4.4ω的最值范围问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

4.4  ω的最值范围问题

【题型解读】

【题型精讲】

【题型一　单调性有关的ω最值范围问题】

例1   （2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知函数相邻两个对称轴之间的距离为2π，若f（x）在（-m，m）上是增函数，则m的取值范围是（       ）

A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]

【答案】B

【解析】因为相邻两个对称轴之间的距离2π，

则，即，则，则，

由，得，

所以在上是增函数，由得.

故选：B.

例2   （2022·河南洛阳·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值不可能是（       ）

A． B．4 C． D．

【答案】D

【分析】根据余弦型函数过对称点，代入可得，，再根据区间上是单调函数可得周期范围，从而得出即可.

【详解】解：由已知，，则，，即，，

又函数在区间上是单调函数，可知，即，解得，所以当时，，当时，，当时，，满足题意，

即或4或.

故选：D.

【跟踪精练】

1．（2022·江苏连云港市高三一模）函数在上是减函数，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为函数在上是减函数，

所以，，，

解得，

所以，

解得，又，

所以，

所以的取值范围是.

故选：A

2．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，

由，，得，，

所以的单调递增区间为，，

依题意得，，

所以，，

所以，，

由得，由得，

所以且，

所以或，

当时，，又，所以，

当时，.

综上所述：.

故选：C.

【题型二　对称性有关的ω最值范围问题】

例3   （2022·陕西省洛南中学模拟预测）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

当时，，

函数在内有且仅有三条对称轴，则有，

解得，

故选：B.

【跟踪精练】

1． （2022·全国高三课时练习）已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．

【答案】4或10

【解析】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，

∴，∴，k∈Z，

∵ω＞0，∴.

当时，，

y＝sinx图像如图：

要使在区间上有最小值无最大值，则：

或，

此时ω＝4或10满足条件；

区间的长度为：，

当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.

综上，ω＝4或10.

故答案为：4或10.

2.（2022·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数，若，，则（       ）

A．点不可能是的一个对称中心

B．在上单调递减

C．的最大值为

D．的最小值为

【答案】D

【解析】解：，的周期.

依题意可得，，则，即，

又，所以，

所以，所以点是的一个对称中心，A错误；

当时，B错误；当时，取最小值，C错误，D正确；

故选：D.

【题型三　最值、值域有关的ω最值范围问题】

例4   （2022·天津高三月考）函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】当时，即时，函数有最小值，

令时，有，，，，

因为函数在内恰有两个最小值点，，

所以有：，

故选：B

例5   （2022·吉林高三期末）已知函数，，且在区间内有最小值无最大值，则（       ）

A． B．2 C． D．8

【答案】C

【解析】，

易知当时，函数在区间上取得最小值，

所以，，所以，，

又，所以，所以．

故选：C．

【跟踪精练】

1．（2022·江苏泰州·高三阶段练习））已知函数在区间内有唯一的最值，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】函数，由于，

所以，

根据正弦函数的图象，以及在区间内有且只有一个最值，

所以且，所以．

故的取值范围是.

故答案为：.

2. （2022·全国·专题练习）已知函数在（0，2]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】易知时不满足题意，

由Z，得Z，

当时，第2个正最值点，解得，

第3个正最值点，解得，故；

当时，第2个正最值点，解得，

第3个正最值点，解得，故.

综上，的取值范围是.

故答案为：

【题型四  零点有关的ω最值范围问题】

例6   （2022·重庆·模拟预测）已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围是（        ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为，当时，，

因为函数在上有且仅有个零点，

则，解得.

故选：B.

例7    （2022·河南商丘市高三模拟））若函数在区间上有且仅有个零点，则的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为，当时，，

由，可得，

因为函数在区间上有且仅有个零点，则，

解得，则，所以，，

所以，.

故选：A.

【跟踪精练】

1．（2022·上海高三模拟）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：依题意可得，因为，所以，

要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．

故选：C．

2. （2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）已知在有且仅有6个实数根，则实数的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，

得，即.

设，

即在有且仅有6个实数根，

因为，

故只需，

解得，

故选：D．

【题型五  综合性质有关的ω最值范围问题】

例8   （2022·湖南周南中学高三月考）（多选题）已知函数，则下列结论中正确的是（       ）

A．若ω=2，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称

B．若 ，且 的最小值为，则ω=2

C．若在[0， ]上单调递增，则ω的取值范围为（0，3]

D．若在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是

【答案】ABD

【解析】函数

选项A：若，，将的图像向左平移个单位长度得函数的图像，所以A正确；

选项B：若，则是函数的最大值点或最小值点，若的最小值为，则最小正周期是，所以，B正确；

选项C：若在上单调递增，则，所以，C错误；

选项D：设，当时，

若在仅有3个零点，即在仅有3个零点

则，所以，D正确，

故选：ABD．

例9    （2022·天津·静海一中高三阶段练习）（多选题）设函数，且函数在上是单调的，则下列说法正确是（       ）

A．若是奇函数，则的最大值为3

B．若，则的最大值为

C．若恒成立，则的最大值为2

D．若的图象关于点中心对称，则的最大值为

【答案】BCD

【解析】对于A，若是奇函数，则，当时，．要使函数在上是单调的，则，

∴，又，则的最大值为1，故A错误．

对于B，∵，∴，或，．

∵，∴，

此时，当时，．要使函数在上是单调的，则，∴，

又，∴，则的最大值为，故B正确．

对于C，∵恒成立，∴．

∵，∴，此时．

∵，∴，要使函数在上是单调的，则，∴．

又，∴，则的最大值为2，故C正确．

对于D，的图象关于点中心对称，

则，，则，．

∵，∴，此时．

当时，．

要使函数在上是单调的，则，∴．

又，∴，则的最大值为，故D正确．

故选：BCD．

【跟踪精练】

1.（2022·湖南益阳高三月考）（多选题）已知函数，下面结论正确的是（       ）

A．若，是函数的两个不同的极值点，且的最小值为，则

B．存在，使得往右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称

C．若在上恰有6个零点，则的取值范围是

D．若，则在上单调递增

【答案】BCD

【解析】，

对于A，，∴，，错误；

对于B，平移后关于原点对称，则，在时，，正确；

对于C，，，，正确；

对于D，，，，∵，∴，正确.

故选：BCD.

2. （2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数 (ω>0)，若在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________.

【答案】

【解析】由题意，令，，得x＝，，

∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为，，

∴，解得，

令，，

∴，，

令k＝0，f(x)在上单调递增，

∴，

∴，解得，

综上，ω的取值范围是.