4.9三角形中的最值、范围问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

4.9  三角形中的最值、范围问题

【题型解读】

【知识储备】

三角形中的最值范围问题处理方法

1.利用基本不等式求最值、范围-化角为边

余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

2.转为三角函数求最值、范围-化边为角

如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的函数，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值、范围问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边

【题型精讲】

【题型一　与角有关的最值、范围问题】　

例1  （2022·全国·高三课时练习）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA－a＝0．

(1)求角B的大小；

(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．

【解析】(1)由正弦定理，得2sinBsinA＝sinA，又在△ABC中，sin A>0，

故sin B＝，由题意得B＝．

(2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A．由△ABC是锐角三角形，得A∈ ．

由cosC＝cos＝－cosA＋sinA，得

cosA＋cosB＋cosC＝sin A＋cos A＋＝sin＋∈．

故cosA＋cosB＋cosC的取值范围是．

例2  （2022·全国·高三专题练习）已知中，角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围．

【答案】（1）      （2）,

【解析】（1）因为，又，

所以，故，由为三角形的内角得；

（2）由（1）知，

，

，

因为，所以，所以，所以,，

故的取值范围,．

【题型精练】

1．（2022·全国高三单元测试）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.△ABC的面积为S，若.

(1)求角C；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)；  (2).

【解析】

(1)由题设，，而，

所以，又，

所以，又，且，

所以且，则.

(2)由（1），，

由，则.

所以，故.

2．（2022·合肥百花中学高三期末）已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：∵,\

∴，

∴由正弦定理得：，

即，

，则，

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为.

∵，∴，

∴的最大值为.

故选：C.

3．（2022·全国高三课时练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2c－a)cosB－bcosA＝0．

(1)若b＝7，a＋c＝13，求△ABC的面积；

(2)求sin2A＋sin的取值范围．

【解析】(1)因为(2c－a)cosB－bcosA＝0，

由正弦定理得(2sinC－sinA)cosB－sinBcosA＝0，则2sinCcosB－sin(A＋B)＝0，

求得cosB＝，B＝．由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，

即49＝(a＋c)2－2ac－2accosB，

求得ac＝40，所以△ABC的面积S＝acsinB＝10．

(2)sin2A＋sin＝sin2A＋sin＝sin2A＋sin＝－cos2A＋cosA＋1，A∈，

令u＝cosA∈，y＝－u2＋u＋1∈．

4．（2022·山东潍坊高三期末）在中，，，分别是角，，的对边，并且．

（Ⅰ）已知_______，计算的面积；

请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答．

（Ⅱ）求的最大值．

【解析】（Ⅰ）∵，

∴由余弦定理知，，∵，∴．

选择①②：∵，

∴，即，解得或（舍负），

∴的面积．

选择①③：由正弦定理知，，

∵，∴∵

∴，由构成的方程组，解得，.

∴的面积．

选择②③：由正弦定理知，，

∵，∴，

∴的面积．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，

∴，

∵，∴，

∴，故的最大值为1

【题型二　与边有关的最值、范围问题】

例3　（2022·广西河池·高三期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

是边上的中线， 在中，①，

在中，②.

又，，

由①＋②得.

由余弦定理得.

，

，

，即，

.故选C.

例4　（2022·山东青岛·高三期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.

(1)求角的大小；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)   (2)

【解析】(1)在中，，

∵，

∴，

即，

由正弦定理得：，

∴，∴，

又，∴，∴.

(2)由正弦定理得：，∴，，

∴

，

∵，∴，即，

∴，，

∴，

即.

【题型精练】

1．（2022·河南·高三期中）在中，，，D为BC中点，则AD最长为_________.

【答案】3

【解析】如图所示，设，，则，

在中，由余弦定理，可得，

即，①

在中，由余弦定理，可得，

即，②

由①+②，可得，

在中，由余弦定理，可得，

即，

解得，所以，即的最大值为.

故答案为：.

2．（2022·甘肃兰州·高三期中）已知分别为三个内角的对边，.

(1)求；

(2)若 ，求的最大值.

【答案】(1)  (2)

【解析】(1)解： ，

，

即，

即，

得，

即，

，

，又，所以．

(2)解：因为，，

由正弦定理

 其中，由于，所以当时，

3. （2022·四川资阳市高三月考）在锐角中，角，，所对边分别为，，，若，，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】因为，，所以由余弦定理得，所以，

所以，

由正弦定理得，所以，

所以

，

因为为锐角三角形，所以，即，解得，

所以，

所以，

所以，所以，

所以，

所以，所以，

所以的取值范围是

【题型三　与周长有关的最值、范围问题】

例5　（2022·河南·高三阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，

即，又，

解得，，

又，由余弦定理可得：，

，即

当且仅当时取等号，

则周长的最大值是，

故选：B

例6　（2022·山东济南市高三月考）已知锐角的内角的对边分别为，且.

(1)求；

(2)当时，求周长的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】(1)∵，

∴，

∴，

∵，∴，

∴.

(2)∵，∴.

∵为锐角三角形，∴，

∴由正弦定理可得：，

周长

，

∵，

∴，

∴周长的取值范围是.

【题型精练】

1．（2022·陕西高三期中）在中，在线段上，且，，.

（1）若，求的面积；    （2）求的周长的最大值。

【答案】（1）8     （2）

【解析】（1）设，则，

在中，由余弦定理知，，

解得，∴，，

由余弦定理知，，

∴，

故的面积为.

（2）由（1）知，，，，∵，

∴cos，在中，由余弦定理知，

.

∴，

设的周长为，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

故的周长的最大值为.

2．（2022·绵阳南山中学实验学校月考）设锐角的三个内角的对边分别为 且，，则周长的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为△为锐角三角形，所以，，，即，，，所以，；又因为，所以，又因为，所以；由，即，所以，令，则，又因为函数在上单调递增，所以函数值域为，

故选C

3. （2022·济南省实验月考）已知在中，角，，的对边分别为，，，满足．

（1）求角的大小；

（2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围．

【答案】（1）

【解析】（1）因为，

所以，

即，

所以，整理可得，

所以可得，因为，可得，，

所以，可得．

（2）由正弦定理，且，，

所以，；

所以．

因为为锐角三角形，所以得，解得．

所以；即周长的取值范围是.

【题型四  与面积有关的最值、范围问题】

例7　（2022·贵州金沙·高三阶段练习）在中，，D是BC上一点，且，，则面积的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，，，由余弦定理可得

，，

消去得，

又，

联立消去x得

所以，当且仅当时等号成立，

因此.

故选：B.

例8　（2022·湖南益阳·高三期末）为边上一点，满足，，记，．

(1)当时，且，求的值；

(2)若，求面积的最大值．

【答案】(1)  (2)

【解析】(1)设长为，当时，，，

则，

因为，所以，即

所以，得，所以，所以.

(2)在中，，则，

由正弦定理得，又，

所以，，

则的面积，

又，

所以

因为，所以，

所以当，即时，有最大值.

故面积的最大值为：.

【题型精练】

1．（2022·山东省济宁市高三月考）已知，，分别是内角，，的对边，，当时，面积的最大值为______．

【答案】

【解析】解:根据正弦定理边角互化结合得,由于，，

所以，即，

因为，所以

因为，

所以由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，

所以，即面积的最大值为.

故答案为：

2.（2022·湖南益阳月考）（多选）设的内角，，所对的边分别为，，，，且，若点是外一点，，.下列说法中，正确的命题是（       ）

A．的内角 B．的内角

C．的面积为 D．四边形面积的最大值为

【答案】ABD

【解析】∵，

∴，

∴，∴．故A正确．

又∵．∴，故B正确．

由于，由于角无法确定，故C不一定正确.

在等边中，设，，

在中，由余弦定理可得：，

由于，，代入上式可得：；

∴四边形的面积

，

∴当角时，四边形面积的最大值，最大值为，故D正确．

故选：ABD．

3.（2022·昆明市官渡区第一中学高三月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，．

（1）求角的大小和边长的值；      （2）求面积的取值范围．

【答案】（1），         （2）

【解析】（1），∴，

，，，为锐角，，

∵，由正余弦定理可得，

整理可得，解得．

（2），

，，

，

，，，

，，

，