高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第3课时函数的奇偶性和周期(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第3课时函数的奇偶性和周期(原卷版+解析)，共31页。
【回归教材】
1.函数奇偶性定义
2.函数奇偶性性质
①对数型复合函数判断奇偶性常用或来判断奇偶性.
②，在它们的公共定义域上有下面的结论：
③若是定义在区间上奇函数，且，则（注意：反之不成立）
3.函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则： ①； ②；
（2）点对称：若函数关于点对称，则： ① ②
（3）点对称：若函数关于直线对称，则：
4.函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数，.
①若，则函数的周期；
②若，则函数的周期；
③若，则函数的周期；
④若，则函数的周期；
⑤，则函数的周期
【典例讲练】
题型一 判断函数的奇偶性
【例1-1】判断下列函数的奇偶性：
(1) (2) (3) (4)
【例1-2】判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）； （3）.
归纳总结：
【练习1-1】判断下列函数的奇偶性并证明：
(1)； (2)．
题型二 函数奇偶性的应用
【例2-1】已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，试求出函数在R上的表达式．
【例2-2】定义在区间上的偶函数，最大值为，则__________.
【例2-3】（1）设定义在上的奇函数在上是减函数，若，求实数m的取值范围；
（2）定义在上的偶函数，当时，为减函数，若成立，求m的取值范围.
归纳总结：
【练习2-1】已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
【练习2-2】已知定义在上的函数.
(1)求证：是奇函数；
(2)求证：在上单调递增；
(3)求不等式的解集.
题型三 函数的对称性
【例3-1】已知函数，若，则___________.
【例3-2】已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，则（ ）
A．0B．6C．12D．24
归纳总结：
【练习3-1】已知函数，若是奇函数，则（ ）
A．1B．2C．D．
【练习3-2】已知函数，则（ ）
A．10130B．10132C．12136D．12138
题型四 函数的周期性
【例4-1】已知定义在R上的函数满足，当时，，则（ ）
A. B. 2C. D. 8
【例4-2】已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)＋f(－x)＝0，偶函数，当0＜x≤ 时，f(x)＝－x，则f(2 021)＋f(2 022)＝（ ）
A．1B．0C．-1D．2
归纳总结：
【练习4-1】已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【练习4-2】已知函数的定义域为R，对任意的恒成立，且函数的图像关于点对称，，则（ ）
A．2021B．－2021C．2022D．－2022
【请完成课时作业（九）】
【课时作业（九）】
A组 基础题
1．下列函数中，既是奇函数又在R上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数为定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
3．函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是偶函数B．
C．D．
4．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，若，则（ ）
A．5B．C．3D．
5．设是定义在上的奇函数，对，都有，且当时，， 则（ ）
A．0B．1C．2D．
6．若，则有（ ）
A．B．C．D．
7．已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知函数在，上的最大值和最小值分别为、，则（ ）
A．8B．6C．4D．2
10．（多选题)已知函数对，都有，，且，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点（-2，0）中心对称
C．D．
11．（多选题)已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为6B．在区间上单调递减
C．的图像关于直线对称D．在区间上共有100个零点
12．已知函数是偶函数，则常数的值为 __．
13．写出一个同时满足下列条件①②③的函数 ．
①为偶函数； ②的最大值为2； ③不是二次函数．
14．已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是_______.
B组 能力提升能
1．已知定义域为的函数满足：对任意的，有，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（多选题)已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
3．设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是______．
4．已知函数，．给出下列三个结论：
①是偶函数； ②的值域是； ③在区间上是减函数．
其中，所有正确结论的序号是_______．奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数
图象关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数
图象关于原点对称
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
第 3 课时 函数的奇偶性和周期
编写：廖云波
【回归教材】
1.函数奇偶性定义
2.函数奇偶性性质
①对数型复合函数判断奇偶性常用或来判断奇偶性.
②，在它们的公共定义域上有下面的结论：
③若是定义在区间上奇函数，且，则（注意：反之不成立）
3.函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则： ①； ②；
（2）点对称：若函数关于点对称，则： ① ②
（3）点对称：若函数关于直线对称，则：
4.函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数，.
①若，则函数的周期；
②若，则函数的周期；
③若，则函数的周期；
④若，则函数的周期；
⑤，则函数的周期
【典例讲练】
题型一 判断函数的奇偶性
【例1-1】判断下列函数的奇偶性：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)偶函数
(2)既是奇函数又是偶函数
(3)奇函数
(4)奇函数
【解析】
【分析】
分别求函数函数的定义域，再定义判断与的关系即可得出结论.
(1)
解：函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数；
(2)
解：由函数，
则，解得，奇函数的定义域为关于原点对称，
故，所以函数既是奇函数又是偶函数；
(3)
解：当时，，
当时，，则，
当时，，则，
综上，对于任意的，都有，
所以函数为奇函数；
(4)
解：函数的定义域为，
，
所以函数为奇函数.
【例1-2】判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）奇函数．
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性的判定方法，准确运算，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数的定义域为关于原点对称，
又由，即，
所以函数为偶函数.
（2）由，解得或，所以函数的定义域为或，其定义域不关于原点对称，故函数是非奇非偶函数．
（3）由题意，函数满足，解得或，
即函数的定义域为，关于原点对称，可得函数，
又由，所以函数为奇函数，
即函数是奇函数．
归纳总结：
【练习1-1】判断下列函数的奇偶性并证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)为奇函数，证明见解析；
(2)为奇函数，证明见解析.
【解析】
【分析】
首先确定定义域关于原点对称，根据奇偶函数定义依次判断两个函数奇偶性即可.
(1)
，，定义域为；
，，
为定义在上的奇函数；
(2)
在上恒成立，定义域为，
，
为定义在上的奇函数.
题型二 函数奇偶性的应用
【例2-1】已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，试求出函数在R上的表达式．
【答案】
【解析】
【分析】
利用偶函数的性质可求在R上的表达式.
【详解】
当时，，故，
故，
所以.
【例2-2】定义在区间上的偶函数，最大值为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由偶函数的定义和性质，结合二次函数的单调性和对称性，可得所求和.
【详解】
由题意，函数在上为偶函数，所以，解得，
又由的图象关于轴对称，可得，
可得，可得的最大值为，即，
所以.
故答案为：.
【例2-3】（1）设定义在上的奇函数在上是减函数，若，求实数m的取值范围；
（2）定义在上的偶函数，当时，为减函数，若成立，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据奇偶性得到函数的单调性，根据单调性结合函数的定义域得到范围.
（2）根据奇偶性得到函数的单调性，根据单调性结合函数的定义域得到范围.
【详解】
（1）定义在上的奇函数在上是减函数，故函数在上单调递减，
，故，解得.
（2）定义在上的偶函数，当时，为减函数，故函数在上是增函数，，则，解得.
归纳总结：
【练习2-1】已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
【答案】，
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是利用函数的奇偶性构造方程.
【详解】
解析： 以代替条件等式中的，则有，
又，分别是上的奇函数和偶函数，
故．
又，
联立可得，．
【练习2-2】已知定义在上的函数.
(1)求证：是奇函数；
(2)求证：在上单调递增；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）判断的关系即可.
（2）任取，判断的正负即可；
（3）将原不等式移项得，脱“f”，可解得原不等式的解集.
(1)
由已知函数定义域为，关于原点对称，
所以函数是奇函数；
(2)
任取，
因为，
所以
所以在上单调递增；
(3)
不等式可化为
因为在上单调递增
所以不等式可化为
解得.
题型三 函数的对称性
【例3-1】已知函数，若，则___________.
【答案】：4
【分析】
化简成奇函数加一个常数的结构,再求解的值即可.
【详解】由题, ,设,则为奇函数.
故.故.
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了奇函数的性质运用,需要将所给的函数分离出奇函数加常数的结构,再利用奇函数的性质求解.属于中档题.
【例3-2】已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，则（ ）
A．0B．6C．12D．24
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据题意得到，的图象关于对称，设关于点对称的坐标为，，，，则，，同理可得：，，，，即可得到答案．
【详解】
解：由得的图象关于对称，同时函数定义域也为，且
即，故也关于对称，
则函数与图象的交点关于对称，
则不妨设关于点对称的坐标为，，，，则，，
则，，
同理可得：，，，，
即，
故选：B．
归纳总结：
【练习3-1】已知函数，若是奇函数，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由是奇函数，可以得到关于a的方程组，解之即可得到a的值.
【详解】
由是奇函数,知，
即，
由x的任意性，得，
得，解得．经检验符合题意.
故选：A
【练习3-2】已知函数，则（ ）
A．10130B．10132C．12136D．12138
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数式得对称性，然后配对求和．
【详解】
，
所以的图象关于点对称，所以当时，，
所以
.
故选：D．
题型四 函数的周期性
【例4-1】已知定义在R上的函数满足，当时，，则（ ）
A. B. 2C. D. 8
【答案】：A
【分析】
根据等式，结合已知函数的解析式、指数幂运算公式进行求解即可
【详解】因为，所以，
因为，所以.
故选：A
【点睛】本题考查了求函数值，考查了指数运算公式的应用，考查了数学运算能力.
【例4-2】已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)＋f(－x)＝0，偶函数，当0＜x≤ 时，f(x)＝－x，则f(2 021)＋f(2 022)＝（ ）
A．1B．0C．-1D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性和对称性的性质进行转化求出函数的周期，然后转化求解即可.
【详解】
由题意可知：
即，故函数是周期为的周期函数
又
故选：A.
归纳总结：
【练习4-1】已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根已知条件求出的周期，根据周期性以及奇函数，结合已知条件即可求解.
【详解】
因为满足，所以，
所以是周期为的函数，
当时，，所以，
又因为是奇函数，
，
故选：D.
【练习4-2】已知函数的定义域为R，对任意的恒成立，且函数的图像关于点对称，，则（ ）
A．2021B．－2021C．2022D．－2022
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的周期性、对称性、奇偶性进行求解即可.
【详解】
对任意的都有，令x＝0，则，即，即有，即，所以函数的图像关于直线x＝2对称．又函数的图像关于点对称，则函数的图像关于点对称，即函数为奇函数．
所以，所以，
所以8是函数的最小正周期．
，所以，故选：A．
【请完成课时作业（九）】
【课时作业（九）】
A组 基础题
1．下列函数中，既是奇函数又在R上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A：取特殊值，判断出不是奇函数，即可否定结论；对于B：由的定义域为，即可否定结论；对于C：由函数的单调性否定结论；对于D：利用奇偶性的定义判断出是奇函数，利用导数判断单调性判断出在上单调递增，即可判断.
【详解】
对于A：因为，所以，所以不是奇函数.故A错误；
对于B：因为的定义域为，不为R.所以B错误；
对于C：.
当，时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故C错误；
对于D：的定义域为R.
因为，所以是奇函数.
因为，所以在上单调递增.
故D正确.
故选：D.
2．已知函数为定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分析可知函数是周期为的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性的性质可求得结果.
【详解】
因为，所以，
即，所以函数的周期为，
所以，
因为函数为定义在上的奇函数，且当时，，
所以，所以.
故选：B.
3．函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是偶函数B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇函数和偶函数的定义可推导得到，进而得到，可知B错误；由推导得到，知A正确；由已知关系式无法推导得到，知CD错误.
【详解】
是奇函数，；
是偶函数，，
，，
，，
是周期为的周期函数，B错误；
，，是偶函数，A正确；
，，无法得到，C错误；
，无法得到，D错误.
故选：A.
4．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，若，则（ ）
A．5B．C．3D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇偶性即可求解.
【详解】
由得：，因为分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以 ，故可解得：
故选：B
5．设是定义在上的奇函数，对，都有，且当时，， 则（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性与对称性得周期后求解
【详解】
由题意，而是的奇函数，故，
可得，故是以4为周期的周期函数，
，又，，
故，
故选：B
6．若，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，由解析式确定函数单调性，再利用单调性即可求解.
【详解】
构造函数，易得函数单调递增，由，
可得，，
故选：B.
7．已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据偶函数的对称性，得到的取值情况，原不等式等价于或，根据正弦函数的性质，分别求出的取值范围，即可得解；
【详解】
解：因为为偶函数，所以函数图象关于轴对称，
由图可得时，时，时；
又当时，时，时，时，
不等式等价于或，
所以或或，即不等式的解集为；
故选：A
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调区间，根据单调性及奇偶性即可求解.
【详解】
解：由题可知，，且，
故函数为偶函数，，
当时，，，
故在区间单调递增，在区间上单调递减，
因为，故，解得.
故选：C .
9．已知函数在，上的最大值和最小值分别为、，则（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
设，，证明函数为奇函数，则有，从而可得出答案.
【详解】
解：设，，
因为，
所以函数为奇函数，
所以，
所以，
所以．
故选：A．
10．（多选题)已知函数对，都有，，且，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点（-2，0）中心对称
C．D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
由题意得，所以的周期为4，又因为，所以的图象关于对称，可判断A；又因为的周期为4，所以的图象关于点中心对称，可判断B；，可判断C；，可判断D.
【详解】
因为，所以为奇函数，
又因为，所以关于对称，
所以，令等价于，所以，
再令等价于，所以，所以的周期为4，
由，可得：，
所以的图象关于对称，故A不正确；
又因为的图象关于对称，的周期为4，所以的图象关于点中心对称，故B正确；
令中，可得，所以，故C正确；
，故D不正确.
故选：BC.
11．（多选题)已知定义在R上的偶函数的图像是连续的，，在区间上是增函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为6B．在区间上单调递减
C．的图像关于直线对称D．在区间上共有100个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】
由条件结合周期函数的定义证明函数为周期函数，再根据奇偶性，周期性，单调性判断B，C，并由零点的定义判断D.
【详解】
因为，取，得，故，又是偶函数，所以，所以，
故，即的一个周期为12，故A项错误；
又在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，由周期性可知，在区间上单调递减，故B项正确；
因为是偶函数，所以的图像关于y轴对称，由周期性可知的图像关于直线对称，故C项正确；
因为在区间上是增函数，所以在区间上为减函数，，由周期性可知，在区间上，，而区间上有168个周期，故在区间上有336个零点，又，所以在区间上有337个零点，由为偶函数，可知在区间上有674个零点，故D项错误．
故选：BC项．
12．已知函数是偶函数，则常数的值为__．
【答案】##-0.5
【解析】
【详解】
易知函数定义域为
函数是偶函数
对定义域内每一个都成立
，
，
对定义域内每一个都成立
，即 .
13．写出一个同时满足下列条件①②③的函数______．
①为偶函数；②的最大值为2；③不是二次函数．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由①知，的图象关于直线对称，结合②和③可得符合条件的函数.
【详解】
因为为偶函数，则，所以的图象关于直线对称，
又的最大值为2，所以可取．
故答案为：（答案不唯一）.
14．已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
把不等式化成不等式组，再利用函数的奇偶性、单调性求解作答.
【详解】
因为奇函数，且在上是增函数，，
则在上是增函数，且，
不等式化为： 或 ，解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：
B组 能力提升能
1．已知定义域为的函数满足：对任意的，有，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断出函数是周期为4的周期函数，利用周期性直接求解.
【详解】
因为为偶函数，所以，用代换x，可得：①
对任意的，有，把①代入有：，即②
在②式中，用代换x，有③.
②③对照可得：，用代换x，有恒成立，
所以函数是周期为4的周期函数.
所以.
在③中，令有，所以，
所以.
故选：A
2．（多选题)已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.
3．设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件，可得，分段求解析式及对应函数值集合，再结合图象推理计算作答.
【详解】
因，则，又当时，，
当时，，，
当时，由，解得或，
当时，，，
显然，当时，，如图，
对任意，都有，必有，
所以m的取值范围是.
故答案为：
4．已知函数，．给出下列三个结论：
①是偶函数；
②的值域是；
③在区间上是减函数．
其中，所有正确结论的序号是_______．
【答案】①③
【解析】
【分析】
计算出可判断①，分、两种情况求出的范围，然后结合其周期性可得其值域，即可判断②，当时，，然后可判断③.
【详解】
因为，所以是偶函数，故①正确，
当时，，
当时，
又因为，所以的值域是，故②错误；
当时，，此时，
所以在区间上是减函数，故③正确，
故答案为：①③
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数
图象关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数
图象关于原点对称
偶函数
偶函数
偶函数
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