初中数学浙教版七年级下册2.3 解二元一次方程组同步练习题

这是一份初中数学浙教版七年级下册2.3 解二元一次方程组同步练习题，共57页。试卷主要包含了掌握代入消元法等内容，欢迎下载使用。
1、掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；
2、掌握二次二元一次方程组的特殊解法；
3、掌握同解方程的概念与形式，并学会如何解二元一次方程组；
知识点01 代入消元法
【知识点】
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
【典型例题】
例1．对于方程，用含x的代数式表示y的形式是（ ）
A．B．C．D．
例2．用代入消元法解方程组时，将②代入①正确的是（ ）
A．B．C．D．
例3．已知，则___________，___________．
【即学即练】
1．若方程组无解，则值是（ ）
A．B．1C．D．2
2．用代入消元法解二元一次方程组时，将②代入①，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如果，则的值是（ ）
A．2B．1C．−1D．0
4．已知方程，用含的代数式表示为______．
5．已知a，b为有理数，满足，则的值为________．
6．解方程组：
(1)
(2)．
知识点02 加减消元法
【知识点】
（1）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示．
【典型例题】
例1．已知x，y满足方程组，则的值为（ ）
A．15B．18C．20D．22
例2．若是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例3．在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，输一场得1分，在比赛的中途阶段，甲队获胜的场数为，输掉的场数为，根据其比赛场数与积分情况列出了如下方程组：，请解答下列问题：
（1）甲队联赛积分为___________．
（2）甲队共打赢场___________比赛．
【即学即练】
1．已知方程组的解满足，则k的值是（ ）
A．B．2C．D．
2．定义一种运算“◎”，规定，其中，为常数，且，，则的值是（ ）
A．2B．C．D．4
3．当时，代数式的值是3，当时，这个代数式的值是－2，则的值为（ ）
A．－7B．－3C．7D．3
4．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为______．
6．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下．
解法一：由，得．______
解法二：由，得，③_______
把代入，得．________
(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处的横线上打“”，并改正．
(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
知识点03 二元一次方程组的特殊解法
【知识点】
二元一次方程组的解法主要是消元法，包括代入消元法和加减消元法。但是有些题目比较特殊，如果按照代入消元法或加减消元法来解题的话，可能相对会显得比较麻烦，那就需要用一些比较特殊的方法来解题，会更加快捷，并且不易出错。
【典型例题】
例1．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（ ）．
A．6B．7C．8D．9
例2．我们知道二元一次方程组的解是．现给出另一个二元一次方程组，它的解是（ ）
A．B．C．D．
例3．已知关于和的方程组的解是，则另一关于、的方程组的解是______．
【即学即练】
1．已知二元一次方程组，则的值为（ ）
A．B．0C．6D．8
2．已知方程组的解是，则的解是（ ）
A．B．C．D．
3．已知关于，的二元一次方程，其取值如表，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
4．若关于x，y的二元一次方程组的解满足．则___________．
5．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于a，b的二元一次方程组的解为_______．
6．根据要求，解答下列问题
(1)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
①的解为 ；
②的解为 ；
③的解为 ；
(2)以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 ．
(3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解．
知识点04 同解方程组
【知识点】
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。
【典型例题】
例1．若关于x，y的方程组的解是，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
例2．已知方程组中的，互为相反数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例3．若关于x、y的方程组与的解相同，则的立方根为__________．
【即学即练】
1．与方程组的解相同的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A．13B．9C．D．
3．解方程组时，正确的解是，由于看错了系数得到解是，则的值是
A．5B．6C．7D．无法确定
4．已知方程组和有相同的解，则a的值为________．
5．若二元一次方程组的解也是方程的解，则a=_____.
6．已知关于，的方程组
（1）请直接写出方程的所有正整数解
（2）若方程组的解满足，求的值
（3）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？
题组A 基础过关练
1．二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
2．用代入法解一元二次方程过程中，下列变形不正确的是（ ）
A．由①得B．由①得
C．由②得D．由②得
3．已知方程组，则的值是（ ）
A．4B．﹣4C．0D．8
4．已知方程组，指出下列方法中最简捷的解法是（ ）
A．利用①，用含x的式子表示y，再代入②B．利用①，用含y的式子表示x，再代入②
C．利用②，用含x的式子表示y，再代入①D．利用②，用含y的式子表示x，再代入①
5．关于、的二元一次方程组，小华用加减消元法消去未知数，按照他的思路，用①②得到的方程是______．
6．已知，用关于的代数式表示，则___________．
7．已知x，y满足方程组，则的值为_________．
8．用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组_______．
9．解方程组
(1)
(2)
10．解方程组：
(1)
(2)
题组B 能力提升练
1．把方程改写成用含x的式子表示y的形式正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．小丽跟几个同学去看电影，电影院准备了如下三种小食品餐供观众选择购买，若小丽和她的同学们一共买了个汉堡，杯可乐，包薯片，则买餐的份数是（ ）．
A．B．C．D．
3．已知为关于，的二元一次方程，则的值为（ ）．
A．B．C．1D．2
4．已知实数a，b满足：，则等于（ ）
A．65B．64C．63D．62
5．已知x，y满足方程组，则的值是_________．
6．关于，的二元一次方程组，下列说法正确的是______．
当时，方程组的解为．
当时，方程组无解．
当时，无论为何值，方程组均有解．
当时，方程组有解．
7．若m，n满足方程组，则的值为____________．
8．规定：对于两个一元多项式（含字母）来说，当未知数任取同一个数值时，如果它们所得的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式恒等．
例如：若两个一元多项式与、是常数是恒等的，那么，；如果多项式与（a、是常数）恒等，那么的值是______．
9．阅读下列解方程组的部分过程，回答下列问题．
解方程组现有两位同学的解法如下：
解法一：由①得③，把③代入②中得．
解法二：得．
(1)解法一使用的具体方法是______，解法二使用的具体方法是______，以上两种方法的共同点是______．
(2)请你任选一种解法，把完整的解题过程写出来．
10．已知关于，的方程组．
(1)当时，方程组的解为______．
(2)若与互为相反数，求的值．
题组C 培优拔尖练
1．已知方程组的解也是关于，的方程的一个解，则的值为（ ）
A．1B．C．D．3
2．若关于x，y的方程组中y的值比x的相反数大2，则k是（ ）
A．1B．C．D．
3．已知关于x，y的方程组，下列结论：
①当时，方程组的解也是的解；
②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若，则．
其中不正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．已知关于x，y的方程组，以下结论其中不成立是（ ）．
A．不论k取什么实数，的值始终不变
B．存在实数k，使得
C．当时，
D．当，方程组的解也是方程的解
5．已知关于x、y的方程组的解为，则________．
6．一个水平放置的正方体容器，从内部量得它的边长是，则这个正方体容器的内部底面积是_____；若该正方体容器内水深，现将三条棱长分别为、、（）的长方体铁块放入水中，此时铁块的顶部高出水面，则长方体铁块的棱长_____（用含x的代数式表示）．
7．已知关于x，y的方程组的解是，则与方程组 有关的的值为_____．
8．设，都是正整数，则方程的正整数解有 __________．
9．阅读材料：
已知关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程的所有正整数解．
小明参考阅读材料，解决该问题如下：
解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）．
因为，解得
因为t为整数，所以t=0或-1．
所以该方程的正整数解为和．
通过你所知晓的知识，请解决以下问题：
(1)方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则______；
(2)请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解；
(3)若a，b均为正整数，试判断二元一次方程组有几组正整数解？并写出其解．
10．数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
专题2.3 解二元一次方程组
1、掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；
2、掌握二次二元一次方程组的特殊解法；
3、掌握同解方程的概念与形式，并学会如何解二元一次方程组；
知识点01 代入消元法
【知识点】
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
【典型例题】
例1．对于方程，用含x的代数式表示y的形式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将当成已知数，方程的左右两边同时乘以2，再移项求解即可．
【详解】解：方程，
解得：，
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程，解题的关键是将当成已知数，求出．
例2．用代入消元法解方程组时，将②代入①正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据代入消元法的步骤解答即可．
【详解】将②代入①得，
即，
故选C．
【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个方程为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形，使其具备这种形式．
例3．已知，则___________，___________．
【答案】
【分析】根据题意可得，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，解得
故答案为：，
【点睛】此题考查了非负数的性质，以及二元一次方程组的求解，解题的关键是列出二元一次方程组，正确求解．
【即学即练】
1．若方程组无解，则值是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】把第二个方程整理得到，然后利用代入消元法消掉未知数x得到关干y的一元一次方程，再根据方程组无解，未知数的系数等于0列式计算即可得．
【详解】解：
由②得：③，
把③代入①得：，
整理得：，
方程组无解，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，消元得到关于x的方程是解题的关键，难点在于明确方程组无解未知数的系数等于0．
2．用代入消元法解二元一次方程组时，将②代入①，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据代入法求解，将②代入①，即可求解．
【详解】代入消元法解二元一次方程组时，将②代入①，
得，
故选：C．
【点睛】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，掌握代入消元法是解题的关键．
3．如果，则的值是（ ）
A．2B．1C．−1D．0
【答案】C
【分析】先根据有理数的乘方计算法则得到，，然后分别求出当，时，当，时a、b的值即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，，
当①，②时，由①得，把代入②得，解得，则，
∴，
同理当，时求得，，
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方计算，解二元一次方程组，正确理解1的任何次方为1，-1的偶次方为1是解题的关键．
4．已知方程，用含的代数式表示为______．
【答案】
【分析】将当作已知数，通过移项等步骤求解即可．
【详解】解：由可得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查代入消元法中的用其中一个未知数表示另一个未知数，掌握代入消元法的变形技巧是解题的关键．
5．已知a，b为有理数，满足，则的值为________．
【答案】7
【分析】先将等式分为有理部分与无理部分，根据它们的和为零，利用有理部分与无理部分系数为零建构方程组，解方程组即可．
【详解】解：，
∴，
∵a，b为有理数，
∴，也为有理数，
∵无理数，
∴，
解方程组得．
∴．
故答案为：7．
【点睛】本题考查有理数与无理数和为零的性质，二元一次方程组，熟悉有理数的和差积商都是有理数，有理数与无理数和差为无理数，有理数与无理数的积可能为有理数0，其它均为无理数，有理数与无理数的商可能为0，其它均为无理数．
6．解方程组：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
把②代入①得：，
解得：，
把代入②得：，
∴原方程组的解为：．
（2）解：，
方程①化简为：，
得：，解得：，
把代入②得：，解得：，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算．
知识点02 加减消元法
【知识点】
（1）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示．
【典型例题】
例1．已知x，y满足方程组，则的值为（ ）
A．15B．18C．20D．22
【答案】A
【分析】两个方程相加，可得，即可求出的值．
【详解】解：，
，得，
即，
故选A．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和整体思想．
例2．若是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义，可得到关于m，n的方程组，即可求解．
【详解】解：∵是关于，的二元一次方程，
∴，
解得：，
故选：B
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，熟练掌握含有2个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．
例3．在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，输一场得1分，在比赛的中途阶段，甲队获胜的场数为，输掉的场数为，根据其比赛场数与积分情况列出了如下方程组：，请解答下列问题：
（1）甲队联赛积分为___________．
（2）甲队共打赢场___________比赛．
【答案】 8
【分析】用代入消元法计算得方程组的解是：，即可得．
【详解】解：∵每队胜一场得2分，输一场得1分，甲队获胜的场数为，输掉的场数为，
∴甲队联赛积分为，
由方程组中的第二个方程得，
即甲队联赛积分为
①-②，得，
把代入①，得，
所以这个方程组的解是：，
即甲队共打赢8场，
故答案为：，8．
【点睛】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握代入消元法，正确计算．
【即学即练】
1．已知方程组的解满足，则k的值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据得，再根据，可得，进一步求解即可．
【详解】解：，
得，
∵，
∴，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，根据已知条件找出两个二元一次方程的特点是解题的关键．
2．定义一种运算“◎”，规定，其中，为常数，且，，则的值是（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】A
【分析】先根据新定义得到关于a、b的二元一次方程组即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
∴得：，
故选A．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，加减消元法，正确根据题意得到关于a、b的二元一次方程组是解题的关键．
3．当时，代数式的值是3，当时，这个代数式的值是－2，则的值为（ ）
A．－7B．－3C．7D．3
【答案】C
【分析】将、代入代数式得出①， ②，再解由①、②组成的方程组即可得解．
【详解】解：将代入代数式，得：，即①；
将代入代数式，得：，即②；
联立得方程组
由①-②得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
∴ ，
∴，
故选：C．
【点睛】考查了代数式求值，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为______．
【答案】4
【分析】先把m看做常数求出方程组的解，再由建立关于m的方程，解方程即可．
【详解】解；
得，解得，
把代入①得；，解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知加减消元法是解题的关键．
5．已知关于、的二元一次方程组，则的值为______．
【答案】7
【分析】把两个方程相加即可得到结论．
【详解】解：
①+②得：，
故答案为：7．
【点睛】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组，掌握“整体法求值”是解本题的关键．
6．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下．
解法一：由，得．______
解法二：由，得，③_______
把代入，得．________
(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处的横线上打“”，并改正．
(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
【答案】(1)，，，
(2)，
【分析】（1）解法一的左边两个整式相减结果是，所以计算过程有误，正确的结果是．
(2)利用二元一次方程组的解法加减消元和代入消元，可以消去一个未知数，最后解一元一次方程求出结果．
【详解】（1）解：解法一有错误，解法二正确
由，得“”
改正：由，得
故答案为：，，，
（2）解：
由得
解得
把代入，得
解得
∴原方程组的解：
【点睛】本题考查了二元一次方程组解法，二元一次方程组的解法有代入法和加减法，掌握两种解法的步骤是解题的关键．
知识点03 二元一次方程组的特殊解法
【知识点】
二元一次方程组的解法主要是消元法，包括代入消元法和加减消元法。但是有些题目比较特殊，如果按照代入消元法或加减消元法来解题的话，可能相对会显得比较麻烦，那就需要用一些比较特殊的方法来解题，会更加快捷，并且不易出错。
【典型例题】
例1．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（ ）．
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】由可得：，再由，关于k的方程，即可求解．
【详解】解：，
由得：，
即，
∵，
∴，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意得到是解题的关键．
例2．我们知道二元一次方程组的解是．现给出另一个二元一次方程组，它的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用换元法，令，得到：，即：，再解二元一次方程组即可．
【详解】解：在二元一次方程组中，令，
则，
∵二元一次方程组的解是，
∴，
∴，
解得：．
故选C．
【点睛】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握换元法解方程组，是解题的关键．
例3．已知关于和的方程组的解是，则另一关于、的方程组的解是______．
【答案】
【分析】由题意可得，即可求方程组的解．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，用整体思想解题是关键．
【即学即练】
1．已知二元一次方程组，则的值为（ ）
A．B．0C．6D．8
【答案】D
【分析】将两个方程相加即可得到答案．
【详解】解：，
①＋②，得，
故选：D．
【点睛】此题考查了特殊法解方程组，正确掌握两个方程的特点及所求式子的特点是解题的关键．
2．已知方程组的解是，则的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的解的定义即可求解．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴即的解满足
解得
故选D
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键．
3．已知关于，的二元一次方程，其取值如表，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：
由②得：，
把①代入③得：
．
∴的值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，本题采用了整体代入的数学思想方法．解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法．
4．若关于x，y的二元一次方程组的解满足．则___________．
【答案】4
【分析】由①②，可得，结合，得出，解关于a的方程即可求出a的值．
【详解】解：，
由①②，可得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
5．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于a，b的二元一次方程组的解为_______．
【答案】
【分析】把看作一个整体，由关于x，y的二元一次方程组的解为，可得据此求解即可．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，且方程组和方程组形式相同，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
6．根据要求，解答下列问题
(1)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
①的解为 ；
②的解为 ；
③的解为 ；
(2)以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 ．
(3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解．
【答案】(1)①②③
(2)x＝y
(3)，方程组的解为：
【分析】（1）观察方程组发现第一个方程的x系数与第二个方程y系数相等，y系数与第二个方程x系数相等，分别求出解即可；
（2）根据每个方程组的解，得到x与y的关系；
（3）根据得出的规律写出方程组，并写出解即可．
（1）
解：①的解为：；
②的解为：；
③的解为；
故答案为：，，；
（2）
以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为x＝y；
故答案为：x＝y．
（3）
，方程组的解为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，找出题目中二元一次方程组及其解的规律是解题的关键．
知识点04 同解方程组
【知识点】
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。
【典型例题】
例1．若关于x，y的方程组的解是，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】已知方程组的解，可把解代入原方程组，得到关于a、b的新方程组，进行解答，求出a、b，代入代数式即可解答..
【详解】把代入方程组得：

解得：
∴
故选C.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是解二元一次方程组．
例2．已知方程组中的，互为相反数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据x与y互为相反数,得到x+y=0，即y=-x，代入方程组即可求出m的值．
【详解】由题意得：x+y=0，即y=-x，
代入方程组得：
，
解得：m=3x=4，
故选D．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
例3．若关于x、y的方程组与的解相同，则的立方根为__________．
【答案】3
【分析】由于两个方程组的解相同，那么可以重新组合方程组，解必然也相同．所以先解新的方程组，解得x与y的值，再将x与y的值代入到剩余的两个方程中，组成新的方程组，解得a与b的值，从而进行计算即可．
【详解】解：解方程组，
解得，
将代入，
得，
解得，
∴，
∴的立方根为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了同解方程组，根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解是解答此题的关键．
【即学即练】
1．与方程组的解相同的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据同解方程的所有解都相同可得出答案．
【详解】由题意得只有同时满足x+4y=8和2x+4y=1才符合条件，
故排除A. B. C.
故选D.
【点睛】此题考查同解方程组，解题关键在于掌握运算法则.
2．已知关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A．13B．9C．D．
【答案】A
【分析】先解方程组求出该方程组的解，然后把这个解分别代入与即可求出a、b的值，进一步即可求出答案．
【详解】解方程组，
得，
把代入，
得，
解得：a=2，
把代入，
得，
解得：b=﹣11，
∴a－b=2－（﹣11）=13．
故选：A．
【点睛】本题考查了同解方程组的知识，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．
3．解方程组时，正确的解是，由于看错了系数得到解是，则的值是
A．5B．6C．7D．无法确定
【答案】C
【分析】根据方程的解的定义，把代入ax+by=2，可得一个关于a、b的方程，又因看错系数c解得错误解为，即a、b的值没有看错，可把解为，再次代入ax+by=2，可得又一个关于a、b的方程，将它们联立，即可求出a、b的值，进而求出c的值
【详解】解：∵方程组时，正确的解是，由于看错了系数c得到的解是，
∴把与代入ax+by=2中得：，
①+②得：a=4，
把a=4代入①得：b=5，
把代入cx-7y=8中得：3c+14=8，
解得：c=-2，
则a+b+c=4+5-2=7；
故选C．
【点睛】此题实际上是考查解二元一次方程组的能力．本题要求学生理解方程组的解的定义，以及看错系数c的含义：即方程组中除了系数c看错以外，其余的系数都是正确的．
4．已知方程组和有相同的解，则a的值为________．
【答案】
【分析】由方程组同解可得：，解方程组求解，再把求得的的值代入另外一个含系数的方程即可得到答案．
【详解】解：根据题意：和 有相同的解，
可得：，
③①得：，，
将代入①，得，
所以方程组的解：，
将代入②，
得．
故答案为：
【点睛】本题考查的是同解二元一次方程组的问题，二元一次方程组的解法，掌握利用方程组同解构建新的方程组是解题的关键．
5．若二元一次方程组的解也是方程的解，则a=_____.
【答案】
【分析】根据方程组的解也是方程的解得 求出x，y得值，再代入方程，即可解答.
【详解】的解也是方程的解
∴得
解得：
把代入方程得：
解得：a=
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是明确方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
6．已知关于，的方程组
（1）请直接写出方程的所有正整数解
（2）若方程组的解满足，求的值
（3）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？
【答案】（1）或；（2）；（3）．
【分析】（1）把方程变形为：结合为正整数，且为偶数，从而可得答案；
（2）由题意得：，解方程组求解，再把的值代入，从而可得答案；
（3）把方程变形为：，结合无论实数取何值，方程总有一个固定的解，可得：，从而可得答案．
【详解】解：（1），

方程的正整数解为：或．
（2）由题意得：
把②代入①得：，
，
把代入②得：，
把代入：，
，
，
．
（3），
由无论实数取何值，方程总有一个固定的解，
所以：，
解得：，
所以的固定的解是．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的正整数解的确定，同解方程的含义，二元一次方程组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键．
题组A 基础过关练
1．二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用加减消元，由①+②可得出x的值，①-②可得出y的值．
【详解】解：，
①②得：，
，
①②得：，
，
原方程组的解为，
故选：A．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，属于基础题，解题的关键在于熟练运用加减消元法解二元一次方程组．
2．用代入法解一元二次方程过程中，下列变形不正确的是（ ）
A．由①得B．由①得
C．由②得D．由②得
【答案】C
【分析】根据代入消元法解方程组的方法，进行变形时要特别注意移项后符号要变号．
【详解】解：
，C选项变形不正确
故选C
【点睛】本题考查了解方程的方法，解题关键是掌握代入消元法解方程组的相关知识．
3．已知方程组，则的值是（ ）
A．4B．﹣4C．0D．8
【答案】B
【分析】方程组两方程相加，即可的值．
【详解】解：
得：
则．
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4．已知方程组，指出下列方法中最简捷的解法是（ ）
A．利用①，用含x的式子表示y，再代入②B．利用①，用含y的式子表示x，再代入②
C．利用②，用含x的式子表示y，再代入①D．利用②，用含y的式子表示x，再代入①
【答案】B
【分析】只需要看两个方程组哪个未知数的系数为1，就选该方程，用另一个未知数表示该未知数，代入另一个方程求解即可．
【详解】解：观察可知①种x的系数为1，而②中两个未知数的系数均不为1，因此利用①用含y的式子表示x，再代入②中是最简便的，
故选B．
【点睛】本题主要考查了代入消元法，正确理解题意是解题的关键．
5．关于、的二元一次方程组，小华用加减消元法消去未知数，按照他的思路，用①②得到的方程是______．
【答案】
【分析】利用加减消元法进行计算即可．
【详解】解：，
①②得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
6．已知，用关于的代数式表示，则___________．
【答案】
【分析】把看作已知数求出即可．
【详解】解：方程，
移项得：，
化系数为1得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出．
7．已知x，y满足方程组，则的值为_________．
【答案】
【分析】将利用平方差公式进行因式分解，在根据方程组求解即可．
【详解】解：∵，
又∵，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题考查了代数式的化简求值，能利用平方差公式进行因式分解然后在求值是解题的关键．
8．用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组_______．
【答案】
【分析】根据题意，整体代入即可得出结果．
【详解】解：，
设x+y=u，x−y=v，
则原方程化为：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查代入消元法，理解题意是解题关键．
9．解方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
（1）
解：
①×3＋②得，5m＝20，
解得，m＝4，
把m＝4代入①得，4－n＝2，
解得，n＝2，
∴原方程组的解是；
（2）
解：方程组整理得：，
①×13+②×5得：343x＝1372，即x＝4，
把x＝4代入②得：y＝4，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．
10．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
（1）
解：原方程为
①×2+②得： ，
解得： ，
把代入①得：
∴方程组的解为 ；
（2）
解：原方程组整理得
①+②得： ，
解得： ，
把 代入①得：，
∴方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．把方程改写成用含x的式子表示y的形式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把x看作已知数表示出y即可．
【详解】解：方程，
移项得：，
解得：．
故选：A．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
2．小丽跟几个同学去看电影，电影院准备了如下三种小食品餐供观众选择购买，若小丽和她的同学们一共买了个汉堡，杯可乐，包薯片，则买餐的份数是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设套餐买了份，设套餐买了份，设套餐买了份，找到等量关系，列出方程，解出方程，即可．
【详解】设套餐买了份，设套餐买了份，设套餐买了份，
根据题意可得：，
解得：，
∴买餐的份数是．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程的方法：代入消元法和加减消元法．
3．已知为关于，的二元一次方程，则的值为（ ）．
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】先根据二元一次方程的定义得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组求出m、n的值，然后代值计算即可．
【详解】解；∵为关于，的二元一次方程，
∴，
解得，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，实数的混合计算，正确根据题意得到m、n的二元一次方程组是解题的关键．
4．已知实数a，b满足：，则等于（ ）
A．65B．64C．63D．62
【答案】A
【分析】根据非负数的性质得的二元一次方程组，然后求出其值，然后代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵实数a，b满足：，
∴且，
即，
解方程组得：，
∴；
故选：A．
【点睛】此题考查了非负数的性质、二元一次方程组的解法、代数式的求值，熟练掌握平方式与算术平方根的非负性质、加减消元解二元一次方程组是解答此题的关键．
5．已知x，y满足方程组，则的值是_________．
【答案】
【分析】将方程组中的两个方程相减，即可求出．
【详解】解：，
，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，根据所求的代数式的特点，灵活处理二元一次方程组是解题的关键．
6．关于，的二元一次方程组，下列说法正确的是______．
当时，方程组的解为．
当时，方程组无解．
当时，无论为何值，方程组均有解．
当时，方程组有解．
【答案】
【分析】根据解二元一次方程的知识，进行求解，即可．
【详解】当时，二元一次方程组为：
令
得，，解得：
把代入式，得，解得：
∴当时，方程组的解为：；
故正确；
当时，二元一次方程组为：
解得：
∴当时，方程组的解为：；
故错误；
∵
∴
把代入中，得
∴
若，则，方程无解
当，且时，方程无解
∴错误；
当，
∴，
∴在中，，有意义，
∴当时，二元一次方程组有解，
∴正确，
∴正确的为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程的方法．
7．若m，n满足方程组，则的值为____________．
【答案】
【分析】用两个方程相减即可得出答案．
【详解】解：，
得：，
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是注意整体思想的应用．
8．规定：对于两个一元多项式（含字母）来说，当未知数任取同一个数值时，如果它们所得的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式恒等．
例如：若两个一元多项式与、是常数是恒等的，那么，；如果多项式与（a、是常数）恒等，那么的值是______．
【答案】##0.25
【分析】根据多项式恒等的条件列方程组求解．
【详解】解：由题意可得，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，理解恒等多项式的条件列出符合题意的二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是解题关键．
9．阅读下列解方程组的部分过程，回答下列问题．
解方程组现有两位同学的解法如下：
解法一：由①得③，把③代入②中得．
解法二：得．
(1)解法一使用的具体方法是______，解法二使用的具体方法是______，以上两种方法的共同点是______．
(2)请你任选一种解法，把完整的解题过程写出来．
【答案】(1)代入消元法，加减消元法，消元
(2)．
【分析】（1）分析两种解法的具体方法，找出两种方法的共同点即可；
（2）将两种方法补充完整即可．
【详解】（1）解：解法一使用的具体方法是代入消元法，
解法二使用的具体方法是加减消元法，
以上两种方法的共同点是基本思路都是消元；
故答案为：代入消元法，加减消元法，消元；
（2）解：方法一：由①得③，
把③代入②中得，
整理得：，
解得：，
把代入③，得，
则方程组的解为；
方法二：①②得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
10．已知关于，的方程组．
(1)当时，方程组的解为______．
(2)若与互为相反数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把代入原方程组，再利用加减消元法解答，即可求解；
（2）根据相反数的性质可得，再代入，可得到关于y，m的方程组，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴原方程组为，即，
由得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴程组的解为；
故答案为：
（2）解：∵与互为相反数，
∴，即，
∴原方程组为，
解得：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．已知方程组的解也是关于，的方程的一个解，则的值为（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】B
【分析】先求出原方程组的解，再把该解代入方程中即可求出a的值.
【详解】解：
把②式带入①式得

把代入①式得
∴原方程组的解是
把代入方程得
故选：B
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法及二元一次方程的解的概念.熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键.
2．若关于x，y的方程组中y的值比x的相反数大2，则k是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据“y的值比x的相反数大2”得出“”，再代入到方程组的第一个方程得到x的值，进而得出y的值，把x，y的值代入方程组中第二方程中求出k的值即可．
【详解】∵y的值比x的相反数大2，
∴，
把代入得，，
解得，，
∴，
把，代入，得．
故选D．
【点睛】此主要考查了与二元一次方程组的解有关的问题，解题的关键是列出等式“”．
3．已知关于x，y的方程组，下列结论：
①当时，方程组的解也是的解；
②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若，则．
其中不正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程即可判断；
②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；
③根据试值法求二元一次方程的自然数解即可得结论；
④根据整体代入的方法即可求解．
【详解】解：将代入原方程组，得，
解得：．
将代入方程的左右两边，
得：左边，右边，即左边右边，
∴当时，方程组的解不是方程的解，故①错误，符合题意；
解原方程组，得，
∴，
∴无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数，故②正确，不符合题意；
∵，
∴x、y为自然数的解有，，，，
∴x，y都为自然数的解有4对，故③正确，不符合题意；
∵，，
∴，
解得：，故④错误，符合题意．
综上所述：②③正确，①④错误．
故选B．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组．解题的关键是掌握二元一次方程的解和二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组的方法和步骤．
4．已知关于x，y的方程组，以下结论其中不成立是（ ）．
A．不论k取什么实数，的值始终不变
B．存在实数k，使得
C．当时，
D．当，方程组的解也是方程的解
【答案】D
【分析】把k看成常数，解出关于x，y的二元一次方程组（解中含有k），然后根据选项逐一分析即可．
【详解】解：，解得：，然后根据选项分析：
A选项，不论k取何值，，值始终不变，成立；
B选项，，解得，存在这样的实数k，成立；
C选项，，解得，成立；
D选项，当时，，则，不成立；
故选D．
【点睛】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，正确解出含有参数的二元一次方程组（解中含有参数）是解决本题的关键．
5．已知关于x、y的方程组的解为，则________．
【答案】11
【分析】将x=1，y=2代入方程组，可得关于m与n的方程组，相加即可得到答案．
【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为，
∴，
①+②得：3m-4n=11，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，解决问题的关键是熟练掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，用特殊方法解方程组求代数式求值．
6．一个水平放置的正方体容器，从内部量得它的边长是，则这个正方体容器的内部底面积是_____；若该正方体容器内水深，现将三条棱长分别为、、（）的长方体铁块放入水中，此时铁块的顶部高出水面，则长方体铁块的棱长_____（用含x的代数式表示）．
【答案】 x＋2或40−5x
【分析】利用正方体体积公式即可求得，根据体积关系确定y与x之间的关系．
【详解】解：这个正方体容器的内部底面积为：20×20＝400（cm2），
放入铁块后水深为：（y−2）cm或10−2＝8cm．
∴10×10（y−2）＋400x＝400（y−2）或10y×8＋400x＝400×8．
∴y＝x＋2或y＝40−5x．
故答案为：400，x＋2或40−5x．
【点睛】本题考查认识立体图形，代入法求二元一次方程组，通过体积关系确定x与y的关系是求解本题的关键．
7．已知关于x，y的方程组的解是，则与方程组 有关的的值为_____．
【答案】
【分析】由整体换元思想可得，求出，，然后代入求值即可．
【详解】∵关于x，y的方程组的解是，
∴方程组的解满足关系式，
解得：，
∴x′-2y′=8-2×12=8-24=-16．
故答案为：-16．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键．
8．设，都是正整数，则方程的正整数解有 __________．
【答案】，，，，
【分析】先把原方程可化为，后变形为，，根据x，y都是正整数，可到和都是96的约数且；再别计算出、2、3、4、时的x的值和对应的y的值即可．
【详解】解：∵
∴，即，
∴，
∵x，y都是正整数，
∴和都是96的约数，且，
∴当，即，即；
当，即，即；
当，即，即；
当，即，即；
当，即，即；
所以原方程有5组解，分别是，，，，．
故答案为：，，，，．
【点睛】本题主要考查了二元二次方程的特殊解法、代数式的变形、正整数的性质等知识点，掌握二元二次方程的特殊解法是解答本题的关键．
9．阅读材料：
已知关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程的所有正整数解．
小明参考阅读材料，解决该问题如下：
解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）．
因为，解得
因为t为整数，所以t=0或-1．
所以该方程的正整数解为和．
通过你所知晓的知识，请解决以下问题：
(1)方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则______；
(2)请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解；
(3)若a，b均为正整数，试判断二元一次方程组有几组正整数解？并写出其解．
【答案】(1)-1
(2)，，．
(3)该方程组有3组正整数解，分别为：，，．
【分析】（1）把x=2代入方程3x-5y=11得，求得y的值，即可求得θ的值；
（2）参考小明的解题方法求解即可；
（3）先根据（2）得到关于a、b的二元一次方程，再结合a、b均为正整数确定a、b的值，进而得到方程组的所有解．
(1)
解：把x=2代入方程3x-5y=11得，6-5y=11，
解得y=-1，
∵方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则θ=-1，
故答案为-1；
(2)
解：方程2x+3y=24一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）．
因为，解得-1＜t＜3．
因为t为整数，
所以t=0，1，2．
所以方程2x+3y=24的全部正整数解为：，，．
(3)
解：由（2）得：9a+2b=24或6a+4b=24或3a+6b=24
∵a、b均为正整数
∴
∴该方程组有3组正整数解，分别为：，，．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、一元一次不等式的整数解等知识点，理解题意、正常列出方程组和不等式是解答本题的关键．
10．数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，，即可得，解方程组即可求解；
（2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解；
（3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解．
【详解】（1）设，，则原方程组可化为，
∵的解为，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）设，，则原方程组可化为，
解得，
即有，
解得，
即：方程组的解为；
（3）设，，则原方程组可化为，
化简，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，即有，
解得：，
故方程组的解为：．
【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．