高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)4.2.1三角恒等变换(题型战法)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)4.2.1三角恒等变换(题型战法)(原卷版+解析)，共34页。试卷主要包含了两角和与差的正弦，两角和与差的正切，倍角公式等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
一 和与差公式
两角和与差的余弦：
Cα+β：；
Cα-β：.
2.两角和与差的正弦
Sα+β：；
Sα-β：.
3.两角和与差的正切
Tα+β：；
Tα-β：.
二 倍角与半角公式
1.倍角公式：
需要注意的是，因为，所以也可以改写为：

2．半角公式：
三 降幂升角公式
；
；
.
四 辅助角公式
；
.
题型战法
题型战法一 和与差公式的应用
典例1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
变式1-1．若，则=（ ）
A．B．
C．D．
变式1-2．（ ）
A．B．
C．D．
变式1-3．若，是方程两个实数根，则（ ）
A．B．C．D．
变式1-4．若，则（ ）
A．B．0C．D．
题型战法二 和与差公式的逆用
典例2．（ ）．
A．B．C．D．
变式2-1．（ ）
A．B．C．D．
变式2-2．= （ ）
A．B．C．D．
变式2-3．（ ）
A．B．C．D．
变式2-4．化简的结果为（ ）
A．xB．
C．D．
题型战法三 巧变角
典例3．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
变式3-1．已知、为锐角，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
变式3-2．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
变式3-3．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
变式3-4．若，，且，，则的值是（ ）
A．B．C．或D．或
题型战法四 倍角公式的应用
典例4．已知，且是第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
变式4-1．若，则（ ）
A．B．C．或D．
变式4-2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
变式4-3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
变式4-4．已知，且，则（ ）．
A．B．C．D．
题型战法五 降幂升角公式的应用
典例5．（ ）
A．B．C．D．
变式5-1．=
A．B．C．D．
变式5-2．函数的最小正周期为
A．B．C．2D．4
变式5-3．若，则
A．B．C．D．0
变式5-4．已知，则=（ ）
A．B．
C．D．
题型战法六 辅助角公式的应用
典例6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
变式6-1．已知，则 等于（ ）
A．－B．± C．－1D．1
变式6-2．函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和2B．和C．和D．和2
变式6-3．函数在上的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
变式6-4．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
题型战法七 化简求值
典例7．化简：（ ）
A．B．C．D．
变式7-1．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
变式7-2．化简 的结果为（ ）
A．B．C．D．
变式7-3．化简（ ）
A．B．
C．D．
变式7-4．化简所得的结果是（ ）
A．B．C．D．2
题型战法八 三角恒等变换与三角函数的综合应用
典例8．设函数
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数在上的最大值与最小值及相应的x的值.
变式8-1．已知函数.
(1)求求函数的最小正周期及对称中心.
(2)求函数在值域.
变式8-2．设函数.
(1)求函数的最小正周期和最大值，并指出取得最大值时的值；
(2)将函数图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图像，写出表达式和单调递增区间.
变式8-3．已知函数．
(1)当时，求的取值范围；
(2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．
变式8-4．已知函数的图象的相邻两个对称中心的距离为．
(1)求在上的单调减区间；
(2)函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
第四章 三角函数与解三角形
4.2.1 三角恒等变换（题型战法）
知识梳理
一 和与差公式
两角和与差的余弦：
Cα+β：；
Cα-β：.
2.两角和与差的正弦
Sα+β：；
Sα-β：.
3.两角和与差的正切
Tα+β：；
Tα-β：.
二 倍角与半角公式
1.倍角公式：
需要注意的是，因为，所以也可以改写为：

2．半角公式：
三 降幂升角公式
；
；
.
四 辅助角公式
；
.
题型战法
题型战法一 和与差公式的应用
典例1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两角差的余弦公式化简，然后再化弦为切即可得解.
【详解】
解：由得，,
所以,解得.
故选：A.
变式1-1．若，则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出，再利用差角的正弦公式求解.
【详解】
解：因为，，所以，
所以＝.
故选：D．
变式1-2．（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦的和角公式即可求解.
【详解】
故选:C
变式1-3．若，是方程两个实数根，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由根与系数关系得到两根之和，两根之积，代入正切的和角公式即可.
【详解】
由韦达定理得：，，
所以
故选：A
变式1-4．若，则（ ）
A．B．0C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由正切两角差的公式直接求解.
【详解】
.
故选:D
题型战法二 和与差公式的逆用
典例2．（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用和角正弦公式即可得出结果.
【详解】
根据和角正弦公式，
，
故选：C.
变式2-1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两角差的余弦公式可求出结果.
【详解】
.
故选：A
变式2-2．= （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
逆用两角差的正弦公式化简，然后再计算．
【详解】
．
故选：B．
变式2-3．（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用诱导公式及和角正弦公式即可求值.
【详解】
.
故选：C
变式2-4．化简的结果为（ ）
A．xB．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两角和的余弦公式计算可得；
【详解】
解：
故选：B
题型战法三 巧变角
典例3．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用同角三角函数关系求得的值，再利用组配角即可求得的值.
【详解】
因为，所以．
又，所以，
故
．
故选：A
变式3-1．已知、为锐角，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
凑角法，利用正弦的差角公式进行求解.
【详解】
因为、为锐角，所以，
因为，所以，
因为，所以，
故
故选：A
变式3-2．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出，，由凑角法，利用正弦的差角公式进行求解.
【详解】
因为、为锐角，所以，
因为，所以，
因为，所以，
故
故选：A.
变式3-3．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两角和与差的三角函数，由求解.
【详解】
解：因为，
所以，
又，
所以，
所以，
，
，
故选：A
变式3-4．若，，且，，则的值是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据，进而根据两角和的余弦公式展开，然后结合同角三角函数的基本关系求得答案.
【详解】
，又∵，∴.
又∵，∴，
于是
，易得，则.
故选：B.
题型战法四 倍角公式的应用
典例4．已知，且是第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简求解.
【详解】
由题意得，则．
故选：B
变式4-1．若，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式以及弦化切可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】
由已知，则，
因为
，解得.
故选：B.
变式4-2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二倍角公式得到，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
【详解】
解：因为，
所以，即，
因为，所以、，即，
又，解得或（舍去）；
故选：A
变式4-3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意可得利用诱导公式及二倍角公式计算可得；
【详解】
解：因为，所以
故选：B
变式4-4．已知，且，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由可求sinθ，由可求tanθ，再由正切二倍角公式可求tan2θ.
【详解】
∵，且，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
题型战法五 降幂升角公式的应用
典例5．（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
结合倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求出结果.
【详解】
，
故选：A.
变式5-1．=
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用降次公式求得所求表达式的值.
【详解】
依题意.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查降次公式，属于基础题.
变式5-2．函数的最小正周期为
A．B．C．2D．4
【答案】B
【解析】
利用二倍角降幂公式，化简函数的解析式，用最小正周期公式求出最小正周期.
【详解】
，最小正周期，故选B.
【点睛】
本题考查了二倍角的降幂公式、最小正周期公式，考查了运算能力，逆用公式的能力.
变式5-3．若，则
A．B．C．D．0
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用降幂公式和诱导公式化简求值.
【详解】
.
故答案为C.
【点睛】
（1）本题主要考查降幂公式和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)降幂公式：，这两个公式要记准，不要记错了.
变式5-4．已知，则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用半角公式和诱导公式进行求解.
【详解】
∵，∴．
故选：B．
题型战法六 辅助角公式的应用
典例6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】
化简，再根据三角函数图象平移的方法求解即可
【详解】
，因为向左平移个单位长度得到
故选：C
变式6-1．已知，则 等于（ ）
A．－B．± C．－1D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两角差的余弦公式以及辅助角公式即可求解.
【详解】
，
故选：D
变式6-2．函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和2B．和C．和D．和2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据辅助角公式，可得，再根据正弦函数的性质，即可求出结果.
【详解】
因为，
所以函数的最小正周期为；
又，所以
所以函数的最大值为.
故选：C.
变式6-3．函数在上的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
应用辅助角公式可得，应用余弦函数的性质求减区间，结合题设确定正确选项即可.
【详解】
由题设，，
令，可得，，
∴在上的单调递减区间是.
故选：C.
变式6-4．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据辅助角公式化简函数解析式，再由整体法代入计算函数的对称轴，从而得，进而可求解.
【详解】
因为，又直线是函数的对称轴，所以，．又，所以，所以
故选：B．
题型战法七 化简求值
典例7．化简：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由倍角公式结合诱导公式求解即可.
【详解】
故选：A
变式7-1．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用诱导公式将角变小，再利用倍角公式化简即可.
【详解】
故选：D.
变式7-2．化简 的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用给定角的范围确定出与的正负，再利用二倍角的余弦公式化简变形即得.
【详解】
因，则，且，即有，
所以.
故选：A
变式7-3．化简（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式，代入题干中的分式，并在分子分母中提取公式，进行化简可得出结果．
【详解】
.
故选B．
变式7-4．化简所得的结果是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
先切化弦并整理得，再结合展开整理即可得答案.
【详解】
解：
.
故选：B
【点睛】
本题考查利用三角恒等变换求函数值，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于先根据切化弦的方法整理得，再根据化简整理即可求解.
题型战法八 三角恒等变换与三角函数的综合应用
典例8．设函数
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数在上的最大值与最小值及相应的x的值.
【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为，；
(2)时函数取得最小值，时函数取得最大值；
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
(1)
解：因为
，
即，所以函数的最小正周期，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，；
(2)
解：因为，所以，
所以当，即时函数取得最小值，即，
当，即时函数取得最大值，即；
变式8-1．已知函数.
(1)求求函数的最小正周期及对称中心.
(2)求函数在值域.
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由三角恒等变换可得正弦型三角函数，据此求周期、对称中心即可；
（2）利用整体代换法求正弦函数的值域即可.
(1)
所以函数的最小正周期为
，令，
解得
∴的对称中心是
(2)
令由，则，
则，
所以的值域是.
变式8-2．设函数.
(1)求函数的最小正周期和最大值，并指出取得最大值时的值；
(2)将函数图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图像，写出表达式和单调递增区间.
【答案】(1)最小正周期为，最大值为，
(2)，单调增区间为
【解析】
【分析】
(1)将函数化为的形式，再求函数的最小正周期和最大值，及此时取得最大值时的值即可；
(2)根据图象变换求出的解析式，再求其单调递增区间即可.
(1)
所以周期；
当，即时，.
(2)
由题意知，，
由，得，
所以函数的单调增区间为.
变式8-3．已知函数．
(1)当时，求的取值范围；
(2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先利用三角恒等变换公式化简函数解析式，再根据的取值范围，求出的取值范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；
（2）依题意可得，再由（1）及正弦函数的性质计算可得；
(1)
解：因为
．
即
∵，∴，
∴，
∴，
故的取值范围为．
(2)
解：∵，
∴．
由（1）知，
∵有两个不同的实数根，
因为在上单调递增，在上单调递减，且当时，
由正弦函数图象可知，解得，
故实数的取值范围是．
变式8-4．已知函数的图象的相邻两个对称中心的距离为．
(1)求在上的单调减区间；
(2)函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
小问1：利用三角恒等变换，把整理成正弦型函数，然后利用整体代入法求出单调递减区间即可解决；
小问2：利用在定区间的值域，结合图像，即可确定的取值范围.
(1)
相邻两个对称中心的距离为，，.
当时，，
即的单调减区间为
则在上的单调减区间为.
(2)
当时,.
此时值域为，，即.