4.4ω的最值范围问题（精练）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

4.4  ω的最值范围问题

【题型解读】

【题型一　单调性有关的ω最值范围问题】

1.（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，的零点到轴的最近距离小于，且在上单调递增，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设的最小正周期为，依题意为的一个零点，且在上单调递增，所以，所以，因为的零点到轴的最近距离小于，所以，化简得，即的取值范围是.

故选：D

2.（2022·河南洛阳·模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，

由，，得，，

所以的单调递增区间为，，

依题意得，，

所以，，

所以，，

由得，由得，

所以且，

所以或，

当时，，又，所以，

当时，.

综上所述：.

故选：C.

3．（2022·江苏连云港市高三一模）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为_____.

【答案】

【解析】解：因为函数的图象关于直线对称，

所以，，即，，

又，所以，从而.

因为，所以，因为函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，故的最大值为.

故答案为：

4．（2022·全国·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，且函数在上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是_______.

【答案】

【解析】由题及得（）在单调递增，

又函数（）在区间上单调递增，

所以，，得 .

在上有且仅有一个零点，可得，

所以，，

所以，.

故答案为：.

5. （2022·陕西·二模）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，

即，若在上单调递减，

则的周期，即，得，

由，，得，，

即，即的单调递减区间为，，

若在上单调递减，则，，

即，，当时，，即的取值范围是.

故选：D．

【题型二　对称性有关的ω最值范围问题】

1.（2022·陕西省洛南中学模拟预测）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：

①在区间上有且仅有3个不同的零点；

②的最小正周期可能是；

③的取值范围是；

④在区间上单调递增．

其中所有正确结论的序号是（       ）

A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④

【答案】B

【解析】由函数，

令，则

函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，

由，得，则，

即，，故③正确；

对于①，，，

当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；

当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误；

对于②，周期，由，则，，

又，所以的最小正周期可能是，故②正确；

对于④，，，又，

又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．

故正确结论的序号是：②③

故选：B

2． （2022·全国高三课时练习）已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（       ）

A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）

【答案】C

【解析】，

令，，则，，

函数f（x）在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，即有3个整数k符合，

，得，则，

即，∴.

故选：C.

3.（2022·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数，若，，则（       ）

A．点不可能是的一个对称中心

B．在上单调递减

C．的最大值为

D．的最小值为

【答案】D

【解析】解：，的周期.

依题意可得，，则，即，

又，所以，

所以，所以点是的一个对称中心，A错误；

当时，B错误；当时，取最小值，C错误，D正确；

故选：D.

【题型三　最值、值域有关的ω最值范围问题】

1.（2022·天津高三月考）函数在区间上恰有两个最小值点，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，因为，所以，

问题转化为函数在时恰有两个最小值点，

所以有，因为，所以，

故选：A

2．（2022·吉林高三期末）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当时，，

因为函数在区间上的值域为，

所以，解得.

故选：.

3．（2022·江苏泰州·高三阶段练习）函数在上的值域是，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，，则，

要使f(x)在上的值域是，

则.

故选：C.

4. （2022·全国·专题练习）已知函数，若函数的图象在区间上的最高点和最低点共有个，下列说法正确的是___________.

①在上有且仅有个零点；

②在上有且仅有个极大值点；

③的取值范围是；

④在上为单递增函数.

【答案】②③

【解析】，

当时，，

令，则在上的最高点和最低点共有个，

由图象可知：需满足：，解得：，③正确；

当时，有且仅有个零点，即在上有且仅有个零点，①错误；

当时，有且仅有个极大值点，②正确；

当时，，则，

在上有增有减，④错误.

故答案为：②③.

【题型四  零点有关的ω最值范围问题】

1.（2022·重庆·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，函数，

若，即，必有，

令，则，

设，

则函数和在区间内有4个交点，

又由于，必有，

即的取值范围是，

故选：B.

2.（2022·河南商丘市高三模拟）函数在上没有零点，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为函数，在上没有零点，所以

，所以，即，

因为，所以，又因为，所以，所以，

所以，因为，所以或，当时，；

当时，，又因为，所以的取值范围是：.

故选：C.

3．（2022·上海高三模拟）已知函数，且f（x）在[0，]有且仅有3个零点，则的取值范围是（       ）

A．[，） B．[，） C．[，） D．[，）

【答案】D

【解析】因为，当时，，

因为函数在上有且只有3个零点，

由余弦函数性质可知，解得.

故选：D．

4. （2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，函数，

若，即，必有，

令，则，

设，

则函数和在区间内有4个交点，

又由于，必有，

即的取值范围是，

故选：B.

5. （2022·四川·泸县五中二模）（多选）已知函数，则下列命题正确的是（       ）

A．若在上有10个零点，则

B．若在上有11条对称轴，则

C．若＝在上有12个解，则

D．若在上单调递减，则

【答案】ACD

【解析】解：因为，所以，

对于A，因为在上有10个零点，

所以，解得，故A正确；

对于B，若在上有11条对称轴，

所以，解得，故B错误；

对于C，若＝在上有12个解，又，

所以，解得，故C正确；

对于D，因为，所以，

若在上单调递减，

则，解得，

又因，所以，故D正确.

故选：ACD.

【题型五  综合性质有关的ω最值范围问题】

1.（2022·湖南周南中学高三月考）已知函数，满足函数是奇函数，且当取最小值时，函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】因为函数，满足函数是奇函数，

且当取最小值时，，．

函数在区间和上均单调递增，

，求得，则实数的范围为，

故答案为：

2.（2022·天津·静海一中高三阶段练习）已知函数，若函数的一个零点为．其图像的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为（       ）

A．2 B．6 C．10 D．14

【答案】B

【解析】由题意得：，

所以，，

又，

所以，

因为在上单调，

所以，则，

所以，即，解得，

所以，

当时， ，

因为函数的一个零点为，

所以，

则，即，

因为，则，

所以，

若，则，

因为在上不单调，不符合题意；

当时， ，

因为函数的一个零点为，

所以，

则，即，

因为，无解；

当时， ，

因为函数的一个零点为，

所以，

则，即，

因为，则，

所以，

若，则，

因为在上不单调，不符合题意；

当时， ，

因为函数的一个零点为，

所以，

则，即，

因为，则，

所以，

若，则，

因为在上不单调，不符合题意；

当时， ，

因为函数的一个零点为，

所以，

则，即，

因为，则，

所以，

若，则，

因为在上单调，符合题意；

所以的最大值为6，

故选：B

3.（2022·湖南益阳高三月考）已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．

【答案】17

【解析】由，且在上有最大值，没有最小值，可得， 所以.

由在上有最大值，没有最小值，可得，解得，又，当时，，则的最大值为17，

故答案为：17

4. （2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数，若在区间内没有极值点，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】，

∴上，没有极值点，

∴或，

∴或，而且得：，

∴，或.