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华东师大版初中数学九年级上册期中素养综合测试卷(一)课件
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这是一份华东师大版初中数学九年级上册期中素养综合测试卷(一)课件，共43页。
期中素养综合测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1. (2024河南南阳镇平期中,2,★☆☆)若0
解析 B ∵x=2是关于x的方程x2+ax-3a=0的一个根,∴22+2a-3a=0,解得a=4.
3. (2024安徽滁州天长期中,4,★☆☆)大自然是美的设计师,即使是一个小小的盆 景,经常也会产生最具美感的黄金分割比(黄金分割比约为0.618).如图,点B为AC 的黄金分割点(AB>BC),若AC=100 cm,则BC的长约为 对应目标编号M9123001 ( ) A. 42 cm B. 38 cm C. 62 cm D. 70 cm
4. (2023山西长治屯留期末,3,★☆☆)下列运算中,正确的是 对应目标编号M9121002 ( ) A. (2 - )(2 + )=1 B. - =2 C. ÷ =-8 D. +2 =
解析 B (2 - )(2 + )=12-5=7,故A错误; - =5 -3 =2 ,故B正确; ÷ = × =-4,故C错误; +2 = +2 ,故D错误.
5. (2023辽宁朝阳中考,8,★☆☆)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,2),B(4,1), 以原点O为位似中心,相似比为2∶1,把△OAB放大,则点A的对应点A'的坐标是 ( )A. (1,1) B. (4,4)或(8,2)C. (4,4) D. (4,4)或(-4,-4)
解析 D ∵以原点O为位似中心,相似比为2∶1,把△OAB放大,点A的坐标为 (2,2),∴点A的对应点A'的坐标为(2×2,2×2)或(2×(-2),2×(-2)),即(4,4)或(-4,-4).
6. [教材变式P40问题3](2023湖南衡阳衡山期末,6,★☆☆)对一块正方形空地划 出部分区域进行绿化(图中阴影部分),剩余部分是面积为30 m2的矩形,则原正方 形空地的边长为 对应目标编号M9122005 （ ） A. 6 m B. 7 m C. 8 m D. 9 m
解析 C 设原正方形的边长为x m,依题意得(x-3)(x-2)=30,解得x1=8,x2=-3(不合 题意,舍去),即原正方形空地的边长为8 m.
7. (2024河南南阳镇平期末,6,★☆☆)已知实数m,现甲、乙、丙、丁四人对关于 x的方程(m-2)x2+2x-1=0讨论如下,则下列判断正确的是 对应目标编号M9122003 ( )
A. 甲和丙说得对 B. 甲和丁说得对C. 乙和丙说得对 D. 乙和丁说得对
解析 D 当m-2=0,即m=2时,方程(m-2)x2+2x-1=0为2x-1=0,此时方程为一元一 次方程,所以甲的判断错误;当m-2≠0,即m≠2时,方程(m-2)x2+2x-1=0为一元二次 方程,所以乙的判断正确;若m=2,解方程2x-1=0得x= ;若m≠2,当Δ≥0时,方程(m-2)x2+2x-1=0有两个实数根,解22-4(m-2)×(-1)≥0,得m≥1,所以丁的判断正确;若m ≠2,当Δ<0时,方程(m-2)x2+2x-1=0没有实数根,解22-4(m-2)×(-1)<0,得m<1,所以丙 的判断错误.
8. (2023黑龙江哈尔滨中考,9,★★☆)如图,AC,BD相交于点O,AB∥DC,M是AB 的中点,MN∥AC,交BD于点N,若DO∶OB=1∶2,AC=12,则MN的长为 对应目标编号M9123005 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
解析 B ∵AB∥DC,∴△CDO∽△ABO,∴ = ,∵DO∶OB=1∶2,∴ = ,∴OC= OA,∵AC=OA+OC=12,∴OA+ OA=12,∴OA=8,∵MN∥AC,M是AB的中点,∴MN为△AOB的中位线,∴MN= OA= ×8=4.
9. (2024湖北武汉二中广雅中学月考,9,★★☆)设α、β是方程x2+2 019x-2=0的两 个实数根,则(α2+2 022α-1)(β2+2 022β-1)的值为 ( )A. 6 076 B. -6 074 C. 6 040 D. -6 040
解析 B ∵α、β是方程x2+2 019x-2=0的两个实数根,∴α2+2 019α-2=0,β2+2 019 β-2=0,α+β=-2 019,αβ=-2,∴α2=2-2 019α,β2=2-2 019β,∴(α2+2 022α-1)(β2+2 022β-1) =(2-2 019α+2 022α-1)(2-2 019β+2 022β-1)=(1+3α)(1+3β)=1+3(α+β)+9αβ=1+3×(-2 019)+9×(-2)=-6 074.
10. (2023浙江绍兴中考,10,★★★)如图,在△ABC中,D是边BC上的点(不与点B, C重合),过点D作DE∥AB交AC于点E,过点D作DF∥AC交AB于点F,N是线段BF 上的点,BN=2NF,M是线段DE上的点,DM=2ME,连结EF.若已知△CMN的面积, 则一定能求出 ( ) A. △AFE的面积 B. △BDF的面积C. △BCN的面积 D. △DCE的面积
解析 D 连结ND(图略),∵DE∥AB,DF∥AC,∴∠ECD=∠FDB,∠EDC=∠FBD,∠BFD=∠A,∠A=∠DEC,∴△FBD∽△EDC,∠NFD=∠MEC,∴ = ,∵DM=2ME,BN=2NF,∴NF= BF,ME= DE,∴ = ,∴ = ,∴△NFD∽△MEC,∴∠FDN=∠ECM.∵∠FDB=∠ECD,∴∠NDB=∠MCD,∴MC∥ND, ∴S△MNC=S△MDC.∵DM=2ME,∴S△MEC= S△DMC= S△MNC,∴S△DCE= S△MNC+S△MNC= S△MNC.
二、填空题(共10小题,每小题3分,计30分)
11. (2023四川资阳安岳期末,13,★☆☆)若最简二次根式2 与 是同类二次根式,则m= . 对应目标编号M9121002
12. (2023湖南衡阳船山实验中学月考,14,★☆☆)把一元二次方程 x2-3x-1=0配方成(x+a)2=b的形式,则b= . 对应目标编号M9122002
13. (2023海南儋州期末,14,★☆☆)已知-2
15. (2024四川成都七中育才学校银杏校区期中,19,★☆☆)若m= ,则m2-2m-1= .
方法解读 解决有关二次根式的化简求值问题时,一般先将已知代数式化简,然后代入 变形后的待求值代数式中计算,能用整体代入的一定要整体代入,以简化运算.
16. (2024河南开封兰考实验中学期中,16,★☆☆)图①是用杠杆 撬石头的示意图,当用力压杠杆时,杠杆绕着支点转动,另一端会向上撬起,石头 就被撬动了.在图②中,杠杆的D端被向上撬起的距离BD=8 cm,动力臂OA与阻力 臂OB满足OA=3OB(AB与CD相交于点O),要把这块石头撬起,至少要将杠杆的C 点向下压 cm.
解析 由题意得AC∥BD,∴△AOC∽△BOD,∴ = ,∵AO=3OB,∴ = =3,∴AC=3BD=24 cm,∴至少要将杠杆的C点向下压24 cm.
17. (2024山东德州庆云期末改编,15,★☆☆)直播购物逐渐走进了人们的生活.某 电商在平台上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售,如果按每件60元 销售,每天可卖出200件.通过市场调查发现,每件小商品售价每降低1元,日销售 量增加20件.若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,则每件售价应定为 元.
解析 设每件售价应定为x元,根据题意得(x-40)\[200+20(60-x)\]=(60-40)×200,解 得x1=50,x2=60,∵商家想尽快销售完该款商品,∴x=50,即每件售价应定为50元.
18. (★★☆)在网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形称 为“格点三角形”.如图,在4×4的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC是 一个格点三角形,如果△DEF也是该网格中的一个格点三角形,它与△ABC相似 且面积最大,那么△DEF与△ABC相似比的值是 .
解析 由网格可得AB= ,BC=2,AC= ,如图所示,作△DEF,DE= ,DF= ,EF=5,∵ = = = ,∴△EDF∽△ABC,∴△DEF与△ABC相似比的值是 .
19. (2023北京昌平期末,16,★★☆)我们规定:如果实数a,b 满足a+b=1,那么称a与b互为“匀称数”.已知(m-1)(1+ )=-1,那么m与 互为“匀称数”.
20. [一题多解](2022江苏苏州中考,16,★★★)如图,在矩形ABCD中, = .动点M从点A出发,沿边AD向点D匀速运动,动点N从点B出发,沿边BC向点C匀速运 动,连结MN.动点M,N同时出发,点M运动的速度为v1,点N运动的速度为v2,且v1
解法2:如图2,连结BB',过点M作MH⊥BC于点H.设AB=CD=6m(m>0),CB=9m,BN =NB'=n(n>0),∵B'为DC的中点,∴DB'=B'C=3m,在Rt△B'CN中,NB'2=B'C2+CN2,∴n2=(3m)2+(9m-n)2,∴n=5m,∴CN=4m,由翻折可知BB'⊥MN,∴∠B'BC+∠MNH=90°,∵∠B'BC+∠CB'B=90°,∴∠MNH=∠CB'B,∵∠MHN=∠C=90°,∴△MNH∽
三、解答题(共6小题,计60分)
21. (2023河南郑州中原一模,19,★☆☆)(6分)计算:(1) × - . (2)(1-2 )2-(2- )(2+ ).解析 (1)原式= - (2分)=20- =20-3=17. (3分)(2)原式=1-4 +12-(4-3) (5分)=1-4 +12-1=12-4 . (6分)
22. (2023广西桂林雁山中学期末,20,★☆☆)(8分)如图,在平面直角坐标系中,写 出△ABC的顶点A、B、C的坐标,并在网格中y轴左侧画出△ABC以坐标原点O 为位似中心,相似比为1∶2 的位似图形.
解析 A(0,-1),B(3,0),C(1,-2). (3分)如图所示,△DEF就是所求作的三角形. (8分)
23. (2024河南南阳桐柏安棚中学月考,20,★☆☆)(10分)某工厂生产的某种产品 按质量分为10个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产76件,每件利润10元. 每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少4件.若生产第x档次的产品 一天的总利润为1 080元,求该产品的质量档次.解析 设该产品的质量档次为x,依题意可得[10+2(x-1)][76-4(x-1)]=1 080, (5分)整理得x2-16x+55=0,解得x1=5,x2=11, (8分)∵x≤10,∴x=5,故该产品的质量为第5档次. (10分)
24. (2023河南驻马店上蔡期中,23,★★☆)(12分)“跳眼 法”是炮兵常用的一种简易测距方法,结合相似三角形原理和光的直线传播原 理,可以计算出被测物的大致距离.如图,点A为左眼,点B为右眼,点O为右手大拇 指,点C为敌人,点D为敌人右侧的某一个参照物(CD∥AB),目测CD的长度后,利 用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离.(1)“跳眼法”运用了相似三角形的哪些知识?(写出一条即可)(2)已知大多数人的眼距约为6.4厘米,手臂长约为64厘米.若CD的估测长度为50 米,那么C、O的大致距离为多少米?
解析 (1)答案不唯一,写出一条即可.①平行于三角形一边的直线,和其他两边 (或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似;②相似三角形的对应边 成比例. (4分)(2)∵CD∥AB,∴△ABO∽△DCO,∴ = , (8分)根据题意得OB=64厘米,AB=6.4厘米,CD=50米,∴CO= =500米,故C、O的大致距离为500米. (12分)
25. [新课标例67变式](2022湖南湘潭长岭中学模拟,21,★★☆)(12分)一元二次 方程根与系数的关系:如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2,那么x1+x2 =- ,x1x2= .某班学完该内容后,王老师要求学生根据上述知识进行编题、解题训练,其中小明同学编的练习题如下:已知k=3,关于x的方程x2-3x+k=0的两个实 数根是x1,x2,求 + 的值.小明同学对这道题的解答过程如下:解:∵k=3,∴已知方程是x2-3x+3=0,∴x1+x2=3,x1x2=3,∴ + = = = =1,∴ + =1.(1)小明同学所编的练习题及他的解答过程正确吗?并简述理由.
(2)请你对小明同学所编的练习题中的k另取适当的正整数,其他条件不变,求 + 的值.
解析 (1)小明同学所编的练习题及他的解答过程不正确. (2分)理由:当k=3时,Δ=9-12=-3<0,故方程x2-3x+3=0无实数根. (4分)(2)∵方程x2-3x+k=0的两个实数根是x1,x2,∴Δ=(-3)2-4k≥0, (6分)∴k≤ , (7分)∵k为正整数,∴k可取1,2. (8分)当k=1时,方程为x2-3x+1=0,则x1+x2=3,x1x2=1, (10分)∴原式= = = =7.(答案不唯一,也可选k=2) (12分)
26. (2024河南商丘永城期末,22,★★★)(12分)在△ABC中,BE是AC边上的中线, 点D在射线BC上.(1)猜想验证:如图①,点D在BC边上,BD∶BC=3∶4,AD与BE相交于点P,过点A作 AF∥BC,交BE的延长线于点F,求 的值.(2)探究:如图②,点D在BC的延长线上,AD与BE的延长线交于点P,CD∶BC=1∶ 3,求 的值.(3)应用:如图③,在(2)的条件下,且∠ACB=90°,若CD=4,AC=12,请直接写出BP的 长.
解析 (1)∵BD∶BC=3∶4,∴设BD=3x,BC=4x,∵BE是AC边上的中线,∴AE=CE,∵AF∥BC,∴△AFE∽△CBE, (2分)∴ = =1,∴AF=BC=4x,∵AF∥BC,∴△AFP∽△DBP,∴ = = = . (4分)(2)如图1,过点A作AF∥BC,交BP的延长线于点F,
∵CD∶BC=1∶3,∴设CD=y,BC=3y,则BD=4y,∵BE是AC边上的中线,∴AE=CE, (6分)∵AF∥BC,∴△AFE∽△CBE,∴ = =1,∴AF=BC=3y, (7分)∵AF∥BC,∴△AFP∽△DBP,∴ = = = . (8分) (3)BP的长为 . (12分)
期中素养综合测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1. (2024河南南阳镇平期中,2,★☆☆)若0
解析 B ∵x=2是关于x的方程x2+ax-3a=0的一个根,∴22+2a-3a=0,解得a=4.
3. (2024安徽滁州天长期中,4,★☆☆)大自然是美的设计师,即使是一个小小的盆 景,经常也会产生最具美感的黄金分割比(黄金分割比约为0.618).如图,点B为AC 的黄金分割点(AB>BC),若AC=100 cm,则BC的长约为 对应目标编号M9123001 ( ) A. 42 cm B. 38 cm C. 62 cm D. 70 cm
4. (2023山西长治屯留期末,3,★☆☆)下列运算中,正确的是 对应目标编号M9121002 ( ) A. (2 - )(2 + )=1 B. - =2 C. ÷ =-8 D. +2 =
解析 B (2 - )(2 + )=12-5=7,故A错误; - =5 -3 =2 ,故B正确; ÷ = × =-4,故C错误; +2 = +2 ,故D错误.
5. (2023辽宁朝阳中考,8,★☆☆)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,2),B(4,1), 以原点O为位似中心,相似比为2∶1,把△OAB放大,则点A的对应点A'的坐标是 ( )A. (1,1) B. (4,4)或(8,2)C. (4,4) D. (4,4)或(-4,-4)
解析 D ∵以原点O为位似中心,相似比为2∶1,把△OAB放大,点A的坐标为 (2,2),∴点A的对应点A'的坐标为(2×2,2×2)或(2×(-2),2×(-2)),即(4,4)或(-4,-4).
6. [教材变式P40问题3](2023湖南衡阳衡山期末,6,★☆☆)对一块正方形空地划 出部分区域进行绿化(图中阴影部分),剩余部分是面积为30 m2的矩形,则原正方 形空地的边长为 对应目标编号M9122005 （ ） A. 6 m B. 7 m C. 8 m D. 9 m
解析 C 设原正方形的边长为x m,依题意得(x-3)(x-2)=30,解得x1=8,x2=-3(不合 题意,舍去),即原正方形空地的边长为8 m.
7. (2024河南南阳镇平期末,6,★☆☆)已知实数m,现甲、乙、丙、丁四人对关于 x的方程(m-2)x2+2x-1=0讨论如下,则下列判断正确的是 对应目标编号M9122003 ( )
A. 甲和丙说得对 B. 甲和丁说得对C. 乙和丙说得对 D. 乙和丁说得对
解析 D 当m-2=0,即m=2时,方程(m-2)x2+2x-1=0为2x-1=0,此时方程为一元一 次方程,所以甲的判断错误;当m-2≠0,即m≠2时,方程(m-2)x2+2x-1=0为一元二次 方程,所以乙的判断正确;若m=2,解方程2x-1=0得x= ;若m≠2,当Δ≥0时,方程(m-2)x2+2x-1=0有两个实数根,解22-4(m-2)×(-1)≥0,得m≥1,所以丁的判断正确;若m ≠2,当Δ<0时,方程(m-2)x2+2x-1=0没有实数根,解22-4(m-2)×(-1)<0,得m<1,所以丙 的判断错误.
8. (2023黑龙江哈尔滨中考,9,★★☆)如图,AC,BD相交于点O,AB∥DC,M是AB 的中点,MN∥AC,交BD于点N,若DO∶OB=1∶2,AC=12,则MN的长为 对应目标编号M9123005 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
解析 B ∵AB∥DC,∴△CDO∽△ABO,∴ = ,∵DO∶OB=1∶2,∴ = ,∴OC= OA,∵AC=OA+OC=12,∴OA+ OA=12,∴OA=8,∵MN∥AC,M是AB的中点,∴MN为△AOB的中位线,∴MN= OA= ×8=4.
9. (2024湖北武汉二中广雅中学月考,9,★★☆)设α、β是方程x2+2 019x-2=0的两 个实数根,则(α2+2 022α-1)(β2+2 022β-1)的值为 ( )A. 6 076 B. -6 074 C. 6 040 D. -6 040
解析 B ∵α、β是方程x2+2 019x-2=0的两个实数根,∴α2+2 019α-2=0,β2+2 019 β-2=0,α+β=-2 019,αβ=-2,∴α2=2-2 019α,β2=2-2 019β,∴(α2+2 022α-1)(β2+2 022β-1) =(2-2 019α+2 022α-1)(2-2 019β+2 022β-1)=(1+3α)(1+3β)=1+3(α+β)+9αβ=1+3×(-2 019)+9×(-2)=-6 074.
10. (2023浙江绍兴中考,10,★★★)如图,在△ABC中,D是边BC上的点(不与点B, C重合),过点D作DE∥AB交AC于点E,过点D作DF∥AC交AB于点F,N是线段BF 上的点,BN=2NF,M是线段DE上的点,DM=2ME,连结EF.若已知△CMN的面积, 则一定能求出 ( ) A. △AFE的面积 B. △BDF的面积C. △BCN的面积 D. △DCE的面积
解析 D 连结ND(图略),∵DE∥AB,DF∥AC,∴∠ECD=∠FDB,∠EDC=∠FBD,∠BFD=∠A,∠A=∠DEC,∴△FBD∽△EDC,∠NFD=∠MEC,∴ = ,∵DM=2ME,BN=2NF,∴NF= BF,ME= DE,∴ = ,∴ = ,∴△NFD∽△MEC,∴∠FDN=∠ECM.∵∠FDB=∠ECD,∴∠NDB=∠MCD,∴MC∥ND, ∴S△MNC=S△MDC.∵DM=2ME,∴S△MEC= S△DMC= S△MNC,∴S△DCE= S△MNC+S△MNC= S△MNC.
二、填空题(共10小题,每小题3分,计30分)
11. (2023四川资阳安岳期末,13,★☆☆)若最简二次根式2 与 是同类二次根式,则m= . 对应目标编号M9121002
12. (2023湖南衡阳船山实验中学月考,14,★☆☆)把一元二次方程 x2-3x-1=0配方成(x+a)2=b的形式,则b= . 对应目标编号M9122002
13. (2023海南儋州期末,14,★☆☆)已知-2
15. (2024四川成都七中育才学校银杏校区期中,19,★☆☆)若m= ,则m2-2m-1= .
方法解读 解决有关二次根式的化简求值问题时,一般先将已知代数式化简,然后代入 变形后的待求值代数式中计算,能用整体代入的一定要整体代入,以简化运算.
16. (2024河南开封兰考实验中学期中,16,★☆☆)图①是用杠杆 撬石头的示意图,当用力压杠杆时,杠杆绕着支点转动,另一端会向上撬起,石头 就被撬动了.在图②中,杠杆的D端被向上撬起的距离BD=8 cm,动力臂OA与阻力 臂OB满足OA=3OB(AB与CD相交于点O),要把这块石头撬起,至少要将杠杆的C 点向下压 cm.
解析 由题意得AC∥BD,∴△AOC∽△BOD,∴ = ,∵AO=3OB,∴ = =3,∴AC=3BD=24 cm,∴至少要将杠杆的C点向下压24 cm.
17. (2024山东德州庆云期末改编,15,★☆☆)直播购物逐渐走进了人们的生活.某 电商在平台上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售,如果按每件60元 销售,每天可卖出200件.通过市场调查发现,每件小商品售价每降低1元,日销售 量增加20件.若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,则每件售价应定为 元.
解析 设每件售价应定为x元,根据题意得(x-40)\[200+20(60-x)\]=(60-40)×200,解 得x1=50,x2=60,∵商家想尽快销售完该款商品,∴x=50,即每件售价应定为50元.
18. (★★☆)在网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形称 为“格点三角形”.如图,在4×4的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC是 一个格点三角形,如果△DEF也是该网格中的一个格点三角形,它与△ABC相似 且面积最大,那么△DEF与△ABC相似比的值是 .
解析 由网格可得AB= ,BC=2,AC= ,如图所示,作△DEF,DE= ,DF= ,EF=5,∵ = = = ,∴△EDF∽△ABC,∴△DEF与△ABC相似比的值是 .
19. (2023北京昌平期末,16,★★☆)我们规定:如果实数a,b 满足a+b=1,那么称a与b互为“匀称数”.已知(m-1)(1+ )=-1,那么m与 互为“匀称数”.
20. [一题多解](2022江苏苏州中考,16,★★★)如图,在矩形ABCD中, = .动点M从点A出发,沿边AD向点D匀速运动,动点N从点B出发,沿边BC向点C匀速运 动,连结MN.动点M,N同时出发,点M运动的速度为v1,点N运动的速度为v2,且v1
解法2:如图2,连结BB',过点M作MH⊥BC于点H.设AB=CD=6m(m>0),CB=9m,BN =NB'=n(n>0),∵B'为DC的中点,∴DB'=B'C=3m,在Rt△B'CN中,NB'2=B'C2+CN2,∴n2=(3m)2+(9m-n)2,∴n=5m,∴CN=4m,由翻折可知BB'⊥MN,∴∠B'BC+∠MNH=90°,∵∠B'BC+∠CB'B=90°,∴∠MNH=∠CB'B,∵∠MHN=∠C=90°,∴△MNH∽
三、解答题(共6小题,计60分)
21. (2023河南郑州中原一模,19,★☆☆)(6分)计算:(1) × - . (2)(1-2 )2-(2- )(2+ ).解析 (1)原式= - (2分)=20- =20-3=17. (3分)(2)原式=1-4 +12-(4-3) (5分)=1-4 +12-1=12-4 . (6分)
22. (2023广西桂林雁山中学期末,20,★☆☆)(8分)如图,在平面直角坐标系中,写 出△ABC的顶点A、B、C的坐标,并在网格中y轴左侧画出△ABC以坐标原点O 为位似中心,相似比为1∶2 的位似图形.
解析 A(0,-1),B(3,0),C(1,-2). (3分)如图所示,△DEF就是所求作的三角形. (8分)
23. (2024河南南阳桐柏安棚中学月考,20,★☆☆)(10分)某工厂生产的某种产品 按质量分为10个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产76件,每件利润10元. 每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少4件.若生产第x档次的产品 一天的总利润为1 080元,求该产品的质量档次.解析 设该产品的质量档次为x,依题意可得[10+2(x-1)][76-4(x-1)]=1 080, (5分)整理得x2-16x+55=0,解得x1=5,x2=11, (8分)∵x≤10,∴x=5,故该产品的质量为第5档次. (10分)
24. (2023河南驻马店上蔡期中,23,★★☆)(12分)“跳眼 法”是炮兵常用的一种简易测距方法,结合相似三角形原理和光的直线传播原 理,可以计算出被测物的大致距离.如图,点A为左眼,点B为右眼,点O为右手大拇 指,点C为敌人,点D为敌人右侧的某一个参照物(CD∥AB),目测CD的长度后,利 用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离.(1)“跳眼法”运用了相似三角形的哪些知识?(写出一条即可)(2)已知大多数人的眼距约为6.4厘米,手臂长约为64厘米.若CD的估测长度为50 米,那么C、O的大致距离为多少米?
解析 (1)答案不唯一,写出一条即可.①平行于三角形一边的直线,和其他两边 (或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似;②相似三角形的对应边 成比例. (4分)(2)∵CD∥AB,∴△ABO∽△DCO,∴ = , (8分)根据题意得OB=64厘米,AB=6.4厘米,CD=50米,∴CO= =500米,故C、O的大致距离为500米. (12分)
25. [新课标例67变式](2022湖南湘潭长岭中学模拟,21,★★☆)(12分)一元二次 方程根与系数的关系:如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2,那么x1+x2 =- ,x1x2= .某班学完该内容后,王老师要求学生根据上述知识进行编题、解题训练,其中小明同学编的练习题如下:已知k=3,关于x的方程x2-3x+k=0的两个实 数根是x1,x2,求 + 的值.小明同学对这道题的解答过程如下:解:∵k=3,∴已知方程是x2-3x+3=0,∴x1+x2=3,x1x2=3,∴ + = = = =1,∴ + =1.(1)小明同学所编的练习题及他的解答过程正确吗?并简述理由.
(2)请你对小明同学所编的练习题中的k另取适当的正整数,其他条件不变,求 + 的值.
解析 (1)小明同学所编的练习题及他的解答过程不正确. (2分)理由:当k=3时,Δ=9-12=-3<0,故方程x2-3x+3=0无实数根. (4分)(2)∵方程x2-3x+k=0的两个实数根是x1,x2,∴Δ=(-3)2-4k≥0, (6分)∴k≤ , (7分)∵k为正整数,∴k可取1,2. (8分)当k=1时,方程为x2-3x+1=0,则x1+x2=3,x1x2=1, (10分)∴原式= = = =7.(答案不唯一,也可选k=2) (12分)
26. (2024河南商丘永城期末,22,★★★)(12分)在△ABC中,BE是AC边上的中线, 点D在射线BC上.(1)猜想验证:如图①,点D在BC边上,BD∶BC=3∶4,AD与BE相交于点P,过点A作 AF∥BC,交BE的延长线于点F,求 的值.(2)探究:如图②,点D在BC的延长线上,AD与BE的延长线交于点P,CD∶BC=1∶ 3,求 的值.(3)应用:如图③,在(2)的条件下,且∠ACB=90°,若CD=4,AC=12,请直接写出BP的 长.
解析 (1)∵BD∶BC=3∶4,∴设BD=3x,BC=4x,∵BE是AC边上的中线,∴AE=CE,∵AF∥BC,∴△AFE∽△CBE, (2分)∴ = =1,∴AF=BC=4x,∵AF∥BC,∴△AFP∽△DBP,∴ = = = . (4分)(2)如图1,过点A作AF∥BC,交BP的延长线于点F,
∵CD∶BC=1∶3,∴设CD=y,BC=3y,则BD=4y,∵BE是AC边上的中线,∴AE=CE, (6分)∵AF∥BC,∴△AFE∽△CBE,∴ = =1,∴AF=BC=3y, (7分)∵AF∥BC,∴△AFP∽△DBP,∴ = = = . (8分) (3)BP的长为 . (12分)
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