初中数学苏科版八年级上册6.4 用一次函数解决问题精练

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc14856" 【典型例题】 PAGEREF _Tc14856 \h 1
\l "_Tc4940" 【考点一 一次函数的应用——分配方案问题】 PAGEREF _Tc4940 \h 1
\l "_Tc3765" 【考点二 一次函数的应用——最大利润问题】 PAGEREF _Tc3765 \h 3
\l "_Tc14864" 【考点三 一次函数的应用——行程问题】 PAGEREF _Tc14864 \h 7
\l "_Tc1451" 【考点四 一次函数的应用——几何问题】 PAGEREF _Tc1451 \h 12
\l "_Tc1671" 【过关检测】 PAGEREF _Tc1671 \h 18
【典型例题】
【考点一 一次函数的应用——分配方案问题】
例题：（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考期中）合肥某校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，野生动物园的门票价格为教师票每张36元，学生票半价，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二，按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．假如学生人数为x（人），师生门票总金额为y（元）．
(1)分别写出两种优惠方案中y与x的函数表达式；
(2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少；
(3)若选择最优惠的方案后，共付款288元，则学生有多少人？
【变式训练】
1．（2023上·广东深圳·八年级深圳中学校考期中）“双减”政策受到各地教育部门积极响应，某校为加强学生体育溵炼，决定购买羽毛球和羽毛球拍．甲、乙两家体育用品商店出售相同的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价4元，羽毛球拍每副定价50元．现两家商店都搞促销活动：甲店每买一副球拍赠2个羽毛球；乙店按九折优惠．某班级需购球拍4副，羽毛球个．
(1)若在甲店购买付款（元），在乙店购买付款（元），分别写出、与的函数关系式；
(2)当时，该班在哪个商店购买更省钱？
2．（2023上·陕西榆林·八年级校联考期中）毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到某茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式：
设该公司此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元．
(1)请直接写出，关于的函数表达式；
(2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量．
【考点二 一次函数的应用——最大利润问题】
例题：（2023春·黑龙江绥化·九年级统考期末）某学生用品商店，计划购进A、B两种背包共80件进行销售，购货资金不少于2090元，但不超过2096元，两种背包的成本和售价如下表：
假设所购两种背包可全部售出，请回答下列问题：
(1)该商店对这两种背包有哪几种进货方案？
(2)该商店如何进货获得利润最大？
(3)根据市场调查，每件B种背包的市价不会改变，每件A种背包的售价将会提高a 元（a>0），该商店又将如何进货获得的利润最大？
【变式训练】
1．（2023上·广东深圳·九年级南山实验教育麒麟中学校考阶段练习）春节将至，某商店预测A、B两种烟花应该会受欢迎，该商店得知A种烟花的进价比B种烟花贵15元，但该店依然用3100元购进了60捆A种烟花和50捆B种烟花．
(1)求A、B两种烟花的进价分别是多少元？
(2)如商店预料的一样，两种烟花大卖，因此该商店又购进了A、B两种烟花共200捆，已知A种烟花的数量不少于B种烟花的3倍．则本次购买两种烟花的最低花费是多少元？
2．（2023上·安徽淮北·八年级校联考期中）在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材1200吨和乙种钢材900吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有A、B两种不同规格的车厢共40节，使用A型车厢每节费用为7000元，使用B型车厢每节费用8000元．
(1)设运送这批钢材的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出用车厢节数x表示总费用y的式子．
(2)如果每节A型车厢最多可装甲种钢材35吨和乙种钢材15吨，每节B型车厢最多可装甲种钢材25吨和乙种钢材35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？
(3)在（2）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？
【考点三 一次函数的应用——行程问题】
例题：（2023秋·山东济南·八年级山东省济南稼轩学校校考期中）在、两地之间有服务区，甲车由地驶往服务区，乙车由地驶往地，两车同时出发，匀速行驶，如图是甲、乙两车分别距离服务区的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题：

(1)甲车的速度是________千米/时；
(2)求图象中线段的函数解析式；
(3)当两车距服务区的路程之和是千米时，直接写出此时乙车的行驶时间．
【变式训练】
1．（2023上·广东深圳·八年级校联考期中）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米．两车行驶的时间为小时，、关于的函数图象如图所示：

(1)根据图象，直接写出，关于的函数关系式；
(2)当为何值时，两车相遇？
(3)当为何值时，两车相距280千米？
2．（2023上·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）甲、乙两个探测气球分别从海拔和处同时出发，匀速上升．如图为甲、乙两个探测气球所在位置的海拔与气球上升时间的函数图象．

(1)求两个气球上升过程中与函数解析式；
(2)当这两个气球的海拔高度相差时，求上升的时间．
【考点四 一次函数的应用——几何问题】
例题：（2023秋·安徽淮北·八年级校联考阶段练习）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以的速度沿着B→C→D→A的方向移动到点A，设移动过程中三角形的面积为S（），移动时间为t（s）．

(1)写出S与t之间的函数关系式；
(2)①当时，求三角形的面积；②当三角形的面积为时，求t的值．
【变式训练】
1．（2023下·吉林长春·八年级校考期中）如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m．

(1)求点A、B的坐标；
(2)求的面积；
(3)当时，求的面积；
(4)当时，求m的值．
2．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为，连接，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．
(1)求线段的函数解析式；
(2)连接，求的面积S关于t的函数解析式；
(3)点P在运动过程中，是否存在某个位置使得为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期中）如图，反映了某产品的销售收入（单位：元）与销售量（单位：t）之间的关系，反映了该产品的销售成本（单位：元）与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始赢利．下列说法不正确的是（ ）

A．当销售量为0t时，销售成本为2000元B．当销售量小于4t时，没有赢利
C．当销售量为时，赢利1000元D．当赢利为4000元，销售量为
2．（2023上·安徽合肥·八年级校考阶段练习）甲、乙两位运动员在一段2000米长的笔直公路上进行跑步比赛，比赛开始时甲在起点，乙在甲的前面200米，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是8米/秒，乙的速度是6米/秒，先到终点者在终点原地等待．设甲、乙两人之间的距离是y米，比赛时间是x秒，当两人都到达终点计时结束，整个过程中y与x之间的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2023下·山东青岛·七年级统考期中）A骑摩托车从甲地去乙地，开汽车从乙地去甲地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两地间的距离为与甲行驶的时间为之间的关系如图所示．

（1）甲、乙两地之间的路程为 千米；
（2）甲出发 小时后甲、乙两地相距千米．
4．（2023上·湖南长沙·九年级校联考阶段练习）若直线：与轴、轴分别交于点和点，直线：与轴、轴分别交于点和点，线段与的中点分别是，，点为轴上一动点．（1）点的坐标为 ；（2）当的值最小时，点的坐标为 ．
三、解答题
5．（2023上·贵州贵阳·八年级校考期中）某商店为促销进行优惠活动，按原价应付金额不超过200元的一律9折优惠，超过200元的，其中200元按9折算，超过200元的部分按8折算，设某买家在该店购物按原价应付x元，优惠后实付y元．
(1)当时，试写出y与x之间的函数表达式（如果是一次函数，请写成的形式）；
(2)该买家挑选的商品按原价应付300元，优惠后实付多少元？
6．（2023下·湖南永州·八年级校考期中）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙、用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的长方形，设边的长为x米，边的长为y米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)若边的长为5米时，求长方形的边的长．
7．（2023上·广东茂名·八年级校联考期中）某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元．
(1)请分别写出，与x之间的关系式： ， ；
(2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠．
8．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）陕西洛川盛产苹果，政府要将其发展成“帮助群众脱贫致富、推动乡村振兴”的特色产业．王师傅在政府的扶持下种植了A、B两个品种的苹果共50亩，两种苹果的成本和售价如下表所示：
设种植A品种苹果x亩，若50亩地全部种植两种苹果共获得利润y万元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若A品种苹果的种植亩数不少于B品种苹果种植亩数的1.5倍，则种植A品种苹果多少亩时利润最大?并求出最大利润．
9．（2023上·安徽合肥·八年级期中）为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶、两贫困村的计划．现决定从某地运送箱鱼苗到、两村养殖，若用大小货车共辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为箱辆和箱辆，其运往、两村的运费如下表：
(1)求这辆车中大小货车各多少辆？
(2)现安排其中辆货车前往村，其余货车前往村，设前往村的大货车为辆，前往、两村总费用为元，试求出与的函数解析式．
(3)在(2)的条件下，若运往村鱼苗不少于箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
10．（2023上·广东深圳·八年级深圳市海湾中学校考期中）我市某校开展了“阳光体育、强身健体”系列活动，小明同学积极参与，他每周末和哥哥一起赛跑．已知他们所跑的路程与时间之间的函数关系如图所示，哥哥先让小明跑，然后自己才开始跑．

(1)反映小明所跑路程与时间之间关系的是____（填写“”或“”），哥哥的速度是_____．
(2)求出直线的函数解析式．
(3)当时，哥哥在小明的前面？
(4)当时，两人相距？
11．（2023下·河南安阳·八年级校考期末）某商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电脑的利润为350元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．设购进A掀电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y与x的关系式；
②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？
(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m元，且限定商店最多购进A型电脑70台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
12．（2023上·安徽合肥·八年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数，直线（b是常数）与x轴交于点B且经过点C．
(1)求的长；
(2)若直线轴且与直线，分别交于点和点，，求点的坐标；
(3)若点P是直线上一点，是否存在点P使得三角形的面积为9？若存在，求出点P的坐标，说明理由．
13．（2023上·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）小聪和小明沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小聪骑共享单车，小明步行．当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆，图中折线O—A—B—C和线段分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：

(1)求小聪从图书馆返回学校时离学校的路程（千米）与（分钟）之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
(2)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米?
(3)若设两人在路上相距不超过千米时称为“可控距离”，则小聪和小明“可控距离”的时间共有_______分钟．
14．（2023上·广东深圳·八年级统考期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)将直线绕点顺时针旋转交轴于点，求点的坐标；
(3)如图2，在线段上有一点，将沿直线折叠后，点恰好落在轴上的点处，求点的坐标．
会员卡费用（元/张）
茶叶价格（元/kg）
方式一：金卡会员
500
1600
方式二：银卡会员
200
1800
种 类
成本（元/件）
售价（元/件）
A
25
30
B
28
35
品种
成本（万元/亩）
售价（万元/亩）
A
1.1
2.2
B
1.3
2.7
目的地车型
村(元/辆)
村(元/辆)
大货车
小货车