高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)5.5平面向量中的最值、范围问题(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)5.5平面向量中的最值、范围问题(精讲)(原卷版+解析)，共16页。


【知识必备】
一、平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．
二、平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）坐标法
第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步: 将平面向量的运算坐标化
第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（2）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（3）几何意义法
第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹
第二步: 根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
【题型精讲】
【题型一 平面向量数量积的最值范围问题】
必备技巧 数量积的最值范围处理方法
（1）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算，
（2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理，
（3）利用极化恒等式来处理.
例1(2023·河南高三月考）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为
A．18B．24C．36D．48
例2 (2023·陕西·交大附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________.
【跟踪精练】
1. (2023·山东·山师附中模拟预测）已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则的最大值是
2. (2023·云南玉溪·高三月考）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ .
【题型二 平面向量模的最值范围问题】
方法技巧 模的最值范围处理方法
设,则,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．
例3(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知△ABC为等边三角形，AB=2，△ABC所在平面内的点P满足，的最小值为（ ）
例4(2023·福建泉州·模拟预测）已知向量，满足，，则的最大值为______.
【跟踪精练】
1. (2023·全国·高三课时练习）已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
2. (2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考）已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则的最大值为___________．
【题型三 平面向量夹角的最值范围问题】
例5(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测）非零向量满足=,,则的夹角的最小值是 ．
例6 (2023·河北武强中学高三月考）已知,,且与的夹角为锐角,则的取值范围是 ．
【题型精练】
1．(2023·福建省漳州市高三一模)已知向量与的夹角为，，，，，在时取最小值，当时，的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
2. (2023·福建省漳州市高三期末) 设向量、满足：，，的夹角是，若与的夹角为钝角，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【题型四 平面向量中系数的最值范围问题】
必备技巧 系数的最值范围处理方法
（1）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理，
（2）利用极等和线定理来处理.
例7(2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（ ）
A．48B．49C．50D．51
例8 (2023·海南海口·二模）设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于 ．
【题型精练】
1. (2023•南通期末）在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2. (2023•济南期末）设，为单位向量，非零向量，，，若，的夹角为，则的最小值为
A．B．C．1D．4
5.5 平面向量中的最值、范围问题
【题型解读】
【知识必备】
一、平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．
二、平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）坐标法
第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步: 将平面向量的运算坐标化
第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（2）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（3）几何意义法
第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹
第二步: 根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
【题型精讲】
【题型一 平面向量数量积的最值范围问题】
必备技巧 数量积的最值范围处理方法
（1）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算，
（2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理，
（3）利用极化恒等式来处理.
例1(2023·河南高三月考）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为
A．18B．24C．36D．48
答案：C
【解答】
据题意：圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．点为后轮上的一点，故，
，故
【法二】：如图建立平面直角坐标系：
则，，．可设，
所以，．
故
．
故选：．
例2 (2023·陕西·交大附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________.
答案：
【解析】如下图所示：
设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，
，
当为正方形的某边的中点时，，
当与正方形的顶点重合时，，即，
因此，.
故答案为：.
【跟踪精练】
1. (2023·山东·山师附中模拟预测）已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则的最大值是
答案：6
【解答】解：如图，取中点，连接，，，则：
；
；
当，即同向时取“”；
的最大值为6．
故答案为：6．
2. (2023·云南玉溪·高三月考）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ .
答案：
【解析】在上取一点，使得，取的中点，连接，，
如图所示：
则，，，
，即.
，
当时，取得最小值，此时，
所以.
当与重合时，，，
则，
当与重合时，，，
则，
所以，即的取值范围为.
故答案为：
【题型二 平面向量模的最值范围问题】
方法技巧 模的最值范围处理方法
设,则,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．
例3(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知△ABC为等边三角形，AB=2，△ABC所在平面内的点P满足，的最小值为（ ）
答案：C
【解析】建系
A，B ，C,设P
，,
，
则P到距离为1，则最小值为
例4(2023·福建泉州·模拟预测）已知向量，满足，，则的最大值为______.
答案：
【解析】设向量的夹角为，
，
，
则，
令，
则，
据此可得：，
即的最大值是
故答案为：.
【跟踪精练】
1. (2023·全国·高三课时练习）已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
答案：B
【解析】当时，取得最小值，因为，
所以此时点为线段的中点，
因为，所以，故，
则，
因为，
故．
故选：B.
2. (2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考）已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则的最大值为___________．
答案：
【解析】∵，,∴，
如图所示，设平面向量，，都是以O为起点，终点分别是A,B,C，
则平面向量+的终点N到O的距离为2，
设AB的中点为M,则|MN|=1,∴N在以M为圆心，半径为1的圆周上.
由与的夹角为，∴点C在以AB为弦的圆周角为的优弧上，
当C,M,N共线，且C,N在直线AB的两侧，并且CM⊥AB时，|CN|最大，也就是取得最大值,
此时,, |CN|=,
故答案为：.
【题型三 平面向量夹角的最值范围问题】
例5(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测）非零向量满足=,,则的夹角的最小值是 ．
答案：
【解析】由题意得,,整理得,即
,,夹角的最小值为
例6 (2023·河北武强中学高三月考）已知,,且与的夹角为锐角,则的取值范围是 ．
【解析】由于与的夹角为锐角,,且与不共线同向,由,解得,当向量与共线时,得,得,因此的取值范围是且．
【题型精练】
1．(2023·福建省漳州市高三一模)已知向量与的夹角为，，，，，在时取最小值，当时，的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：由题意得：
，
，
，
由二次函数知，当上式取最小值时，，
，，
解得．
的取值范围为．
故选：．
2. (2023·福建省漳州市高三期末) 设向量、满足：，，的夹角是，若与的夹角为钝角，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【解析】解：向量、满足：，，的夹角是，．
若与的夹角为钝角，
则，且与不共线，
即，且，
即，且．
求得，，即，，，
故选：．
【题型四 平面向量中系数的最值范围问题】
必备技巧 系数的最值范围处理方法
（1）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理，
（2）利用极等和线定理来处理.
例7(2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（ ）
A．48B．49C．50D．51
答案：B
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，，因为，
所以，，.
因为，所以，，
所以.
当且仅当，即，时取等号.
故选: B.
例8 (2023·海南海口·二模）设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于 ．
【解析】解：，
只考虑，
则，
当且仅当时取等号．
则的最大值等于．
故答案为：．
【题型精练】
1. (2023•南通期末）在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：由题意，设，，
当时，，所以，
所以，从而有；
当时，因为（，），
所以，即，
因为、、三点共线，所以，即.
综上，的取值范围是.
故选：C.
2. (2023•济南期末）设，为单位向量，非零向量，，，若，的夹角为，则的最小值为
A．B．C．1D．4
【解析】解：，为单位向量，非零向量，，，若，的夹角为，
，
则，
则，
当且仅当时，取等号，
故选：．