高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.4ω的最值范围问题(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)4.4ω的最值范围问题(精讲)(原卷版+解析)，共19页。


【题型精讲】
【题型一 单调性有关的ω最值范围问题】
例1 (2023·重庆市育才中学高三阶段练习）已知函数相邻两个对称轴之间的距离为2π，若f（x）在（-m，m）上是增函数，则m的取值范围是（ ）
A．（0，]B．（0，]C．（0，]D．（0，]
例2 (2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值不可能是（ ）
A．B．4C．D．
【跟踪精练】
1．(2023·江苏连云港市高三一模）函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型二 对称性有关的ω最值范围问题】
例3 (2023·陕西省洛南中学模拟预测）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【跟踪精练】
1． (2023·全国高三课时练习）已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．
2.(2023·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数，若，，则（ ）
A．点不可能是的一个对称中心
B．在上单调递减
C．的最大值为
D．的最小值为
【题型三 最值、值域有关的ω最值范围问题】
例4 (2023·天津高三月考）函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
例5 (2023·吉林高三期末）已知函数，，且在区间内有最小值无最大值，则（ ）
A．B．2C．D．8
【跟踪精练】
1．(2023·江苏泰州·高三阶段练习））已知函数在区间内有唯一的最值，则的取值范围是___________.
2. (2023·全国·专题练习）已知函数在（0，2]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则的取值范围是___________.
【题型四 零点有关的ω最值范围问题】
例6 (2023·重庆·模拟预测）已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例7 (2023·河南商丘市高三模拟））若函数在区间上有且仅有个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【跟踪精练】
1．(2023·上海高三模拟）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）已知在有且仅有6个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【题型五 综合性质有关的ω最值范围问题】
例8 (2023·湖南周南中学高三月考）（多选题）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若ω=2，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
B．若 ，且 的最小值为，则ω=2
C．若在[0， ]上单调递增，则ω的取值范围为（0，3]
D．若在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是
例9 (2023·天津·静海一中高三阶段练习）（多选题）设函数，且函数在上是单调的，则下列说法正确是（ ）
A．若是奇函数，则的最大值为3
B．若，则的最大值为
C．若恒成立，则的最大值为2
D．若的图象关于点中心对称，则的最大值为
【跟踪精练】
1.(2023·湖南益阳高三月考）（多选题）已知函数，下面结论正确的是（ ）
A．若，是函数的两个不同的极值点，且的最小值为，则
B．存在，使得往右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
C．若在上恰有6个零点，则的取值范围是
D．若，则在上单调递增
2. (2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数 (ω>0)，若在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________.
4.4 ω的最值范围问题
【题型解读】
【题型精讲】
【题型一 单调性有关的ω最值范围问题】
例1 (2023·重庆市育才中学高三阶段练习）已知函数相邻两个对称轴之间的距离为2π，若f（x）在（-m，m）上是增函数，则m的取值范围是（ ）
A．（0，]B．（0，]C．（0，]D．（0，]
答案：B
【解析】因为相邻两个对称轴之间的距离2π，
则，即，则，则，
由，得，
所以在上是增函数，由得.
故选：B.
例2 (2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值不可能是（ ）
A．B．4C．D．
答案：D
分析：根据余弦型函数过对称点，代入可得，，再根据区间上是单调函数可得周期范围，从而得出即可.
【详解】解：由已知，，则，，即，，
又函数在区间上是单调函数，可知，即，解得，所以当时，，当时，，当时，，满足题意，
即或4或.
故选：D.
【跟踪精练】
1．(2023·江苏连云港市高三一模）函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为函数在上是减函数，
所以，，，
解得，
所以，
解得，又，
所以，
所以的取值范围是.
故选：A
2．(2023·全国·模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，
由，，得，，
所以的单调递增区间为，，
依题意得，，
所以，，
所以，，
由得，由得，
所以且，
所以或，
当时，，又，所以，
当时，.
综上所述：.
故选：C.
【题型二 对称性有关的ω最值范围问题】
例3 (2023·陕西省洛南中学模拟预测）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
当时，，
函数在内有且仅有三条对称轴，则有，
解得，
故选：B.
【跟踪精练】
1． (2023·全国高三课时练习）已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．
答案：4或10
【解析】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，
∴，∴，k∈Z，
∵ω＞0，∴.
当时，，
y＝sinx图像如图：
要使在区间上有最小值无最大值，则：
或，
此时ω＝4或10满足条件；
区间的长度为：，
当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.
综上，ω＝4或10.
故答案为：4或10.
2.(2023·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数，若，，则（ ）
A．点不可能是的一个对称中心
B．在上单调递减
C．的最大值为
D．的最小值为
答案：D
【解析】解：，的周期.
依题意可得，，则，即，
又，所以，
所以，所以点是的一个对称中心，A错误；
当时，B错误；当时，取最小值，C错误，D正确；
故选：D.
【题型三 最值、值域有关的ω最值范围问题】
例4 (2023·天津高三月考）函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】当时，即时，函数有最小值，
令时，有，，，，
因为函数在内恰有两个最小值点，，
所以有：，
故选：B
例5 (2023·吉林高三期末）已知函数，，且在区间内有最小值无最大值，则（ ）
A．B．2C．D．8
答案：C
【解析】，
易知当时，函数在区间上取得最小值，
所以，，所以，，
又，所以，所以．
故选：C．
【跟踪精练】
1．(2023·江苏泰州·高三阶段练习））已知函数在区间内有唯一的最值，则的取值范围是___________.
答案：
【解析】函数，由于，
所以，
根据正弦函数的图象，以及在区间内有且只有一个最值，
所以且，所以．
故的取值范围是.
故答案为：.
2. (2023·全国·专题练习）已知函数在（0，2]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则的取值范围是___________.
答案：
【解析】易知时不满足题意，
由Z，得Z，
当时，第2个正最值点，解得，
第3个正最值点，解得，故；
当时，第2个正最值点，解得，
第3个正最值点，解得，故.
综上，的取值范围是.
故答案为：
【题型四 零点有关的ω最值范围问题】
例6 (2023·重庆·模拟预测）已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】因为，当时，，
因为函数在上有且仅有个零点，
则，解得.
故选：B.
例7 (2023·河南商丘市高三模拟））若函数在区间上有且仅有个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】因为，当时，，
由，可得，
因为函数在区间上有且仅有个零点，则，
解得，则，所以，，
所以，.
故选：A.
【跟踪精练】
1．(2023·上海高三模拟）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
2. (2023·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）已知在有且仅有6个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】由，
得，即.
设，
即在有且仅有6个实数根，
因为，
故只需，
解得，
故选：D．
【题型五 综合性质有关的ω最值范围问题】
例8 (2023·湖南周南中学高三月考）（多选题）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若ω=2，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
B．若 ，且 的最小值为，则ω=2
C．若在[0， ]上单调递增，则ω的取值范围为（0，3]
D．若在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是
答案：ABD
【解析】函数
选项A：若，，将的图像向左平移个单位长度得函数的图像，所以A正确；
选项B：若，则是函数的最大值点或最小值点，若的最小值为，则最小正周期是，所以，B正确；
选项C：若在上单调递增，则，所以，C错误；
选项D：设，当时，
若在仅有3个零点，即在仅有3个零点
则，所以，D正确，
故选：ABD．
例9 (2023·天津·静海一中高三阶段练习）（多选题）设函数，且函数在上是单调的，则下列说法正确是（ ）
A．若是奇函数，则的最大值为3
B．若，则的最大值为
C．若恒成立，则的最大值为2
D．若的图象关于点中心对称，则的最大值为
答案：BCD
【解析】对于A，若是奇函数，则，当时，．要使函数在上是单调的，则，
∴，又，则的最大值为1，故A错误．
对于B，∵，∴，或，．
∵，∴，
此时，当时，．要使函数在上是单调的，则，∴，
又，∴，则的最大值为，故B正确．
对于C，∵恒成立，∴．
∵，∴，此时．
∵，∴，要使函数在上是单调的，则，∴．
又，∴，则的最大值为2，故C正确．
对于D，的图象关于点中心对称，
则，，则，．
∵，∴，此时．
当时，．
要使函数在上是单调的，则，∴．
又，∴，则的最大值为，故D正确．
故选：BCD．
【跟踪精练】
1.(2023·湖南益阳高三月考）（多选题）已知函数，下面结论正确的是（ ）
A．若，是函数的两个不同的极值点，且的最小值为，则
B．存在，使得往右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
C．若在上恰有6个零点，则的取值范围是
D．若，则在上单调递增
答案：BCD
【解析】，
对于A，，∴，，错误；
对于B，平移后关于原点对称，则，在时，，正确；
对于C，，，，正确；
对于D，，，，∵，∴，正确.
故选：BCD.
2. (2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数 (ω>0)，若在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________.
答案：
【解析】由题意，令，，得x＝，，
∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为，，
∴，解得，
令，，
∴，，
令k＝0，f(x)在上单调递增，
∴，
∴，解得，
综上，ω的取值范围是.
故答案为：.