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华东师大版初中数学九年级上册期末素养综合测试(一)课件
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这是一份华东师大版初中数学九年级上册期末素养综合测试(一)课件，共53页。
期末素养综合测试（一）
(满分120分, 限时100分钟)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.(2024福建泉州晋江期末)若二次根式 有意义,则x的取值范围是 ( )A.x>3 B.x≥3 C.x<3 D.x≤3
解析 根据题意得x-3≥0,解得x≥3.
2.(2024吉林长春九台二十二中期中)已知实数a在数轴上的 对应点的位置如图所示,则化简|a-1|- 的结果是( ) A.2a-3 B.-1 C.1 D.3-2a
解析 由题图可知10,a-2<0,∴原式=a-1-[-(a-2)]=a-1+(a-2)=2a-3.
3.(2023黑龙江哈尔滨中考)将10枚黑棋子、5枚白棋子装入 一个不透明的空盒子里,这些棋子除颜色外无其他差别,从盒 子中随机取出一枚棋子,则取出的棋子是黑棋子的概率是 ( )A. B. C. D.
解析 从盒子中随机取出一枚棋子有15种等可能的结果,其 中取出的棋子是黑棋子的结果有10种,故取出的棋子是黑棋 子的概率为 = .
4.(2024陕西咸阳礼泉期末)如图,l1∥l2∥l3,直线m,n与这三条 平行线分别相交于点A,B,C和D,E,F,若 = ,DE=3,则DF的长为( ) A. B.4 C. D.7
解析 ∵l1∥l2∥l3,∴ = ,即 = ,∴EF= ,∴DF=DE+EF=3+ = .
5.(2024福建泉州惠安期末)若m,n为方程x2+x-5=0的两根,则m2 +6m+5n的值为 ( ) A.0 B.1 C.10 D.15
解析 ∵m,n为方程x2+x-5=0的两根,∴m2+m-5=0,m+n=-1,∴m2+m=5,∴m2+6m+5n=(m2+m)+5(m+n)=5+5×(-1)=0.
6.(新考向·新定义试题)(2024湖北武汉江岸七一华源中学二模)阅读材料:余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理,运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是这样描述的:在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为:a2=b2+c2-2bccs A;b2=a2+c2-2accs B;c2=a2+b2-2abcs C.现已知在△ABC中,AB=2,BC=4,∠A=60°,则AC的长为 ( )
A.2 B. +1 C. -1 D.3
7.(2024河南漯河实验中学期中)如图,在等边三角形ABC中, BC=6,点D是边AB上一点,且BD=2,点P是边BC上一动点(D、 P两点均不与端点重合),作∠DPE=60°,PE交边AC于点E.若 CE=a,当满足条件的点P有且只有一个时,则a的值为 ( )A.4 B. C. D.5
解析 ∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∴∠BDP+ ∠BPD=180°-∠B=120°,∵∠DPE=60°,∴∠BPD+∠CPE=120°,∴∠BDP=∠CPE,∵∠B=∠C=60°,∴△BDP∽△CPE,∴ = ,∴ = ,∴BP2-6BP+2a=0,∵满足条件的点P有且只有一个,∴方程BP2-6BP+2a=0有两个相等的实数根,∴ Δ=(-6)2-4×2a=0,∴a= .
8.(跨学科·物理)(2022海南海口模拟)如图所示的是一块光学 直角棱镜,其截面为直角三角形ABC,AB所在的面为不透光 的磨砂面,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=8 cm.现将一束单色光从 AC边上的O点入射,折射后到达AB边上的D点,恰有CD⊥AB, 再经过反射后(即∠CDE=∠ODC),从E点垂直于BC射出,则 光线在棱镜内部经过的路径OD+DE的总长度为 ( )
A.12 cm B.6 cmC.(4 +4)cm D. cm
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.(2023浙江金华中考)如图,把两根钢条OA,OB的一个端点连 在一起,点C,D分别是OA,OB的中点,若CD=4 cm,则该工件内 槽宽AB的长为 cm.
解析 ∵点C,D分别是OA,OB的中点,∴CD是△AOB的中位 线,∴AB=2CD,∵CD=4 cm,∴AB=2CD=8 cm.
10.(2023辽宁锦州中考)一个不透明的盒子中装有若干个红 球和5个黑球,这些球除颜色外均相同.经多次摸球试验后发 现,摸到黑球的频率稳定在0.25左右,则盒子中红球的个数约 为 .
解析 由题意可知盒子中球的总个数为5÷0.25=20,故盒子中 红球的个数为20-5=15.
11.(2024广西贵港桂平期末)如图,线段CD两端点的坐标分别 为C(2,4)和D(4,0),以原点为位似中心,将线段CD放大得到线 段AB.若点B的坐标为(10,0),则点A的坐标为 .
解析 对比D、B两点坐标易知,D点的横、纵坐标都乘2.5得 到B(10,0),故把C(2,4)的横、纵坐标都乘2.5得到A(5,10).
12.(新独家原创)舞剧《唯我青白》中的选段《瓷影》亮相2024年春晚,节目以青白瓷为出发点,通过舞者的肢体语言展 现青白瓷跨越千年的独特魅力,世人惊叹:一瓷跨千年,文明 越山海.如图,在一幅长为40 cm,宽为30 cm的《瓷影》图片 的四周镶上相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,设金色 纸边的宽为x cm,如果要使整个挂图的面积是2 440 cm2,那么 x满足的方程是 .
(40+2x)(30+2x)=2 440
解析 若金色纸边的宽度为x cm,则挂图的长为(40+2x)cm, 宽为(30+2x)cm,根据整个挂图的面积是2 440 cm2可列出方程 为(40+2x)(30+2x)=2 440.
13.(2024四川攀枝花盐边期末)已知a=3+2 ,b=3-2 ,则a2b-ab2= .
14.(2024福建福州一中期末)如图,等边三角形ABC中,D是AB 的中点,DE⊥AC于E,AE=2 cm,则△ABC的周长为 cm.
解析 ∵DE⊥AC,∴∠AED=90°,∵△ABC是等边三角形,∴ AB=BC=AC,∠A=60°,∴∠ADE=90°-∠A=30°,∵AE=2 cm,∴ AD=2AE=4 cm,∵D是AB的中点,∴AB=2AD=8 cm,∴AB=AC =BC=8 cm,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=8+8+8=24(cm).
15.(2023黑龙江牡丹江中考)如图,将45°的∠AOB按下面的方 式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺 下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm,若按 相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺 上沿的交点C在尺上的读数为 cm.
解析 ∵∠AOB=45°,∠AOC=22.5°,∴∠BOC=22.5°=∠ AOC,∵BC∥OA,∴∠BCO=∠AOC,∴∠BCO=∠BOC,∴BC= OB=2 cm,易知△ODB是等腰直角三角形,∴OB= BD=2 cm,∴CD=BC+BD=(2 +2)cm.∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为(2 +2)cm.
16.(2024吉林长春二道期末)如图1,一张正三角形纸片ABC, AB=32 cm,点D在边AB上,AD=10 cm,点E是边BC上的一点.如 图2,将△BDE沿DE翻折得到△B'DE,△B'DE与△ABC的边 AC相交于点M和点N.若AM=16 cm,B'M=8 cm,则CN的长度为 cm.
解析 ∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=32 cm,∠A=∠B=60°,∵AD=10 cm,∴BD=AB-AD=22 cm,由折叠得BD=B'D=22 cm,∠B=∠B'=60°,∴∠A=∠B',∵B'M=8 cm,∴DM=B'D-B'M= 22-8=14(cm),∵∠AMD=∠B'MN,∴△AMD∽△B'MN,∴ = ,∴ = ,∴MN=7 cm,∴CN=AC-AM-MN=32-16-7=9(cm).
三、解答题(共64分)
17.[答案含评分细则](6分)计算:(1)(2024湖南衡阳船山实验中学期末)( + )2- + ;(2)(2024山西省实验中学二模)tan 45°+2sin 30°-cs245°+cs 60°.
解析 (1)原式=3+2 +2-2 + 2分=5+ . 3分(2)原式=1+2× - + 4分=1+1- + =2. 6分
18.[答案含评分细则](2024陕西榆林高新区期末)(6分)某商 店以每个8元的成本价购进了一批玩具陀螺,如果以每个14 元的价格出售,那么每天可销售40个,经市场调查发现,若每 个陀螺的售价每上涨1元,则每天的销售量就减少2个.每个陀 螺涨价多少元时,才能让顾客得到实惠的同时,商店每天获得 的利润为320元?
解析 设每个陀螺涨价x元,则每天可售出(40-2x)个, 1分依题意得(14-8+x)(40-2x)=320, 3分解得x1=4,x2=10, 4分∵要让顾客得到实惠,∴x=4,即当每个陀螺涨价4元时,才能让顾客得到实惠的同 时,商店每天获得的利润为320元. 6分
19.[答案含评分细则](易错题)(2024广东惠州大亚湾期末)(8 分)已知关于x的一元二次方程x2-4x-2m+5=0有两个不相等实 数根.(1)若m=5,求此时方程的解;(2)当x1·x2>0时,求m的取值范围.
解析 (1)由题意得x2-4x-2×5+5=0,整理得x2-4x-5=0, 2分解得x1=5,x2=-1. 3分(2)∵x2-4x-2m+5=0有两个不相等实数根,∴x1·x2=-2m+5, 5分∵x1·x2>0,∴-2m+5>0,解得m< , 7分∵Δ=(-4)2-4(-2m+5)>0,
∴m> ,∴m的取值范围为
(1)当α=30°时,验证sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立.(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举 出一个反例.
解析 (1)当α=30°时,sin2α+sin2(90°-α)=sin230°+sin260°= + = + =1.成立. 3分(2)小明的猜想成立. 4分证明:依题意画图如下, 5分
在△ABC中,∠C=90°,∴BC2+AC2=AB2,设∠A=α,则∠B=90°-α, 6分∴sin2α+sin2(90°-α)= + 7分= = =1. 8分
21.[答案含评分细则](2022辽宁锦州中考)(10分)小华同学从 一副扑克牌中取出花色为“红心”“黑桃”“方块”“梅 花”的扑克牌各1张放入不透明的甲盒中,再从这副扑克牌 中取出花色为“红心”“黑桃”“方块”“梅花”的扑克 牌各1张放入不透明的乙盒中.(1)小华同学从甲盒中随机抽取1张,抽到扑克牌花色为“红 心”的概率为 ;
(2)小华同学从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌,请用 画树状图或列表的方法,求抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率.
解析 (1)小华同学从甲盒中随机抽取1张,抽到扑克牌花色 为“红心”的概率为 . 2分(2)把花色为“红心”“黑桃”“方块”“梅花”的扑克牌 分别记为A、B、C、D,画树状图如下, 7分
由图可知共有16种等可能的结果,其中抽到扑克牌花色恰好 是1张“红心”和1张“方块”的结果有2种,∴抽到扑克牌 花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率是 = . 10分
22.[答案含评分细则](新考向·项目式学习试题)(2024福建泉 州洛江期末)(12分)阅读下列材料,回答问题:
(1)请你帮助该实践小组求“定光塔”的高度AB.(结果用 含a,α,β的式子表示)(2)在求“定光塔”的高度中,为更简便地计算出结果,用到 的三角函数知识是 .A.锐角的正弦 B.锐角的余弦C.锐角的正切(3)该实践小组要写出一份完整的课题活动报告,除了上表的 项目外,你认为还需要增加哪些项目?(写出一个即可)
解析 (1)如图,延长CE交AB于点F,由题意得CF⊥AB,CF= BD,CD=BF=a m, 3分在Rt△CBF中,∠BCF=β,∴CF= = m,∴BD= m, 6分在Rt△ABD中,∠ADB=α,∴AB=BD·tan α= m,∴“定光塔”的高度AB为 m. 9分
(2)C. 11分(3)答案不唯一,如需要增加的项目:指导教师. 12分
23.[答案含评分细则](2023湖南益阳中考)(14分)如图,在Rt△ ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,点D在边AC上,将线段DA绕点D 按顺时针方向旋转90°得到DA',线段DA'交AB于点E,作A'F⊥ AB于点F,与线段AC交于点G,连结FC,GB.(1)求证:△ADE≌△A'DG;(2)求证:AF·GB=AG·FC;(3)若AC=8,tan A= ,当A'G平分四边形DCBE的面积时,求AD的长.
解析 (1)证明:∵∠A+∠AGA'=90°,∠A'+∠AGA'=90°,∴∠A=∠A', 1分∵AD=A'D,∠ADE=∠A'DG=90°,∴△ADE≌△A'DG. 2分(2)证明:∵∠AFG=∠ACB=90°,∠FAG=∠CAB,∴△AFG∽ △ACB, 4分∴ = ,∴ = ,∵∠FAC=∠GAB,
∴△FAC∽△GAB, 6分∴ = ,∴AF·GB=AG·FC. 7分(3)∵tan A= = = ,AC=8,∴BC=4,∴S△ACB= AC·BC=16, 8分由(1)知△ADE≌△A'DG,∴DE=DG,AE=A'G,设DE=DG=x,则AD=A'D=2x,AE=A'G= x,
∴A'E=A'D-DE=2x-x=x,∴S△ADE=S△A'DG=x2, 10分∵∠A=∠A',∠ADG=∠A'FE=90°,∴△A'FE∽△A'DG,∵ = = ,∴S△A'FE∶S△A'DG=1∶5,∴S四边形DGFE= S△A'DG= x2, 12分∵S△ACB=S△ADE+S四边形DCBE,A'G平分四边形DCBE的面积,
期末素养综合测试（一）
(满分120分, 限时100分钟)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.(2024福建泉州晋江期末)若二次根式 有意义,则x的取值范围是 ( )A.x>3 B.x≥3 C.x<3 D.x≤3
解析 根据题意得x-3≥0,解得x≥3.
2.(2024吉林长春九台二十二中期中)已知实数a在数轴上的 对应点的位置如图所示,则化简|a-1|- 的结果是( ) A.2a-3 B.-1 C.1 D.3-2a
解析 由题图可知1
3.(2023黑龙江哈尔滨中考)将10枚黑棋子、5枚白棋子装入 一个不透明的空盒子里,这些棋子除颜色外无其他差别,从盒 子中随机取出一枚棋子,则取出的棋子是黑棋子的概率是 ( )A. B. C. D.
解析 从盒子中随机取出一枚棋子有15种等可能的结果,其 中取出的棋子是黑棋子的结果有10种,故取出的棋子是黑棋 子的概率为 = .
4.(2024陕西咸阳礼泉期末)如图,l1∥l2∥l3,直线m,n与这三条 平行线分别相交于点A,B,C和D,E,F,若 = ,DE=3,则DF的长为( ) A. B.4 C. D.7
解析 ∵l1∥l2∥l3,∴ = ,即 = ,∴EF= ,∴DF=DE+EF=3+ = .
5.(2024福建泉州惠安期末)若m,n为方程x2+x-5=0的两根,则m2 +6m+5n的值为 ( ) A.0 B.1 C.10 D.15
解析 ∵m,n为方程x2+x-5=0的两根,∴m2+m-5=0,m+n=-1,∴m2+m=5,∴m2+6m+5n=(m2+m)+5(m+n)=5+5×(-1)=0.
6.(新考向·新定义试题)(2024湖北武汉江岸七一华源中学二模)阅读材料:余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理,运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是这样描述的:在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为:a2=b2+c2-2bccs A;b2=a2+c2-2accs B;c2=a2+b2-2abcs C.现已知在△ABC中,AB=2,BC=4,∠A=60°,则AC的长为 ( )
A.2 B. +1 C. -1 D.3
7.(2024河南漯河实验中学期中)如图,在等边三角形ABC中, BC=6,点D是边AB上一点,且BD=2,点P是边BC上一动点(D、 P两点均不与端点重合),作∠DPE=60°,PE交边AC于点E.若 CE=a,当满足条件的点P有且只有一个时,则a的值为 ( )A.4 B. C. D.5
解析 ∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,∴∠BDP+ ∠BPD=180°-∠B=120°,∵∠DPE=60°,∴∠BPD+∠CPE=120°,∴∠BDP=∠CPE,∵∠B=∠C=60°,∴△BDP∽△CPE,∴ = ,∴ = ,∴BP2-6BP+2a=0,∵满足条件的点P有且只有一个,∴方程BP2-6BP+2a=0有两个相等的实数根,∴ Δ=(-6)2-4×2a=0,∴a= .
8.(跨学科·物理)(2022海南海口模拟)如图所示的是一块光学 直角棱镜,其截面为直角三角形ABC,AB所在的面为不透光 的磨砂面,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=8 cm.现将一束单色光从 AC边上的O点入射,折射后到达AB边上的D点,恰有CD⊥AB, 再经过反射后(即∠CDE=∠ODC),从E点垂直于BC射出,则 光线在棱镜内部经过的路径OD+DE的总长度为 ( )
A.12 cm B.6 cmC.(4 +4)cm D. cm
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.(2023浙江金华中考)如图,把两根钢条OA,OB的一个端点连 在一起,点C,D分别是OA,OB的中点,若CD=4 cm,则该工件内 槽宽AB的长为 cm.
解析 ∵点C,D分别是OA,OB的中点,∴CD是△AOB的中位 线,∴AB=2CD,∵CD=4 cm,∴AB=2CD=8 cm.
10.(2023辽宁锦州中考)一个不透明的盒子中装有若干个红 球和5个黑球,这些球除颜色外均相同.经多次摸球试验后发 现,摸到黑球的频率稳定在0.25左右,则盒子中红球的个数约 为 .
解析 由题意可知盒子中球的总个数为5÷0.25=20,故盒子中 红球的个数为20-5=15.
11.(2024广西贵港桂平期末)如图,线段CD两端点的坐标分别 为C(2,4)和D(4,0),以原点为位似中心,将线段CD放大得到线 段AB.若点B的坐标为(10,0),则点A的坐标为 .
解析 对比D、B两点坐标易知,D点的横、纵坐标都乘2.5得 到B(10,0),故把C(2,4)的横、纵坐标都乘2.5得到A(5,10).
12.(新独家原创)舞剧《唯我青白》中的选段《瓷影》亮相2024年春晚,节目以青白瓷为出发点,通过舞者的肢体语言展 现青白瓷跨越千年的独特魅力,世人惊叹:一瓷跨千年,文明 越山海.如图,在一幅长为40 cm,宽为30 cm的《瓷影》图片 的四周镶上相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,设金色 纸边的宽为x cm,如果要使整个挂图的面积是2 440 cm2,那么 x满足的方程是 .
(40+2x)(30+2x)=2 440
解析 若金色纸边的宽度为x cm,则挂图的长为(40+2x)cm, 宽为(30+2x)cm,根据整个挂图的面积是2 440 cm2可列出方程 为(40+2x)(30+2x)=2 440.
13.(2024四川攀枝花盐边期末)已知a=3+2 ,b=3-2 ,则a2b-ab2= .
14.(2024福建福州一中期末)如图,等边三角形ABC中,D是AB 的中点,DE⊥AC于E,AE=2 cm,则△ABC的周长为 cm.
解析 ∵DE⊥AC,∴∠AED=90°,∵△ABC是等边三角形,∴ AB=BC=AC,∠A=60°,∴∠ADE=90°-∠A=30°,∵AE=2 cm,∴ AD=2AE=4 cm,∵D是AB的中点,∴AB=2AD=8 cm,∴AB=AC =BC=8 cm,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=8+8+8=24(cm).
15.(2023黑龙江牡丹江中考)如图,将45°的∠AOB按下面的方 式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺 下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm,若按 相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺 上沿的交点C在尺上的读数为 cm.
解析 ∵∠AOB=45°,∠AOC=22.5°,∴∠BOC=22.5°=∠ AOC,∵BC∥OA,∴∠BCO=∠AOC,∴∠BCO=∠BOC,∴BC= OB=2 cm,易知△ODB是等腰直角三角形,∴OB= BD=2 cm,∴CD=BC+BD=(2 +2)cm.∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为(2 +2)cm.
16.(2024吉林长春二道期末)如图1,一张正三角形纸片ABC, AB=32 cm,点D在边AB上,AD=10 cm,点E是边BC上的一点.如 图2,将△BDE沿DE翻折得到△B'DE,△B'DE与△ABC的边 AC相交于点M和点N.若AM=16 cm,B'M=8 cm,则CN的长度为 cm.
解析 ∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=32 cm,∠A=∠B=60°,∵AD=10 cm,∴BD=AB-AD=22 cm,由折叠得BD=B'D=22 cm,∠B=∠B'=60°,∴∠A=∠B',∵B'M=8 cm,∴DM=B'D-B'M= 22-8=14(cm),∵∠AMD=∠B'MN,∴△AMD∽△B'MN,∴ = ,∴ = ,∴MN=7 cm,∴CN=AC-AM-MN=32-16-7=9(cm).
三、解答题(共64分)
17.[答案含评分细则](6分)计算:(1)(2024湖南衡阳船山实验中学期末)( + )2- + ;(2)(2024山西省实验中学二模)tan 45°+2sin 30°-cs245°+cs 60°.
解析 (1)原式=3+2 +2-2 + 2分=5+ . 3分(2)原式=1+2× - + 4分=1+1- + =2. 6分
18.[答案含评分细则](2024陕西榆林高新区期末)(6分)某商 店以每个8元的成本价购进了一批玩具陀螺,如果以每个14 元的价格出售,那么每天可销售40个,经市场调查发现,若每 个陀螺的售价每上涨1元,则每天的销售量就减少2个.每个陀 螺涨价多少元时,才能让顾客得到实惠的同时,商店每天获得 的利润为320元?
解析 设每个陀螺涨价x元,则每天可售出(40-2x)个, 1分依题意得(14-8+x)(40-2x)=320, 3分解得x1=4,x2=10, 4分∵要让顾客得到实惠,∴x=4,即当每个陀螺涨价4元时,才能让顾客得到实惠的同 时,商店每天获得的利润为320元. 6分
19.[答案含评分细则](易错题)(2024广东惠州大亚湾期末)(8 分)已知关于x的一元二次方程x2-4x-2m+5=0有两个不相等实 数根.(1)若m=5,求此时方程的解;(2)当x1·x2>0时,求m的取值范围.
解析 (1)由题意得x2-4x-2×5+5=0,整理得x2-4x-5=0, 2分解得x1=5,x2=-1. 3分(2)∵x2-4x-2m+5=0有两个不相等实数根,∴x1·x2=-2m+5, 5分∵x1·x2>0,∴-2m+5>0,解得m< , 7分∵Δ=(-4)2-4(-2m+5)>0,
∴m> ,∴m的取值范围为
(1)当α=30°时,验证sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立.(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举 出一个反例.
解析 (1)当α=30°时,sin2α+sin2(90°-α)=sin230°+sin260°= + = + =1.成立. 3分(2)小明的猜想成立. 4分证明:依题意画图如下, 5分
在△ABC中,∠C=90°,∴BC2+AC2=AB2,设∠A=α,则∠B=90°-α, 6分∴sin2α+sin2(90°-α)= + 7分= = =1. 8分
21.[答案含评分细则](2022辽宁锦州中考)(10分)小华同学从 一副扑克牌中取出花色为“红心”“黑桃”“方块”“梅 花”的扑克牌各1张放入不透明的甲盒中,再从这副扑克牌 中取出花色为“红心”“黑桃”“方块”“梅花”的扑克 牌各1张放入不透明的乙盒中.(1)小华同学从甲盒中随机抽取1张,抽到扑克牌花色为“红 心”的概率为 ;
(2)小华同学从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌,请用 画树状图或列表的方法,求抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率.
解析 (1)小华同学从甲盒中随机抽取1张,抽到扑克牌花色 为“红心”的概率为 . 2分(2)把花色为“红心”“黑桃”“方块”“梅花”的扑克牌 分别记为A、B、C、D,画树状图如下, 7分
由图可知共有16种等可能的结果,其中抽到扑克牌花色恰好 是1张“红心”和1张“方块”的结果有2种,∴抽到扑克牌 花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率是 = . 10分
22.[答案含评分细则](新考向·项目式学习试题)(2024福建泉 州洛江期末)(12分)阅读下列材料,回答问题:
(1)请你帮助该实践小组求“定光塔”的高度AB.(结果用 含a,α,β的式子表示)(2)在求“定光塔”的高度中,为更简便地计算出结果,用到 的三角函数知识是 .A.锐角的正弦 B.锐角的余弦C.锐角的正切(3)该实践小组要写出一份完整的课题活动报告,除了上表的 项目外,你认为还需要增加哪些项目?(写出一个即可)
解析 (1)如图,延长CE交AB于点F,由题意得CF⊥AB,CF= BD,CD=BF=a m, 3分在Rt△CBF中,∠BCF=β,∴CF= = m,∴BD= m, 6分在Rt△ABD中,∠ADB=α,∴AB=BD·tan α= m,∴“定光塔”的高度AB为 m. 9分
(2)C. 11分(3)答案不唯一,如需要增加的项目:指导教师. 12分
23.[答案含评分细则](2023湖南益阳中考)(14分)如图,在Rt△ ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,点D在边AC上,将线段DA绕点D 按顺时针方向旋转90°得到DA',线段DA'交AB于点E,作A'F⊥ AB于点F,与线段AC交于点G,连结FC,GB.(1)求证:△ADE≌△A'DG;(2)求证:AF·GB=AG·FC;(3)若AC=8,tan A= ,当A'G平分四边形DCBE的面积时,求AD的长.
解析 (1)证明:∵∠A+∠AGA'=90°,∠A'+∠AGA'=90°,∴∠A=∠A', 1分∵AD=A'D,∠ADE=∠A'DG=90°,∴△ADE≌△A'DG. 2分(2)证明:∵∠AFG=∠ACB=90°,∠FAG=∠CAB,∴△AFG∽ △ACB, 4分∴ = ,∴ = ,∵∠FAC=∠GAB,
∴△FAC∽△GAB, 6分∴ = ,∴AF·GB=AG·FC. 7分(3)∵tan A= = = ,AC=8,∴BC=4,∴S△ACB= AC·BC=16, 8分由(1)知△ADE≌△A'DG,∴DE=DG,AE=A'G,设DE=DG=x,则AD=A'D=2x,AE=A'G= x,
∴A'E=A'D-DE=2x-x=x,∴S△ADE=S△A'DG=x2, 10分∵∠A=∠A',∠ADG=∠A'FE=90°,∴△A'FE∽△A'DG,∵ = = ,∴S△A'FE∶S△A'DG=1∶5,∴S四边形DGFE= S△A'DG= x2, 12分∵S△ACB=S△ADE+S四边形DCBE,A'G平分四边形DCBE的面积,
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