华东师大版初中数学九年级上册阶段素养综合测试卷(二)课件

这是一份华东师大版初中数学九年级上册阶段素养综合测试卷(二)课件，共49页。

阶段素养综合测试卷(二)
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1. (2024山东菏泽成武期末,1,★☆☆)在Rt△ABC中,∠C=90°, = ,则∠B=    对应目标编号M9124004 (　    )A. 30°　　　　B. 45°　　　　C. 60°　　　　D. 90°
2.(2023黑龙江哈尔滨松北三模,9,★☆☆)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,BD= 3,下列结论错误的是 (　    ) A.  = 　　　　B.  = 　　　　C.  = 　　　　D.  = 
解析　B　∵DE∥BC,AD=2,BD=3,∴△ADE∽△ABC, = = ,故A中结论正确; = = = ,故D中结论正确;∵△ADE∽△ABC,∴ = = = ,故B中结论错误; = = = ,故C中结论正确.故选B.
3. (2024湖南衡阳成章实验中学月考,5,★☆☆)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,下列用线段比表示cs A的值,错误的是     (　    ) A.  　　　　B.  　　　　C.  　　　　D.  
解析　D　∵在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠A+∠ACD=90°,∠ACD+∠DCB=90°,∴∠A=∠DCB,∴cs A=cs∠DCB= = = ,故选项A,B,C正确,选项D错误.
4. (2024河南驻马店西平期中,6,★☆☆)如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,点D 在BC边上,AB⊥AD,AD=2,则BC的长为 (　    ) A. 4　　　　B. 5　　　　C. 6　　　　D. 8
解析　C　∵AB=AC,∠C=30°,∴∠C=∠B=30°,∴∠BAC=120°,∵AB⊥AD,∴∠BAD=90°,∵AD=2,∴BD=2AD=4,∵∠DAC=120°-90°=30°,∴∠DAC=∠C,∴DC=AD=2,∴BC=BD+DC=4+2=6.
5. (2024河南驻马店西平期中,6,★☆☆)如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方 形的边长均为1,顶点为格点,若△ABC的顶点均是格点,则sin∠BAC的值是 (        ) A.  　　　　B.  　　　　C.  　　　　D.  
解析　A　如图,延长AC到D,连结BD, 由图可知AD2=20,BD2=5,AB2=25,∴AD2+BD2=AB2,∴∠ADB=90°,∴sin∠BAC= = = .
6. (2024山西晋城阳城期末,4,★☆☆)如图,在平面直角坐标系中,已知点E(-4,2),F (-2,-2),若△OEF与△OE'F'关于点O位似,S△OEF∶S△OE‘F’=4∶1,则点F的对应点F'的坐标为     对应目标编号M9123006 (　    )A. (1,1)　　　 　B. (4,4)C. (4,4)或(-4,-4)　　　　D. (1,1)或(-1,-1)
解析　D　∵△OEF与△OE'F'关于点O位似,S△OEF∶S△OE'F'=4∶1,∴ =2,∵F(-2,-2),∴F'的坐标为 或 ,即(-1,-1)或(1,1).
7. (2023河北廊坊广阳二模,14,★☆☆)如图,△ABC与△DEC都是等边三 角形,固定△ABC,将△DEC从图示位置绕点C逆时针旋转一周,在△DEC旋转的 过程中,下列说法正确的是 (　    ) A. △DEC总与△ABC位似B. △DEC与△ABC不会位似C. 只有当点D落在CB上时,△DEC与△ABC位似D. 存在两个位置使得△DEC与△ABC位似
解析　D    ∵△ABC与△DEC都是等边三角形,∴△ABC总与△DEC相似.∵在 △DEC旋转的过程中,只有当点D落在线段AC上或线段AC的延长线上时,直线 AD和直线BE相交于点C,∴在△DEC旋转的过程中,只有当点D落在线段AC上 或线段AC的延长线上时,△DEC与△ABC位似.故选D.
8. (2024山西长治潞州二模,6,★☆☆)上午9时,一艘船从A处出发,以每小时40海 里的速度向正东方向航行,10时到达B处(如图).从A,B两处分别测得小岛M在北 偏东45°方向和北偏东15°方向,那么船在B处时与小岛M的距离为 (　    ) A. 20 海里　　　　B. 20 海里　　　　C. 40海里　　　　D. 40 海里
解析　D　如图,过点B作BN⊥AM于点N, 由题意得,AB=40×1=40(海里),∠ABM=90°+15°=105°,在Rt△ABN中,BN=AB·sin 45°=20 (海里),在Rt△BNM中,∠MBN=105°-45°=60°,∴∠M=30°,∴BM=2BN=40 (海里),即船在B处时与小岛M的距离为40 海里.
9. (2024吉林长春十三中月考,10,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC =8,点N是BC边上一点,点M为AB边上的动点,D,E分别为CN,MN的中点,则DE的 最小值是    对应目标编号M9123005 (　    ) A. 2　　　　B.  　　　　C. 3　　　　D.  
解析　B　连结CM(图略),当CM⊥AB时,CM的值最小,此时DE有最小值.∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB= = =10,∴ AC·BC= AB·CM,∴ ×6×8= ×10×CM,∴CM= ,∵D,E分别为CN,MN的中点,∴DE= CM= × = ,即DE的最小值是  .
10.(2023山东日照中考,16,★★★)如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点P在对角线 BD上,过点P作MN⊥BD,交边AD,BC于点M,N,过点M作ME⊥AD交BD于点E,连 结EN,BM,DN.下列结论:①EM=EN;②四边形MBND的面积不变;③当AM∶MD =1∶2时,S△MPE= ;④BM+MN+ND的最小值是20.其中所有正确结论的序号为 (　    ) A. ①②③　　　　B. ①②④　　　　C. ②③④　　　　D. ①③④
解析　C　①当点N与点C重合时,可知EM≠EN,故①错误;②延长ME交BC于点H,∵MN⊥BD,∴∠MPD=90°,∴∠PMD+∠PDM=90°,∵ME⊥AD,∴∠EMD=90°,∴∠EMP+∠PMD=90°,∴∠EMP=∠PDM,∵∠MHN=∠A=90°,∴△MHN∽△DAB,∴ = ,易得BD=10,MH=6,∴ = ,解得MN= ,∴S四边形MBND= ×10× = ,故四边形MBND的面积不变,故②正确;③当AM∶MD=1∶2时,易证△DME∽△DAB,∴ = ,即 = ,解得ME=4,易证△MPE∽△DAB,∴ = ,即 = ,解得S△MPE= ,故③正确;④如图,过点D作MN的平行线,过点M作ND的平行线,两线交于点F,连结BF,则四
边形MNDF为平行四边形,∴MF=ND,则BM+MN+ND=BM+ +MF,又BM+MF≥BF,故当B、M、F三点共线时,BM+MF最小,最小值为BF的长,易知BD⊥DF,DF=MN= ,∴BF= = ,∴BM+MN+ND的最小值为 + =20,故④正确.故正确结论的序号是②③④. 
二、填空题(共6小题,每小题4分,计24分)
11. [一题多解](2024河南南阳邓州期末,11,★☆☆)已知 = ,则 的值为　    　    .    对应目标编号M9123001
解析　解法1(利用比例的基本性质):∵ = ,∴5(a-b)=3b,∴5a=8b,∴ = .解法2(利用合比性质):∵ = ,∴ = ,即 = .
解法3(利用等式的基本性质):∵ = ,∴ - = ,即 -1= ,∴ = .
12. (2024江苏镇江丹徒期末,6,★☆☆)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=34°,D 是AB的中点,则∠ACD=　　　    °. 
解析　∵∠ACB=90°,∠B=34°,∴∠A=56°,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,∴DA=DC,∴∠ACD=∠A=56°.
13. (2024吉林长春十三中期末,9,★☆☆)在△ABC中,已知两锐角A、B,且cs  = ,则△ABC是　　　    三角形.
14. (2023福建莆田荔城擢英中学期末,15,★☆☆)如图,已知在电线杆AB上有一 个光源,身高1.8 m的小明站在与电线杆底部A相距2 m的点C处,其影长CE=1 m, 若他沿AC方向走4 m到达点F处,则此时他的影长是　　　    m.(图中CD,FG均 表示小明身高)    对应目标编号M9123002 
解析　如图,连结BG并延长,交直线AE于M,∵AB⊥AM,DC⊥AM,GF⊥AM,∴CD∥AB,GF∥AB,∴△EDC∽△EBA,△MGF∽△MBA,∴ = , = ,∴ = , = ,解得FM=3,即此时他的影长是3 m.
15. (2024湖南怀化期末,17,★☆☆)某中学数学兴趣小组 在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号,他们将其中某些材料摘录如 下:对于三个实数a,b,c,用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数.例如:min{1,2,3}= 1,min{sin 30°,cs 45°,tan 60°}= .结合上述材料,可求得min{3tan 45°,2sin 60°,4cs 60°}=　　　    .
16. (2023四川泸州中考,16,★★☆)如图,E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点, P是对角线AC上的动点,当PE+PF取得最小值时, 的值是　　　    . 
  解析　如图,作点F关于AC的对称点F',易知点F'落在AD上,连结EF'交AC于点P', 易知当点P与点P'重合时,PE+PF取得最小值,过点F'作AD的垂线段,交AC于点K, 设正方形ABCD的边长为a,则AF'=AF= a,AE= a,∵四边形ABCD是正方形,∴∠F'AK=45°,∠P'AE=45°,AC= a,∵F'K⊥AF',
∴∠F'AK=∠F'KA=45°,∴AK= a,∠F'KA=∠P'AE,F'K=AF'= a,∵∠F'P'K=∠EP'A,∴△F'KP'∽△EAP',∴ = =2,∴AP'= AK=   a,∴CP'=AC-AP'=   a,∴ = ,∴当PE+PF取得最小值时, 的值是 .
三、解答题(共6小题,计66分)
17. (2024福建福州鼓楼三牧中学月考,17,★☆☆)(6分)计算:   对应目标编号M9124004(1)sin260°-tan 30°·cs 30°+tan 45°.(2)sin 60°·cs 60°-tan 30°·tan 60°+sin245°+cs245°.解析    (1)原式= - × +1= - +1= .(2)原式= × - × +1= -1+1= .
18. (2024吉林长春汽开区二模,22,★☆☆)(8分)莱芜红石公园西北角有一红色八 角空心七层宝塔“赢圣塔”.某校数学兴趣小组的同学对其高度进行了测量.如 图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为45°,再往楼的方向前进17 m至B处,测得仰角 为60°,问该塔的高度为多少?(学生的身高忽略不计, ≈1.7,结果精确到0.1 m) 
解析　设“赢圣塔”的高度为x m,由题意可知∠D=90°,∵∠A=45°,∴AD=CD=x m,∵AB=17 m,∴BD=(x-17)m,在Rt△BDC中,∵∠DBC=60°,∴tan∠DBC=tan 60°= = ,∴x= = ≈40.0,故该塔的高度约为40.0 m.
19. (2023山西大同新荣三模,18,★☆☆)(10分)下图是体育场篮球架的实物图和 示意图,已知支架AB的长为2.3 m,支架AB与地面的夹角∠BAC=70°,BE的长为1.5 m,支架BD与水平支架BE的夹角为46°,BC,DE垂直于地面,求篮板顶端D到地面的距离.(结果保留一位小数,参考数据:sin 70°≈0.94,cs 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,sin 46°≈0.72,cs 46°≈0.69,tan 46°≈1.04)     对应目标编号M9124006 
解析　如图,延长DE与AC的延长线相交于点G,易知DG⊥AG,BC=EG,在Rt△ABC中,∠BAC=70°,AB=2.3 m,∴BC=AB·sin 70°≈2.3×0.94=2.162 m,∴EG=BC=2.162 m,在Rt△BDE中,∠DBE=46°,BE=1.5 m,∴DE=BE·tan 46°≈1.5×1.04=1.56(m),∴DG=DE+EG=1.56+2.162≈3.7(m),故篮板顶端D到地面的距离约为3.7 m.
20. (2024山东滨州滨城期末,22,★☆☆)(12分)【材料阅 读】直角三角形射影定理又称“欧几里得定理”.定理的内容是直角三角形中, 斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;每一条直角边是这条直角边 在斜边上的射影和斜边的比例中项.这一定理可以描述如下:如图,在Rt△ABC中,满足条件:∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,则有如下结论 成立:①CD2=AD·DB;②BC2=BD·BA;③AC2=AD·AB;④AC·BC=AB·CD.【自主探究】请证明结论③AC2=AD·AB.已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边上的高,求证:AC2=AD·AB.【直接运用】运用射影定理解决下面的问题:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边上的高,若AC=6,BD=9,求CD的长.
解析　【自主探究】证明:∵CD⊥AB,∠ACB=90°,∴∠ADC=∠ACB=90°,∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴AC∶AB=AD∶AC,∴AC2=AD·AB.【直接运用】设AD的长为x,则AB=x+9,由(1)知AC2=AD·AB,∴x(x+9)=62,解得x1=3,x2=-12(不合题意,舍去),∴AD=3,∵CD2=AD·DB,∴CD= = =3 .
21. (2024河南新乡辉县一模,23,★★☆)(14分)小明利用折射定 律sin α·n1=sin β·n2(n1,n2为折射率,∠α为入射角,∠β为折射角)制作了一个测算液 体折射率的装置.光线从点A按固定角度从空气射入液面,通过调节液面高度,使 光线折射后恰好落到点C.已知sin∠1= ,空气折射率n1为1,正方形ABCD的边长为36 cm.(1)如图①,装入某款家用食用油时,恰好CF=15 cm,求该食用油的折射率.(2)如图②,装入纯净水时,若水的折射率为 ,求CF的长度. 
解析    (1)易知∠1=∠EAP,又sin∠1= ,∴sin∠EAP= = ,设EP=4x cm,AP=5x cm,∴PF=(36-4x)cm,AE= =3x cm,∴CF=(36-3x)cm,∴36-3x=15,解得x=7,∴PF=36-4x=8(cm),∴CP= =17 cm,∴sin∠2=sin∠PCF= = ,∵sin α·n1=sin β·n2,∴ ×1= n2,解得n2= ,故该食用油的折射率为 .
(2)∵水的折射率为 ,即n2= ,∴ ×1= ×sin∠3,∴sin∠3=sin∠PCF= = ,∴ = ,即 = ,解得x= ,∴CF=36-3x= (cm),故CF的长度为  cm.
22. (2024陕西咸阳礼泉期末,26,★★☆)(16分)【问题背景】如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,BC=10,AD⊥BC于点D,点P是AC边上的动点(不 与A,C重合),过点P作PM∥BC交AB于点M,PN⊥BC于点N.【问题探究】(1)如图①,求AD的长;(2)如图①,当PM=PN时,求PM的长;(3)连结MN(如图②),当△PMN∽△ABC时,求出PM的长.
解析    (1)∵82+62=102,即AB2+AC2=BC2,∴△ABC是直角三角形,且∠BAC=90°,∴S△ABC= BC·AD= AC·AB,∴ ×10AD= ×6×8,解得AD= ,∴AD的长为 .(2)设PM=PN=x,
∵PM∥BC,∴△AMP∽△ABC,∴ = ,即 = ,解得AP= ,∵∠PCN=∠BCA,∠PNC=∠BAC,∴△PCN∽△BCA,∴ = ,即 = ,解得PC= ,∵AP+PC=6,∴ + =6,解得x= ,∴PM的长为 .(3)设PM=a,当△PMN∽△ABC时,∠PMN=∠ABC,
∵PM∥BC,∴∠PMN=∠BNM,∴∠ABC=∠BNM,∴BM=MN,∵△AMP∽△ABC,∴ = ,即 = ,解得AM= ,则BM=8- ,∵△PMN∽△ABC,∴ = ,即 = ,解得MN= ,