初中数学苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性同步练习题

这是一份初中数学苏科版八年级上册2.4 线段、角的轴对称性同步练习题，文件包含专题06线段的垂直平分线与角平分线综合问题之五大考点原卷版docx、专题06线段的垂直平分线与角平分线综合问题之五大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc28490" 【典型例题】 PAGEREF _Tc28490 \h 1
\l "_Tc31993" 【考点一 利用线段垂直平分线的性质求解】 PAGEREF _Tc31993 \h 1
\l "_Tc22712" 【考点二 线段垂直平分线的判定】 PAGEREF _Tc22712 \h 4
\l "_Tc23747" 【考点三 利用角平分线的性质求解】 PAGEREF _Tc23747 \h 8
\l "_Tc22974" 【考点四 角平分线的判定】 PAGEREF _Tc22974 \h 11
\l "_Tc6827" 【考点五 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 PAGEREF _Tc6827 \h 14
\l "_Tc30392" 【过关检测】 PAGEREF _Tc30392 \h 20
【典型例题】
【考点一 利用线段垂直平分线的性质求解】
例题：（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，P在内，点C、D分别是点P关于的对称点．如果的周长为12，则的长为（ ）

A．6B．12C．15D．18
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质可知，结合的周长为12，利用等量代换可知．
【详解】解：∵点C是点P关于的对称点，
∴垂直平分，
∴．
同理．
∵，
∴，
∵的周长为12，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查轴对称的基本性质．注意：对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，对应边相等．
【变式训练】
1．（2023春·山东枣庄·七年级校联考阶段练习）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】根据三角形边垂直平分线的性质求解即可．线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等
【详解】∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形边的垂直平分线，解决问题的关键是熟练掌握三角形边的垂直平分线的性质．
2．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点O，连接．若，则 ．

【答案】/72度
【分析】由线段垂直平分线的性质可得，由角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可求得的度数，进而可求解．
【详解】解：垂直平分，
，
，
平分，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解的度数是解题的关键．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与相交于点．
(1)若，则的周长为 ______；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据三角形内角和定理求出，根据对顶角相等求出，根据等腰三角形的性质即可得到答案.
【详解】（1）∵，分别垂直平分边和边，
∴，，
∴的周长，
∴的周长，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
【点睛】此题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【考点二 线段垂直平分线的判定】
例题：（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，为三角形的角平分线，于点E，于点F，连接交于点O．

(1)若，，求的度数；
(2)写出与的关系，并说明理由；
【答案】(1)
(2)，平分
【分析】（1）根据三角形内角和可得，再利用内角和即可得出；
（2）由角平分线的意义及两个垂直可证明，从而有，由线段垂直平分线的判定知，，平分．
【详解】（1）解：∵
∵
∵
∵
∴
（2）解：，平分；
理由如下：
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
即，平分．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，等腰三角形的性质，三角形内角和，角平分线的性质．找到和，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，完成证明是关键．
【变式训练】
1．（2023秋·广西河池·八年级统考期末）如图，在中，边，的垂直平分线交于点．
(1)求证：；
(2)求证：点在线段的垂直平分线上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的性质直接可得到答案；
（2）根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵边、的垂直平分线交于点，
∴，，
∴；
（2）证明：∵边，的垂直平分线交于点，
∴，，
∴，
点在的垂直平分线上．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点是等边外一点，，，点，分别在，上，连接、、、．
(1)求证：是的垂直平分线；
(2)若平分，，求的周长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）根据到线段两端距离相等的点在垂直平分线上即可证明；
（2）如图，过D作于M，结合已知易证即，同理可得，易证得，同理可得，然后转换求周长即可．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
∴A在的垂直平分线上，
又，
∴D在的垂直平分线上，
是的垂直平分线；
（2）如图，过D作于M，
，
又是等边三角形，
同理可得
平分，
平分，
在与中
同理可得
.
【点睛】本题考查了垂直平分线的判定，角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质；解题的关键是通过相关性质构造线段相等、进行转换．
【考点三 利用角平分线的性质求解】
例题：（2023春·山东威海·七年级统考期末）如图，是中的平分线，于点E，，则（ ）

A．14B．26C．56D．28
【答案】D
【分析】如图：作交于点F，根据角平分线的性质可得，再由求解即可．
【详解】解：如图，作交于点F，

∵平分，，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式等知识点，根据角平分线的性质定理得到是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点D．三角形三条中线的交点
【答案】B
【分析】根据题意，凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，据此即可求解．
【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等，
∴凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
2．（2023春·山西运城·七年级统考期末）如图，BD平分，P是上一点，过点P作于点Q，，O是上任意一点，连接，则的最小值为 ．

【答案】5
【分析】根据垂线段最短确定点O的位置，再根据角平分线的性质即可得到最短距离．
【详解】解： O是上任意一点，
当时，的值最小，
又BD平分，P是上一点，，
的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，解题关键是找到最短距离的位置．
3．（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，在四边形中，，，的平分线与的平分线相交于点，且点在线段上，．

(1)求的度数；
(2)试说明．
【答案】(1)
(2)详见解析
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线的定义，即可作答；
（2）过点作于点，再根据角平分线的性质定理即可证明．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
（2）如图．过点作于点．

∵平分，，，
∴．
∵平分，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质定理的等知识，掌握角平分线的性质定理，是解答本题的关键．
【考点四 角平分线的判定】
例题：（2023·全国·八年级假期作业）如图，的平分线与的外角平分线相交于点，连接．求证：是的外角平分线．
【答案】证明见解析
【分析】作交的延长线于，于，于，根据角平分线的性质得到，根据角平分线的判定定理证明结论．
【详解】证明：作交的延长线于，于，于，
平分、平分，
，，
，
又，，
∴是的外角平分线．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·广东惠州·校联考二模）如图，，，于．

(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）过C点作，交的延长线于点F．由证明，可得，结论得证；
（2）证明，可得，可求出．
【详解】（1）证明：过C点作，交的延长线于点F．

∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：由（1）可得，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，于点E，于点F，若．
(1)求证：平分；
(2)请猜想与之间的数量关系，并给予证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据证明，得到，再根据角平分线的判定定理，求证即可；
（2）通过证明，得到，利用线段之间的关系，求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴平分．
（2）解：，证明如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
【考点五 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】
例题：（2023秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在中，平分，，于点E，点F在上，．
(1)求证：．
(2)连接，求证垂直平分．
(3)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用角平分线的性质可得，再利用“”证明，即可证明；
（2）利用“”证明，可得，所以点A在的垂直平分线上，根据，可得点D在的垂直平分线上，进而可以解决问题；
（3）设，则，即可建立方程求解．
【详解】（1）证明：∵于点E，
∴，
又平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）证明：连接，如图
在和中，
，
∴，
∴
∴点A在的垂直平分线上，
∵，
∴点D在的垂直平分线上，
∴垂直平分
（3）解：设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得：
∴
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题关键是在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定．
【变式训练】
1．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，是的角平分线，于点E，于点F，连接．
(1)求证：点D在的垂直平分线上；
(2)若，，则的长为___________
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据角平分线的性质定理直接得出，则问题得解；
（2）先得出，，结合，可得，问题随之得解．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，，
∴．
∴点D在的垂直平分线上．
（2）∵，，
∴，，
∵在（1）中有：，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即的长为3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质定理直接得出是解答本题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．
(1)求证：为的角平分线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，再证明，可得，再证明，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质可得，进一步可得，从而可得．
【详解】（1）连接，，如图所示：

为的垂直平分线，
，
，，
，
在和中，
，
，
在和中，
，
，
为的角平分线；
（2），
，
又，
，即，
，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定及线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
3．（2023春·全国·八年级开学考试）如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．
【答案】(1)见解析
(2)MC=1.5
【分析】（1）由∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，得∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，再根据CE平分∠ACF，得∠ACF=2∠ECF，则∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，从而证明结论；
（2）连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，利用HL证明Rt△QNA≌Rt△QMC，得NA=MC，再证明Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），得NB=MB，则BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，从而得出答案．
【详解】（1）证明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，
∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠ECF，
∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，
∵QG垂直平分AC，
∴AQ=CQ，
∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，
∴QM=QN，
∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），
∴NA=MC，
∵QM=QN，BQ=BQ，
∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），
∴NB=MB，
∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，
∴7=4+2MC，
∴MC=1.5．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·八年级课时练习）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先利用三角形内角和定理得到，然后利用线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，，然后利用等量代换可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
，，
，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作直线交于点，交于点，过点作于，有下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，其中正确的结论有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和与角平分线的性质可得，可判断①和②；过点作于点，过点作于点，连接，根据角平分线的性质可知，可判断③；将的面积转化成的面积与的面积之和，可判断④．
【详解】解：在中，，
∵，
∴，
∵和的平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴结论①不正确，结论②正确；
过点作于点，过点作于点，连接，
∵平分，OC平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴结论③正确，
∵，，
∴，
设，，
∴，
∴结论④正确，
∴正确的结论有：②③④，
故选：C．

【点睛】本题考查角平分线的性质和三角形的内角和，熟练掌握角平分线的性质并且灵活运用是解题的关键．
二、填空题
3．（2023秋·陕西西安·八年级陕西师大附中校考开学考试）如图，中，，，的平分线交于点，，交的延长线于点，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】延长、相交于点，由角平分线的性质可得，利用证明，得到，根据同角的余角相等得到，通过证明，得到，从而即可得到答案．
【详解】解：如图，延长、相交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，添加适当的辅助线，是解题的关键．
4．（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的有 ．（填序号）

【答案】①②③④
【分析】①利用角平分线的性质以及三角形外角的性质，求解即可；
②③延长与交于点，利用全等三角形的判定与性质求解即可；
④在上截取，利用垂直平分线的性质以及全等三角形的性质，求解即可．
【详解】解：设，，

∵平分，平分，
∴，
由三角形外角的性质可得：
∴①正确；
延长与交于点，如下图：
∵
∴
∵平分
∴
又∵，
∴
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
∴②正确；
同理可得：
∴，③正确；
在上截取，则是的垂直平分线，如下图：

∴
∵
∴，
又∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴④正确
故答案为：①②③④
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，作出辅助线，构造出全等三角形．
三、解答题
5．（2023秋·八年级单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，与相交于点，的周长为．请你解答下列问题：
(1)求的长；
(2)试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)点在边的垂直平分线上，理由见解析
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论；
（2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论．
【详解】（1）垂直平分，
，
同理，
；
（2）点在边的垂直平分线上，
理由：连接，，，
与是，的垂直平分线，
，，
，
点在边的垂直平分线上．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6．（2023春·山东威海·七年级统考期末）如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质得到，，再利用定理证明，利用全等三角形的性质可得结论；
（2）证明得到，进而可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
∵的平分线与的垂直平分线相交于点，，，
∴，，，
在和，
，
∴，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，利用全等三角形的性质证明边相等是解答的关键．
7．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，平分，平分，于点．

(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质可得，，根据三角形内角和定理求解即可；
（2）根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在中，．
（2）解：过点作于点，

∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
8．（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图，，点为的中点，平分，过点作，垂足为，连结、．
(1)求证：是的平分线．
(2)求证：线段垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先利用证出，得到，再利用证出，得到，即可证明结论；
（2）由（1）知，得到，，再利用证出，得到，，即可证明结论．
【详解】（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）如图，由（1）知，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴线段垂直平分．
【点睛】本题考查了全等三角形的综合，熟练掌握角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定是解题的关键．
9．（2023秋·江西赣州·八年级统考期末）已知在中，和的平分线交于点O，．
(1)如图①，若，求的度数．

图①
(2)如图②，连接，求证：平分

图②
(3)如图③，若射线与的外角平分线交于点P，求证：．

图③
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用三角形的内角和先求出与的和，再根据角平分的定义求出与的和即可解答；
（2）根据角平分线的性质定理，想到过点作，，，垂足分别为，，，证出即可解答；
（3）根据角平分的定义求出即可解答．
【详解】（1）解：，
，
和的平分线交于点，
，，
，
；
（2）证明：过点作，，，垂足分别为，，，

和的平分线交于点，，，，
，，
，
平分；
（3）证明：平分，平分，
，，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义和角平分线的性质定理是解题的关键．
10．（2023春·上海浦东新·七年级校考期末）如图，是的角平分线，为上任意一点，于，于．

(1)垂线段、是否相等？请说明理由；
(2)如图，在中，是的角平分线，于，于，若，，求的值；
(3)如图，在中，是的外角平分线，交的延长于点，当，时，求与的数量关系．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）根据角平分线的定义可知，再证，由全等三角形的性质即可；
（）由（）得：，利用等面积即可求出，则可求出；
（）同（）理可以求出，则．
【详解】（1）垂线段、相等，理由：
∵是的角平分线，
∴，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴由（）得：，
设点到得距离为，
∴，
则有，
（3）如图，过交的延长线于，交的延长线于，过作于 ，

由（）得：
∴，
则有，即，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．