值范围为
11．（2023·江苏·高一假期作业）若集合中有2个元素，求k的取值范围．
【答案】且．
【分析】根据一元二次方程根的情况即可由判别式求解.
【详解】由题意得且，解得且.
故实数k的取值范围为且．
12．（2021秋·高一课时练习）已知集合A含有两个元素和，若，求实数a的值.
【答案】0或-1
【分析】分与两种情况，进行求解，检验后得到答案.
【详解】若，则，此时，满足要求，
若，解得，此时，满足要求，
综上：或-1
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A
a∈A
a属于集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A
a∉A
a不属于集合A