还剩50页未读，
继续阅读
所属成套资源：全套华东师大版初中数学九年级上册素养测试+综合测试课件
成套系列资料，整套一键下载
华东师大版初中数学九年级上册期末素养综合测试卷(一)课件
展开
这是一份华东师大版初中数学九年级上册期末素养综合测试卷(一)课件，共58页。
期末素养综合测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1. (2024湖南常德澧县期末,3,★☆☆)要使 有意义,则x的取值范围是 对应目标编号M9121001 ( )A. x≥2 B. x<2 C. x≠-2 D. x>2
解析 D 由题意得x-2>0,解得x>2.
2. (2024安徽亳州利辛期末,2,★☆☆)在Rt△ABC中,∠C=90°,2cs A=1,则∠B的 度数为 ( )A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
3. (2023湖南永州中考,7,★☆☆)某市2020年人均可支配收入为2.36万元,2022年 达到2.7万元,若2020年至2022年期间每年人均可支配收入的增长率都为x,则下 面所列方程正确的是 对应目标编号M9122001 ( )A. 2.7(1+x)2=2.36 B. 2.36(1+x)2=2.7C. 2.7(1-x)2=2.36 D. 2.36(1-x)2=2.7
解析 B 依题意可知2022年人均可支配收入=2020年人均可支配收入×(1+每 年人均可支配收入的增长率)2,故可得关于x的一元二次方程为2.36(1+x)2=2.7.
4. (2024湖北武汉洪山南片区教联体月考,7,★☆☆)如图,将两个三角板(一个含45°角,一个含30°角)的斜边AB重合,点E是AB的中点,连结CE,DE,已知CE=2,则AD 的长为 ( ) A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5
解析 C ∵点E是AB的中点,∠ACB=90°,CE=2,∴AE=CE=2.∵∠ADB=90°,点E是AB的中点,∴ED=AE=2.∵∠EAD=60°,∴△AED是等边三角形.∴AD=AE=2.
5. (2024重庆北碚期末,6,★☆☆)估计 × 的值应在 对应目标编号M9121003 ( )A. 6和7之间 B. 7和8之间C. 8和9之间 D. 9和10之间
6. (2023内蒙古赤峰中考,11,★☆☆)某校在劳动课上,设置了植树、种花、除草 三个劳动项目.九年级一班和九年级二班都通过抽签的方式从这三个项目中随 机抽取一个项目,则这两个班级恰好都抽到种花的概率是 对应目标编号M9125003 ( )A. B. C. D.
解析 D 把植树、种花、除草三个劳动项目分别记为A、B、C,依题意画树 状图如下, 由图可知共有9种等可能的结果,其中九年级一班和九年级二班恰好都抽到种花 的结果有1种,故这两个班级恰好都抽到种花的概率是 .
7. (2024安徽阜阳颍州期末,8,★☆☆)如图,已知∠ABC=60°,点P在边AB上,BP=10,点E,F在边BC上,PE=PF.若BE=2,则EF的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
解析 A 如图,过点P作PH⊥EF于点H,∵PE=PF,∴EH=FH,∵∠ABC=60°,∴∠BPH=30°,∵BP=10,∴BH= BP=5,∵BE=2,∴EH=BH-BE=3,∴EF=2EH=6.
8. (2024湖北武汉青山武钢实验学校模拟,7,★☆☆)如图所示的是某厂家新开发 的一款摩托车,它的大灯射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°、10°,该大灯照亮地面的宽度BC=1.4米,则该大灯距地面的高度约为 参考数据: sin 8°≈ ,tan 8°≈ ,sin 10°≈ ,tan 10°≈ 对应目标编号M9124006 ( ) A. 0.5米 B. 1米 C. 1.5米 D. 2米
解析 B 如图,过点A作AD⊥MN,垂足为D,设DC=x米,∵BC=1.4米,∴DB=DC+BC=(x+1.4)米,在Rt△ADC中,∠ACD=10°,∴AD=CD·tan 10°≈ x(米),在Rt△ADB中,∠ABD=8°,∴AD=BD·tan 8°≈ (x+1.4)米,∴ x= (x+1.4),解得x=5.6,∴AD= ×5.6=1(米),∴该大灯距地面的高度约为1米.
9. (2024山东济宁邹城十中月考改编,10,★★☆)已知一元二次方程ax2+bx+c=0, 下列说法:①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0;②若方程两根分别为-1和2,则2a+c=0;③若b =2a+3c,则方程有两个不相等的实数根.其中正确的有 ( )A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
解析 D ①若a+b+c=0,则方程ax2+bx+c=0有一根为1,∵a≠0,∴b2-4ac≥0,正确;②由根与系数的关系可知x1·x2= =-2,整理得2a+c=0,正确;③由b=2a+3c,得b2-4ac=(2a+3c)2-4ac=4(a+c)2+5c2,∵a≠0,∴4(a+c)2+5c2>0,故方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,正确.综上所述,正确的有①②③,共3 个,故选D.
10. (2023江苏徐州中考,8,★★☆)如图,在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC=2,D为AB的中点.若点E在AC边上,且 = ,则AE的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 1或 D. 1或2
解析 D 由题意可知AC=2BC=4,AB=2 ,∠C=60°,∵D为AB的中点,∴AD= ,∵ = ,∴DE=1,分情况求解如下:(1)如图1,当∠ADE=90°时,∵∠ADE=∠ABC, = ,∴△ADE∽△ABC,∴ = = ,∴AE=2.
(2)如图2,当∠ADE≠90°时,取AC的中点H,连结DH,∵D为AB的中点,∴DH∥BC,DH= BC=1,∴∠AHD=∠C=60°,DH=DE,∴∠DEH=60°,∴∠ADE=30°=∠A,∴AE=DE=1.综上所述,AE的长为1或2,故选D.
二、填空题(共10小题,每小题3分,计30分)
11. (2024湖南衡阳城区期末,13,★☆☆)最简二次根式2 与3 是同类二次根式,则x的值是 .
12. (2024河南周口沈丘期末,20,★☆☆)若∠A为锐角,化简 = .
13. (2024四川成都锦江嘉祥外国语学校期末,11,★☆☆)已知 +2是方程x2-4x+c=0的一根,则c= .
解析 将x= +2代入方程得( +2)2-4×( +2)+c=0,解得c=-1.
14. (2023江苏盐城大丰期中,10,★☆☆)如图所示的是三个可以自由转动的转盘 (转盘均被等分),转动转盘,当转盘停止转动时,根据“指针落在阴影区域内”的 可能性的大小,将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为 . 对应目标编号M9125003
解析 转盘①中,指针落在阴影区域内的可能性为 ;转盘②中,指针落在阴影区域内的可能性为 = ;转盘③中,指针落在阴影区域内的可能性为 = .故按事件发生的可能性从大到小排列为②①③.
15. (★☆☆)如图所示的是台州市地图的一部分,分别以正东、正北方向为x轴、 y轴的正方向建立平面直角坐标系,规定一个单位长度表示1 km,甲、乙两人对 着地图描述路桥区A处的位置如下: 则椒江区B处的坐标是 .
解析 由题意建立如图所示的平面直角坐标系,连结AB,作BC⊥x轴于C点,以点 B为顶点,在BC的右侧,作∠DBC=30°,且BD边与x轴交于点D.由题意得OA=2 km,AB=16 km,∠ABC=30°,∴∠BAC=60°,∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°,∴∠ABD=∠BAC=60°,∴△ABD为等边三角形,∴AD=BD=AB=16 km,
16. (2023江苏无锡中考,16,★☆☆)《九章算术》中提出了 如下问题:今有户不知高广,竿不知长短.横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出. 问户高、广、邪各几何?这段话的意思是:今有门不知其高宽,有竿不知其长短. 横放,竿比门宽长出4尺,竖放,竿比门高长出2尺,斜放,竿与门对角线恰好相等.问 门高、宽、对角线的长各是多少?则该问题中的门高是 尺. 对应目标编号M9122005
解析 设竿长为x尺,则门宽为(x-4)尺,门高为(x-2)尺,门对角线长为x尺,根据勾 股定理可得x2=(x-4)2+(x-2)2,整理得x2-12x+20=0,解得x=2(舍去)或x=10,则门高是 10-2=8(尺).
17. (2024河南洛阳孟津期中,14,★☆☆)如图,已知点D为△ABC中AC边的中点, AE∥BC,EF交AB于点G,交BC的延长线于点F,若 =3,BC=8,则AE的长为 .
解析 ∵AE∥BC,∴△AEG∽△BFG,△AED∽△CFD,∵ =3,点D为AC的中点,∴ = = , = =1,∴AE=CF,∵BC=8,∴ = ,解得AE=4.
18. (2024山东济南历下期末,13,★☆☆)有6个大小相同的小正方形,恰好按如图 所示方式放置在△ABC中,则tan B的值为 .
解析 如图,依题意得FH∥BC,∴∠B=∠EFH,设EH=1,则FH=2,∴tan B=tan∠EFH= = .
19. (2024吉林长春宽城期末,16,★☆☆)如图,已知在四边形ABCD中,AC⊥BD, AC=10,BD=12,点E、F分别是边AD、BC的中点,连结EF,则EF的长是 .
解析 如图,取AB的中点G,连结EG、FG,则EG∥BD,且EG= BD= ×12=6,FG∥AC,且FG= AC= ×10=5.∵AC⊥BD,∴EG⊥FG,∴EF= = = .
方法解读 在三角形中,若给出一边的中点,常作出三角形的中位线.具体方法有:(1)先 取另一边的中点,然后连结两个中点;(2)过已知边的中点作另一边的平行线.
20. (2024湖北黄冈浠水六神中学一模,15,★★☆)如图, 在平面直角坐标系中,正方形A1BB1C1,正方形A2B1B2C2,正方形A3B2B3C3关于原点 O位似,其中点B,B1,B2,B3都在x轴上,点C1在A2B1上,点C2在A3B2上.依此方式,继续 作正方形A4B3B4C4,若点A1的坐标为(1,1),则点C4的坐标为 .
解析 ∵点A1的坐标为(1,1),∴OB=1,A1B=1,∵四边形A1BB1C1是正方形,∴OB1= 2,B1C1=1,∴点C1的坐标为(2,1).∵正方形A1BB1C1与正方形A2B1B2C2关于原点O位 似,∴ = = ,∴正方形A1BB1C1与正方形A2B1B2C2的相似比为1∶2,同理可得正方形A1BB1C1与正方形A3B2B3C3的相似比为1∶4,∴正方形A1BB1C1与正方 形A4B3B4C4的相似比为1∶8,∴点C4的坐标为(2×8,1×8),即C4(16,8).
三、解答题(共8小题,计60分)
21. (2024海南海口期末,17,★☆☆)(6分)计算:(1) × .(2) -3 .(3)(sin 30°+cs 30°)2-tan 60°.解析 (1)原式= = = . (2分)(2)原式= × -3 =2 -3 =- . (4分)(3)原式= - (5分)= - = -
22. (2023广东广州越秀期末,22,★☆☆)(6分)随着“共享经 济”的概念迅速普及,共享汽车也进入了人们的视野,某共享汽车租赁公司年初 在某地投放了一批共享汽车.据统计,三月份的全天包车数为36次,在租金不变的 基础上,四、五月的全天包车数持续走高,五月份的全天包车数达到81次.(1)若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变,求全天包车数的月平 均增长率.(2)一段时间后,当全天包车的租金为每辆120元时,每月的全天包车数为60次,该 公司决定降低租金,经调查发现,每辆租金每降价1元,平均每月全天包车数增加2 次,尽可能地减少租车次数.当每辆租金降低多少元时,公司每月获得的租金总额 为8 800元?
解析 (1)设全天包车数的月平均增长率为x,根据题意得36(1+x)2=81, (2分)解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不符合题意,舍去),故全天包车数的月平均增长率为50%. (3分)(2)当每辆租金降价y元时,全天包车的租金为每辆(120-y)元,每月的全天包车数 为(60+2y)次,根据题意得(120-y)(60+2y)=8 800, (5分)整理得y2-90y+800=0,解得y1=10,y2=80,∵要尽可能地减少租车次数,∴y=10,故当 每辆租金降价10元时,公司每月获得的租金总额为8 800元. (6分)
23. (2023河北邯郸二十三中期末,21,★☆☆)(7分)如图,在平面直角坐标系中,已 知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,-4).(1)请在图中画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1.(2)以点O为位似中心,将△ABC各边缩小为原来的 ,得到△A2B2C2,请在图中y轴的右侧画出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.
解析 (1)如图所示,△A1B1C1即为所作. (2分) (2)如图所示,△A2B2C2即为所作. (4分)根据题意得△ABC∽△A2B2C2,∴∠A2C2B2=∠ACB,过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D,由A(2,2),C(4,-4),B (4,0),易得D(4,2),
∴AD=2,CD=6, (5分)∴AC= = =2 ,∴sin∠A2C2B2=sin∠ACD= = = . (7分)
24. (2023四川南充中考,20,★☆☆)(7分)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3 m2+m=0. 对应目标编号M9122004(1)求证:无论m为何值,方程总有实数根.(2)若x1,x2是方程的两个实数根,且 + =- ,求m的值.解析 (1)证明:∵Δ=\[-(2m-1)\]2-4×1×(-3m2+m)=4m2-4m+1+12m2-4m=16m2-8m+1 =(4m-1)2≥0, (1分)∴无论m为何值,方程总有实数根. (2分)(2)由题意可知x1+x2=2m-1,x1x2=-3m2+m. (3分)∵ + = = -2=- ,∴ -2=- , (5分)整理得5m2-7m+2=0,解得m=1或m= . (7分)
25. (2023山东烟台中考,18,★☆☆)(8分)“基础学科拔尖学生培养试验计划”简 称“珠峰计划”,是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划,旨 在培养中国自己的杰出人才.已知A,B,C,D,E五所大学设有数学学科拔尖学生培 养基地,并开设了暑期夏令营活动,参加活动的每名中学生只能选择其中一所大 学.某市为了解中学生的参加情况,随机抽取了部分中学生进行调查,并将统计数 据整理后,绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图. 对应目标编号M9125004(1)请将条形统计图补充完整.(2)在扇形统计图中,D所在扇形的圆心角度数为 ;若该市有1 000名中学 生参加本次活动,则选择A大学的大约有 人.(3)甲、乙两位同学计划从A,B,C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动,请 利用画树状图或列表的方法求两人恰好选取同一所大学的概率.
解析 (1)本次抽取的中学生共有14÷28%=50(人),其中选择B大学的中学生有50 -10-14-2-8=16(人),补全条形统计图如下: (3分)(2)在扇形统计图中,D所在扇形的圆心角度数为360°× =14.4°.若该市有1 000名中学生参加本次活动,则选择A大学的大约有1 000× =200(人).故答案为14.4°;200. (5分)
(3)依题意画树状图如下, (7分)由图可知等可能的情况共有9种,其中两人恰好选取同一所大学的情况有3种,∴ 两人恰好选取同一所大学的概率为 = . (8分)
26. (★★☆)(8分)阅读理解:“双剑合璧,天下无敌”,意思是两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根 式中也有这种相辅相成的“式子”,如(2+ )(2- )=1,2+ 与2- 的乘积中不含根号,我们就说这两个式子互为有理化因式,其中一个式子是另一个式子的有 理化因式.于是,分母含根号的式子可以这样化简: = = , = =7+4 .像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法,叫做分母有理化.解决问题:(1)将 分母有理化得 ;将 分母有理化得 .(2)化简: + + +…+ = .
实际应用:烟台山灯塔是烟台市的地标性建筑,某船在点O处测得灯塔A在南偏西60°方向 上,如图,船向西航行20海里到达B处,在点B处测得灯塔A在船的西南方向上,那 么船再向西航行多少海里时离灯塔最近?(结果保留根号)
解析 解决问题:(1) = = . = = = -1.故答案为 ; -1. (2分)
(2)原式= -1+ - + - +…+ - = -1=10-1=9.故答案为9. (4分)实际应用:过点A作AC⊥OB(图略),垂足为C,当船航行到C点时离灯塔最近,设BC =x海里,根据题意得∠AOB=30°,∠ABC=45°,∴AC=BC=x海里,∴OA=2AC=2x 海里, (6分)
∴OC= = x海里,∴x+20= x,∴x= = =10 +10.故船再向西航行(10 +10)海里时离灯塔最近. (8分)
27. (2024江苏无锡梁溪期末,25,★★☆)(8分)如图,校园内有一个横截面近似为 Rt△ABC的小土坡,坡度(或坡比)i=1∶2,古树DE长在该土坡上,树干与AC垂直, 同学们选在阳光明媚的一天测量其高度.他们测得坡底点A与古树底端点D的距 离是5 m,在坡底点C处沿着射线AC走了6 m到达点F处,此时发现古树顶端点E的 影子与土坡最高点B的影子恰好在点F处重合,在点F处测得树顶端E的仰角为53°. 参考数据:sin 53°≈ ,cs 53°≈ ,tan 53°≈ , ≈2.24 对应目标编号M9124006(1)求土坡的水平距离AC.(2)求树高DE(结果精确到0.1 m).
解析 (1)∵BC⊥AF,∴∠BCF=90°,∵∠BFC=53°,CF=6 m,∴tan∠BFC= = ≈ ,∴BC≈8 m, (1分)∵ = ,∴AC=2BC=16 m,故土坡的水平距离AC约为16 m. (3分)
(2)如图,延长ED交AC于点G, 则∠AGD=90°,∴ = , (4分)设DG=x m,则AG=2x m,∵AD=5 m,∴ = x=5,解得x= ,∴DG= m,AG=2 m,
∴FG=AC-AG+CF=16-2 +6=(22-2 )m. (6分)在Rt△EFG中,tan∠EFG= = ≈ ,∴EG≈ = (m),∴DE=EG-DG= - ≈21.1(m).故树高DE约为21.1 m. (8分)
28. (2023安徽亳州谯城中学开学考,23,★★☆)(10分)在Rt△ABC中,∠BAC=90°, AB=AC,点D、E分别是AB、AC的中点.(1)如图①,连结DE,求证:△ADE∽△ABC.(2)若将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转到图②所示的位置,作AM⊥BC,垂足 为M,AN⊥DE,垂足为N,连结BD,MN,求 的值.(3)如图③,若ED的延长线恰好经过BC的中点M,求证:∠ADB=90°.
解析 (1)证明:∵点D、E分别是AB、AC的中点,∴DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC. (2分)(2)∵AB=AC,∠BAC=90°,AM⊥BC,∴∠BAM= ∠BAC=45°,∴ = , (4分)同理可证∠DAN=45°, = ,∴ = ,∵∠BAM=∠DAN=45°,
∴∠BAM-∠DAM=∠DAN-∠DAM,即∠BAD=∠MAN,∴△ABD∽△AMN,∴ = = . (6分)(3)证明:如图,过点A作AF⊥DE,垂足为F,连结AM, ∴∠MFA=90°,∵AD=AE,∠DAE=90°,
期末素养综合测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1. (2024湖南常德澧县期末,3,★☆☆)要使 有意义,则x的取值范围是 对应目标编号M9121001 ( )A. x≥2 B. x<2 C. x≠-2 D. x>2
解析 D 由题意得x-2>0,解得x>2.
2. (2024安徽亳州利辛期末,2,★☆☆)在Rt△ABC中,∠C=90°,2cs A=1,则∠B的 度数为 ( )A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
3. (2023湖南永州中考,7,★☆☆)某市2020年人均可支配收入为2.36万元,2022年 达到2.7万元,若2020年至2022年期间每年人均可支配收入的增长率都为x,则下 面所列方程正确的是 对应目标编号M9122001 ( )A. 2.7(1+x)2=2.36 B. 2.36(1+x)2=2.7C. 2.7(1-x)2=2.36 D. 2.36(1-x)2=2.7
解析 B 依题意可知2022年人均可支配收入=2020年人均可支配收入×(1+每 年人均可支配收入的增长率)2,故可得关于x的一元二次方程为2.36(1+x)2=2.7.
4. (2024湖北武汉洪山南片区教联体月考,7,★☆☆)如图,将两个三角板(一个含45°角,一个含30°角)的斜边AB重合,点E是AB的中点,连结CE,DE,已知CE=2,则AD 的长为 ( ) A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5
解析 C ∵点E是AB的中点,∠ACB=90°,CE=2,∴AE=CE=2.∵∠ADB=90°,点E是AB的中点,∴ED=AE=2.∵∠EAD=60°,∴△AED是等边三角形.∴AD=AE=2.
5. (2024重庆北碚期末,6,★☆☆)估计 × 的值应在 对应目标编号M9121003 ( )A. 6和7之间 B. 7和8之间C. 8和9之间 D. 9和10之间
6. (2023内蒙古赤峰中考,11,★☆☆)某校在劳动课上,设置了植树、种花、除草 三个劳动项目.九年级一班和九年级二班都通过抽签的方式从这三个项目中随 机抽取一个项目,则这两个班级恰好都抽到种花的概率是 对应目标编号M9125003 ( )A. B. C. D.
解析 D 把植树、种花、除草三个劳动项目分别记为A、B、C,依题意画树 状图如下, 由图可知共有9种等可能的结果,其中九年级一班和九年级二班恰好都抽到种花 的结果有1种,故这两个班级恰好都抽到种花的概率是 .
7. (2024安徽阜阳颍州期末,8,★☆☆)如图,已知∠ABC=60°,点P在边AB上,BP=10,点E,F在边BC上,PE=PF.若BE=2,则EF的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
解析 A 如图,过点P作PH⊥EF于点H,∵PE=PF,∴EH=FH,∵∠ABC=60°,∴∠BPH=30°,∵BP=10,∴BH= BP=5,∵BE=2,∴EH=BH-BE=3,∴EF=2EH=6.
8. (2024湖北武汉青山武钢实验学校模拟,7,★☆☆)如图所示的是某厂家新开发 的一款摩托车,它的大灯射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°、10°,该大灯照亮地面的宽度BC=1.4米,则该大灯距地面的高度约为 参考数据: sin 8°≈ ,tan 8°≈ ,sin 10°≈ ,tan 10°≈ 对应目标编号M9124006 ( ) A. 0.5米 B. 1米 C. 1.5米 D. 2米
解析 B 如图,过点A作AD⊥MN,垂足为D,设DC=x米,∵BC=1.4米,∴DB=DC+BC=(x+1.4)米,在Rt△ADC中,∠ACD=10°,∴AD=CD·tan 10°≈ x(米),在Rt△ADB中,∠ABD=8°,∴AD=BD·tan 8°≈ (x+1.4)米,∴ x= (x+1.4),解得x=5.6,∴AD= ×5.6=1(米),∴该大灯距地面的高度约为1米.
9. (2024山东济宁邹城十中月考改编,10,★★☆)已知一元二次方程ax2+bx+c=0, 下列说法:①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0;②若方程两根分别为-1和2,则2a+c=0;③若b =2a+3c,则方程有两个不相等的实数根.其中正确的有 ( )A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
解析 D ①若a+b+c=0,则方程ax2+bx+c=0有一根为1,∵a≠0,∴b2-4ac≥0,正确;②由根与系数的关系可知x1·x2= =-2,整理得2a+c=0,正确;③由b=2a+3c,得b2-4ac=(2a+3c)2-4ac=4(a+c)2+5c2,∵a≠0,∴4(a+c)2+5c2>0,故方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,正确.综上所述,正确的有①②③,共3 个,故选D.
10. (2023江苏徐州中考,8,★★☆)如图,在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC=2,D为AB的中点.若点E在AC边上,且 = ,则AE的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 1或 D. 1或2
解析 D 由题意可知AC=2BC=4,AB=2 ,∠C=60°,∵D为AB的中点,∴AD= ,∵ = ,∴DE=1,分情况求解如下:(1)如图1,当∠ADE=90°时,∵∠ADE=∠ABC, = ,∴△ADE∽△ABC,∴ = = ,∴AE=2.
(2)如图2,当∠ADE≠90°时,取AC的中点H,连结DH,∵D为AB的中点,∴DH∥BC,DH= BC=1,∴∠AHD=∠C=60°,DH=DE,∴∠DEH=60°,∴∠ADE=30°=∠A,∴AE=DE=1.综上所述,AE的长为1或2,故选D.
二、填空题(共10小题,每小题3分,计30分)
11. (2024湖南衡阳城区期末,13,★☆☆)最简二次根式2 与3 是同类二次根式,则x的值是 .
12. (2024河南周口沈丘期末,20,★☆☆)若∠A为锐角,化简 = .
13. (2024四川成都锦江嘉祥外国语学校期末,11,★☆☆)已知 +2是方程x2-4x+c=0的一根,则c= .
解析 将x= +2代入方程得( +2)2-4×( +2)+c=0,解得c=-1.
14. (2023江苏盐城大丰期中,10,★☆☆)如图所示的是三个可以自由转动的转盘 (转盘均被等分),转动转盘,当转盘停止转动时,根据“指针落在阴影区域内”的 可能性的大小,将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为 . 对应目标编号M9125003
解析 转盘①中,指针落在阴影区域内的可能性为 ;转盘②中,指针落在阴影区域内的可能性为 = ;转盘③中,指针落在阴影区域内的可能性为 = .故按事件发生的可能性从大到小排列为②①③.
15. (★☆☆)如图所示的是台州市地图的一部分,分别以正东、正北方向为x轴、 y轴的正方向建立平面直角坐标系,规定一个单位长度表示1 km,甲、乙两人对 着地图描述路桥区A处的位置如下: 则椒江区B处的坐标是 .
解析 由题意建立如图所示的平面直角坐标系,连结AB,作BC⊥x轴于C点,以点 B为顶点,在BC的右侧,作∠DBC=30°,且BD边与x轴交于点D.由题意得OA=2 km,AB=16 km,∠ABC=30°,∴∠BAC=60°,∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°,∴∠ABD=∠BAC=60°,∴△ABD为等边三角形,∴AD=BD=AB=16 km,
16. (2023江苏无锡中考,16,★☆☆)《九章算术》中提出了 如下问题:今有户不知高广,竿不知长短.横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出. 问户高、广、邪各几何?这段话的意思是:今有门不知其高宽,有竿不知其长短. 横放,竿比门宽长出4尺,竖放,竿比门高长出2尺,斜放,竿与门对角线恰好相等.问 门高、宽、对角线的长各是多少?则该问题中的门高是 尺. 对应目标编号M9122005
解析 设竿长为x尺,则门宽为(x-4)尺,门高为(x-2)尺,门对角线长为x尺,根据勾 股定理可得x2=(x-4)2+(x-2)2,整理得x2-12x+20=0,解得x=2(舍去)或x=10,则门高是 10-2=8(尺).
17. (2024河南洛阳孟津期中,14,★☆☆)如图,已知点D为△ABC中AC边的中点, AE∥BC,EF交AB于点G,交BC的延长线于点F,若 =3,BC=8,则AE的长为 .
解析 ∵AE∥BC,∴△AEG∽△BFG,△AED∽△CFD,∵ =3,点D为AC的中点,∴ = = , = =1,∴AE=CF,∵BC=8,∴ = ,解得AE=4.
18. (2024山东济南历下期末,13,★☆☆)有6个大小相同的小正方形,恰好按如图 所示方式放置在△ABC中,则tan B的值为 .
解析 如图,依题意得FH∥BC,∴∠B=∠EFH,设EH=1,则FH=2,∴tan B=tan∠EFH= = .
19. (2024吉林长春宽城期末,16,★☆☆)如图,已知在四边形ABCD中,AC⊥BD, AC=10,BD=12,点E、F分别是边AD、BC的中点,连结EF,则EF的长是 .
解析 如图,取AB的中点G,连结EG、FG,则EG∥BD,且EG= BD= ×12=6,FG∥AC,且FG= AC= ×10=5.∵AC⊥BD,∴EG⊥FG,∴EF= = = .
方法解读 在三角形中,若给出一边的中点,常作出三角形的中位线.具体方法有:(1)先 取另一边的中点,然后连结两个中点;(2)过已知边的中点作另一边的平行线.
20. (2024湖北黄冈浠水六神中学一模,15,★★☆)如图, 在平面直角坐标系中,正方形A1BB1C1,正方形A2B1B2C2,正方形A3B2B3C3关于原点 O位似,其中点B,B1,B2,B3都在x轴上,点C1在A2B1上,点C2在A3B2上.依此方式,继续 作正方形A4B3B4C4,若点A1的坐标为(1,1),则点C4的坐标为 .
解析 ∵点A1的坐标为(1,1),∴OB=1,A1B=1,∵四边形A1BB1C1是正方形,∴OB1= 2,B1C1=1,∴点C1的坐标为(2,1).∵正方形A1BB1C1与正方形A2B1B2C2关于原点O位 似,∴ = = ,∴正方形A1BB1C1与正方形A2B1B2C2的相似比为1∶2,同理可得正方形A1BB1C1与正方形A3B2B3C3的相似比为1∶4,∴正方形A1BB1C1与正方 形A4B3B4C4的相似比为1∶8,∴点C4的坐标为(2×8,1×8),即C4(16,8).
三、解答题(共8小题,计60分)
21. (2024海南海口期末,17,★☆☆)(6分)计算:(1) × .(2) -3 .(3)(sin 30°+cs 30°)2-tan 60°.解析 (1)原式= = = . (2分)(2)原式= × -3 =2 -3 =- . (4分)(3)原式= - (5分)= - = -
22. (2023广东广州越秀期末,22,★☆☆)(6分)随着“共享经 济”的概念迅速普及,共享汽车也进入了人们的视野,某共享汽车租赁公司年初 在某地投放了一批共享汽车.据统计,三月份的全天包车数为36次,在租金不变的 基础上,四、五月的全天包车数持续走高,五月份的全天包车数达到81次.(1)若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变,求全天包车数的月平 均增长率.(2)一段时间后,当全天包车的租金为每辆120元时,每月的全天包车数为60次,该 公司决定降低租金,经调查发现,每辆租金每降价1元,平均每月全天包车数增加2 次,尽可能地减少租车次数.当每辆租金降低多少元时,公司每月获得的租金总额 为8 800元?
解析 (1)设全天包车数的月平均增长率为x,根据题意得36(1+x)2=81, (2分)解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不符合题意,舍去),故全天包车数的月平均增长率为50%. (3分)(2)当每辆租金降价y元时,全天包车的租金为每辆(120-y)元,每月的全天包车数 为(60+2y)次,根据题意得(120-y)(60+2y)=8 800, (5分)整理得y2-90y+800=0,解得y1=10,y2=80,∵要尽可能地减少租车次数,∴y=10,故当 每辆租金降价10元时,公司每月获得的租金总额为8 800元. (6分)
23. (2023河北邯郸二十三中期末,21,★☆☆)(7分)如图,在平面直角坐标系中,已 知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,-4).(1)请在图中画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1.(2)以点O为位似中心,将△ABC各边缩小为原来的 ,得到△A2B2C2,请在图中y轴的右侧画出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.
解析 (1)如图所示,△A1B1C1即为所作. (2分) (2)如图所示,△A2B2C2即为所作. (4分)根据题意得△ABC∽△A2B2C2,∴∠A2C2B2=∠ACB,过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D,由A(2,2),C(4,-4),B (4,0),易得D(4,2),
∴AD=2,CD=6, (5分)∴AC= = =2 ,∴sin∠A2C2B2=sin∠ACD= = = . (7分)
24. (2023四川南充中考,20,★☆☆)(7分)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3 m2+m=0. 对应目标编号M9122004(1)求证:无论m为何值,方程总有实数根.(2)若x1,x2是方程的两个实数根,且 + =- ,求m的值.解析 (1)证明:∵Δ=\[-(2m-1)\]2-4×1×(-3m2+m)=4m2-4m+1+12m2-4m=16m2-8m+1 =(4m-1)2≥0, (1分)∴无论m为何值,方程总有实数根. (2分)(2)由题意可知x1+x2=2m-1,x1x2=-3m2+m. (3分)∵ + = = -2=- ,∴ -2=- , (5分)整理得5m2-7m+2=0,解得m=1或m= . (7分)
25. (2023山东烟台中考,18,★☆☆)(8分)“基础学科拔尖学生培养试验计划”简 称“珠峰计划”,是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划,旨 在培养中国自己的杰出人才.已知A,B,C,D,E五所大学设有数学学科拔尖学生培 养基地,并开设了暑期夏令营活动,参加活动的每名中学生只能选择其中一所大 学.某市为了解中学生的参加情况,随机抽取了部分中学生进行调查,并将统计数 据整理后,绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图. 对应目标编号M9125004(1)请将条形统计图补充完整.(2)在扇形统计图中,D所在扇形的圆心角度数为 ;若该市有1 000名中学 生参加本次活动,则选择A大学的大约有 人.(3)甲、乙两位同学计划从A,B,C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动,请 利用画树状图或列表的方法求两人恰好选取同一所大学的概率.
解析 (1)本次抽取的中学生共有14÷28%=50(人),其中选择B大学的中学生有50 -10-14-2-8=16(人),补全条形统计图如下: (3分)(2)在扇形统计图中,D所在扇形的圆心角度数为360°× =14.4°.若该市有1 000名中学生参加本次活动,则选择A大学的大约有1 000× =200(人).故答案为14.4°;200. (5分)
(3)依题意画树状图如下, (7分)由图可知等可能的情况共有9种,其中两人恰好选取同一所大学的情况有3种,∴ 两人恰好选取同一所大学的概率为 = . (8分)
26. (★★☆)(8分)阅读理解:“双剑合璧,天下无敌”,意思是两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根 式中也有这种相辅相成的“式子”,如(2+ )(2- )=1,2+ 与2- 的乘积中不含根号,我们就说这两个式子互为有理化因式,其中一个式子是另一个式子的有 理化因式.于是,分母含根号的式子可以这样化简: = = , = =7+4 .像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法,叫做分母有理化.解决问题:(1)将 分母有理化得 ;将 分母有理化得 .(2)化简: + + +…+ = .
实际应用:烟台山灯塔是烟台市的地标性建筑,某船在点O处测得灯塔A在南偏西60°方向 上,如图,船向西航行20海里到达B处,在点B处测得灯塔A在船的西南方向上,那 么船再向西航行多少海里时离灯塔最近?(结果保留根号)
解析 解决问题:(1) = = . = = = -1.故答案为 ; -1. (2分)
(2)原式= -1+ - + - +…+ - = -1=10-1=9.故答案为9. (4分)实际应用:过点A作AC⊥OB(图略),垂足为C,当船航行到C点时离灯塔最近,设BC =x海里,根据题意得∠AOB=30°,∠ABC=45°,∴AC=BC=x海里,∴OA=2AC=2x 海里, (6分)
∴OC= = x海里,∴x+20= x,∴x= = =10 +10.故船再向西航行(10 +10)海里时离灯塔最近. (8分)
27. (2024江苏无锡梁溪期末,25,★★☆)(8分)如图,校园内有一个横截面近似为 Rt△ABC的小土坡,坡度(或坡比)i=1∶2,古树DE长在该土坡上,树干与AC垂直, 同学们选在阳光明媚的一天测量其高度.他们测得坡底点A与古树底端点D的距 离是5 m,在坡底点C处沿着射线AC走了6 m到达点F处,此时发现古树顶端点E的 影子与土坡最高点B的影子恰好在点F处重合,在点F处测得树顶端E的仰角为53°. 参考数据:sin 53°≈ ,cs 53°≈ ,tan 53°≈ , ≈2.24 对应目标编号M9124006(1)求土坡的水平距离AC.(2)求树高DE(结果精确到0.1 m).
解析 (1)∵BC⊥AF,∴∠BCF=90°,∵∠BFC=53°,CF=6 m,∴tan∠BFC= = ≈ ,∴BC≈8 m, (1分)∵ = ,∴AC=2BC=16 m,故土坡的水平距离AC约为16 m. (3分)
(2)如图,延长ED交AC于点G, 则∠AGD=90°,∴ = , (4分)设DG=x m,则AG=2x m,∵AD=5 m,∴ = x=5,解得x= ,∴DG= m,AG=2 m,
∴FG=AC-AG+CF=16-2 +6=(22-2 )m. (6分)在Rt△EFG中,tan∠EFG= = ≈ ,∴EG≈ = (m),∴DE=EG-DG= - ≈21.1(m).故树高DE约为21.1 m. (8分)
28. (2023安徽亳州谯城中学开学考,23,★★☆)(10分)在Rt△ABC中,∠BAC=90°, AB=AC,点D、E分别是AB、AC的中点.(1)如图①,连结DE,求证:△ADE∽△ABC.(2)若将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转到图②所示的位置,作AM⊥BC,垂足 为M,AN⊥DE,垂足为N,连结BD,MN,求 的值.(3)如图③,若ED的延长线恰好经过BC的中点M,求证:∠ADB=90°.
解析 (1)证明:∵点D、E分别是AB、AC的中点,∴DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC. (2分)(2)∵AB=AC,∠BAC=90°,AM⊥BC,∴∠BAM= ∠BAC=45°,∴ = , (4分)同理可证∠DAN=45°, = ,∴ = ,∵∠BAM=∠DAN=45°,
∴∠BAM-∠DAM=∠DAN-∠DAM,即∠BAD=∠MAN,∴△ABD∽△AMN,∴ = = . (6分)(3)证明:如图,过点A作AF⊥DE,垂足为F,连结AM, ∴∠MFA=90°,∵AD=AE,∠DAE=90°,
相关课件
华东师大版初中数学九年级上册期中素养综合测试卷(二)课件： 这是一份华东师大版初中数学九年级上册期中素养综合测试卷(二)课件，共42页。
初中数学华师大版九年级上册第22章 一元二次方程综合与测试复习ppt课件： 这是一份初中数学华师大版九年级上册第22章 一元二次方程综合与测试复习ppt课件，共21页。PPT课件主要包含了知识结构，实验问题，一元二次方程的解法，释疑解惑，平方根的定义，完全平方公式，配方法，所有的一元二次方程，优先选择，典例精析等内容，欢迎下载使用。
华师大版九年级上册第24章 解直角三角形综合与测试复习课件ppt： 这是一份华师大版九年级上册第24章 解直角三角形综合与测试复习课件ppt，共21页。PPT课件主要包含了特殊角的三角函数，∠B90°－∠A，应用题解题步骤，解如图，∵EFCF－120，解得CF240等内容，欢迎下载使用。
