高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第1课时导数的概念与运算(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第1课时导数的概念与运算(原卷版+解析)，共31页。

编写：廖云波
【回归教材】
1.导数的概念
一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的 ，记作或，即.
2.导函数的几何意义
函数在处的导数就是曲线在点 处的切线的斜率，
即.切线方程为 .
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
法则1：.
法则2：.
法则3：.
5.复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f (u)，u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【典例讲练】
题型一 导数的概念
【例1-1】若函数在处的导数为2，则 ( )
A．2B．1C．D．6
【例1-2】已知函数在处的导数为，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-3】中国跳水队是中国体育奥运冠军团队．自1984年以来，中国跳水队已经累计为我国赢得了40枚奥运金牌．在一次高台跳水比赛中，若某运动员在跳水过程中其重心相对于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系，则该运动员在起跳后1秒时的瞬时速度为（ ）
A．10米/秒B．－10米/秒C．5米/秒D．－5米/秒
归纳总结：
【练习1-1】已知是函数的导函数，若，则（ ）
A．4B．2C．8D．
【练习1-2】一个质点的位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
题型二 导数的基本运算
【例2-1】求下列函数的导数：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
归纳总结：
【练习2-1】求下列函数的导数：
(1)； (2)； (3)
题型三 求曲线的切线
【例3-1】已知函数.
(1)曲线在点处的切线方程；
(2)曲线过点的切线方程.
【例3-2】已知，求：
(1)当时，求a；
(2)在处的切线与直线平行，求a.
【例3-3】已知曲线在点处的切线方程为，则_____
归纳总结：
【练习3-1】已知函数.
(1)若点P在曲线上移动，设曲线在动点P处的切线的倾斜角为，求的取值范围；
(2)求曲线经过点的切线方程.
【练习3-2】已知函数，其中．若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；
题型四 导数几何意义的应用
【例4-1】已知函数，.
若曲线与曲线在它们的交点处必具有公共切线，求a，b的值.
【例4-2】已知，函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为______.
【例4-3】已知点A在曲线上，点B在直线上，则点A，B之间的距离的最小值为____________.
归纳总结：
【练习4-1】若存在过点的直线与曲线和曲线都相切，求实数的值.
【练习4-2】若曲线的一条切线的斜率是3，则切点的横坐标为________.
【练习4-3】若点P是曲线上任意一点，则点P到直线距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．3
【完成课时作业（十六）】
【课时作业（十六）】
A组 础题巩固
1．设，若，则（ ）.
A．2B．-2C．3D．不确定
2．下列求导运算不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．向某容器内注入水，已知容器中水的高度h（单位：）与时间t（单位：s）的函数关系式为，则当时，容器中水的高度的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的图像如图所示，则是的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．函数在处的切线在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
6．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．3B．2C．1D．
7．已知函数，则的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A．3B．3C．5D．5
8．已知函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则实数的值为（ ）
A．1B．C．D．3
9．已知点是曲线上一动点，当曲线在处的切线斜率取得最小值时，该切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
10．【多选题】若曲线在处的切线与直线互相垂直，则（ ）
A． B． C．D．
11．已知函数，则___________.
12．已知为可导函数，且，则_______．
13．若，则_____.
B组 能力提升
1．已知a，b为正实数，直线y=x-a与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
2．已知函数，过点M（1，t）可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知点是曲线上任意的一点，则点到直线的距离的最小值是________．
5．若直线l：为曲线与曲线的公切线（其中为自然对数的底数， ），则实数b=___________.
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝
f(x)＝sin x
f′(x)＝
f(x)＝cs x
f′(x)＝
f(x)＝ex
f′(x)＝
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
f(x)＝lgax(a>0，a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
第三章 导数及其应用
第 1 课时 导数的概念与运算
【回归教材】
1.导数的概念
一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即.
2.导函数的几何意义
函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，
即.切线方程为.
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
法则1：.
法则2：.
法则3：.
5.复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f (u)，u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【典例讲练】
题型一 导数的概念
【例1-1】若函数在处的导数为2，则 ( )
A．2B．1C．D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据题意利用导数的定义求解即可
【详解】
由函数在处的导数为2，得，
所以，
故选：B
【例1-2】已知函数在处的导数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由导数的定义和极限的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】
由导数的定义和极限的运算法则，可得：
.
故选：A.
【例1-3】中国跳水队是中国体育奥运冠军团队．自1984年以来，中国跳水队已经累计为我国赢得了40枚奥运金牌．在一次高台跳水比赛中，若某运动员在跳水过程中其重心相对于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系，则该运动员在起跳后1秒时的瞬时速度为（ ）
A．10米/秒B．－10米/秒C．5米/秒D．－5米/秒
【答案】D
【解析】
【分析】
求导代入求解即可
【详解】
由题意，，故该运动员在起跳后1秒时的瞬时速度为
故选：D
归纳总结：
【练习1-1】已知是函数的导函数，若，则（ ）
A．4B．2C．8D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据极限得运算性质计算即可得出答案.
【详解】
解：．
故选：C．
【练习1-2】一个质点的位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，令代入计算可得；
【详解】
解：因为，所以，
当时，，故当时，该质点的瞬时速度为．
故选：C
题型二 导数的基本运算
【例2-1】求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
利用导数公式和运算法则求解.
（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，所以；
（4）因为所以
归纳总结：
【练习2-1】求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
（1）（2）（3）由基本初等函数的导数公式，结合求导的乘除法则求各函数的导函数.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
题型三 求曲线的切线
【例3-1】已知函数.
(1)曲线在点处的切线方程；
(2)曲线过点的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）对求导，求得，，再由点斜式方程即可求出曲线在处的切线方程；
（2）设切点为，求，，再由点斜式方程求得切线方程为，又切线过点，代入可得，带回方程即可得答案.
(1)
解：因为，所以，又，
所以曲线在处的切线方程为，即；
(2)
解：设切点为，则，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，即，解得，
故所求切线方程为．
【例3-2】已知，求：
(1)当时，求a；
(2)在处的切线与直线平行，求a.
【答案】
(1)
(2)1
【解析】
【分析】
（1）由于，进而根据求解即可；
（2）根据题意，解得，再检验即可.
(1)
解：由题知，
因为，所以，解得
所以
(2)
解：由（2）知，
因为在处的切线与直线平行
所以，解得.
此时，切线方程为：，即
满足与直线平行
所以.
【例3-3】已知曲线在点处的切线方程为，则_____
【答案】
【解析】
【分析】
先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出，再由切点坐标，即可求出结果.
【详解】
因为的导数为，
又函数在点处的切线方程为，
可得，解得，
又切点为，可得，即.
故答案为：.
归纳总结：
【练习3-1】已知函数.
(1)若点P在曲线上移动，设曲线在动点P处的切线的倾斜角为，求的取值范围；
(2)求曲线经过点的切线方程.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意得到，从而得到，再解不等式即可.
（2）利用导数的几何意义求解即可.
(1)
由，有，
由且，可得或，
故的取值范围为；
(2)
（2）设切点为，，
可得过点Q的切线方程为，
代入点的坐标有，
整理为，
有，
因式分解为，即，
解得或.
①当时，所求切线方程为
②当时，所求切线方程为，
故曲线经过点的切线方程为或.
【练习3-2】已知函数，其中．若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；
【答案】；
【解析】
求导得到，根据曲线在点处的切线垂直于直线，则由求解.
【详解】
因为函数，
所以，
因为曲线在点处的切线垂直于直线，
所以，
解得：；
题型四 导数几何意义的应用
【例4-1】已知函数，.
若曲线与曲线在它们的交点处必具有公共切线，求a，b的值.
【答案】，
【解析】
【分析】
根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值．
【详解】
，.
因为曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，
所以，且，
即a+1=1+b，且2a=3+b，
解得a=3，b=3.
【例4-2】已知，函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为______.
【答案】1
【解析】
【分析】
求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，再利用点斜式求解切线方程，推出在轴上的截距.
【详解】
因为函数，
所以 ，
则切线的斜率为，
因为切点坐标，
所以切线方程为，令，
可得在轴上的截距为，故答案为1.
【例4-3】已知点A在曲线上，点B在直线上，则点A，B之间的距离的最小值为____________.
【答案】##
【解析】
【分析】
根据点A，B之间的距离的最小时，点A处的切线与直线平行求解即可
【详解】
由题意，当点A，B之间的距离的最小时，点A处的切线与直线平行.又，故当时，，故此时.故点A，B之间的距离的最小值为到直线的距离.
故答案为：
归纳总结：
【练习4-1】若存在过点的直线与曲线和曲线都相切，求实数的值.
【答案】
【解析】
【分析】
设出所求切线方程的切点坐标和斜率，把切点坐标代入曲线方程得到一个等式，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，把切点坐标代入又得到一个等式，联立方程组即可求出切点的横坐标，进而得到切线的斜率，根据已知点的坐标和求出的斜率写出切线方程，再根据与都相切，联立方程组，可求出所求．
【详解】
解：设直线与曲线的切点坐标为，因为，所以切线的斜率
则，解得，
则切线的斜率，此时切线的方程为，
由，
消去，可得，
其中，即，
解可得；
故．
【练习4-2】若曲线的一条切线的斜率是3，则切点的横坐标为________.
【答案】2
【解析】
【分析】
对函数求导，设出切点，根据斜率，即可求得横坐标.
【详解】
因为，故可得，
不妨设切点横坐标为，
故可得，整理得，
即，解得（舍），.
故答案为：.
【练习4-3】若点P是曲线上任意一点，则点P到直线距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数几何意义求出曲线上与平行的切线方程，两线距离即为曲线上点与直线的最小距离，利用平行线距离公式求值即可.
【详解】
由题设且，令，可得（舍）或，
所以，则曲线上切线斜率为1的切点为，
故对应切线为，其与的距离，即为P到直线距离的最小值，
所以最小值为.
故选：B
【完成课时作业（十六）】
【课时作业（十六）】
A组 础题巩固
1．设，若，则（ ）.
A．2B．-2C．3D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数定义求导即可求解.
【详解】
因为，所以.
故选：A.
2．下列求导运算不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本初等函数的求导公式、导数运算法则逐项分析计算即可判断作答.
【详解】
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D不正确.
故选：D
3．向某容器内注入水，已知容器中水的高度h（单位：）与时间t（单位：s）的函数关系式为，则当时，容器中水的高度的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据导数的物理意义求解即可
【详解】
，当时，，故当时，容器中水的高度的瞬时变化率为.
故选：B
4．已知函数的图像如图所示，则是的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由导数的几何意义结合斜率公式判断即可.
【详解】
函数在处的切线为，在处的切线为，为过，两点的直线的斜率，由图可知，
直线，即
故选：A
5．函数在处的切线在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出，根据导数的几何意义，得出切线方程，然后在切线方程中令可得出答案.
【详解】
因为，所以，
所以，，
所以在处的切线方程为，
令得．
故选：A．
6．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．3B．2C．1D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先由函数为奇函数，求出，再利用导数的几何意义可求出切线的斜率
【详解】
因为为奇函数，
所以，
所以，
所以，
所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为1．
故选：C．
7．已知函数，则的图象在点处的切线的斜率为（ ）
A．3B．3C．5D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导函数可求出，然后利导数的几何意义即得.
【详解】
由题可得，令，得，
所以，即，
所以的图象在点处的切线的斜率为.
故选：B.
8．已知函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则实数的值为（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求得曲线在处的切线为，结合题意，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，函数，则，
可得，，即切点坐标为，
所以在处的切线为，
当时，；当时，，
因为在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，
可得，解得或，
又因为，所以.
故选：C.
9．已知点是曲线上一动点，当曲线在处的切线斜率取得最小值时，该切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出，再利用基本不等式求解即可.
【详解】
根据题意得，，
所以，当且仅当时成立，
所以该切线的倾斜角为：.
故选：D.
10．【多选题】若曲线在处的切线与直线互相垂直，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由已知，选项A、选项B，可根据给出的曲线解析式直接求导做出判断，选项C，可将带入求解出的中进行求解判断，选项D，根据求解出的结合直线方程的斜率，利用在处的切线与直线互相垂直即可列出等量关系，求解出的值.
【详解】
选项A，已知曲线，所以，故该选项错误；
选项B，已知曲线，所以，故该选项正确；
选项C，因为，所以，故该选项正确；
选项D，直线的斜率为，而，由已知，曲线在处的切线与直线互相垂直，所以，所以，该选项正确；
故选：BCD.
11．已知函数，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
由复合函数的求导法则求出导函数后，可计算导数值．
【详解】
由题意，所以．
故答案为：2．
12．已知为可导函数，且，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数在处的导数的定义及极限的运算即可求解.
【详解】
解：因为.
故答案为：.
13．若，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
对原式两边求导，然后赋值，即可求值.
【详解】
原式两边求导，，
令，得.
故答案为：.
B组 能力提升
1．已知a，b为正实数，直线y=x-a与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】D
【解析】
【分析】
由直线与曲线相切可知.再利用基本不等式即可求出答案.
【详解】
设切点为..则.
所以.
当且仅当时取“=”.
故选：D.
2．已知函数，过点M（1，t）可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，将点M的坐标代入切线方程，可得关于的方程有三个不同的解，利用参变分离可得，令，利用导数求出的单调性和极值，则根据与有三个不同的交点，即可求出实数t的取值范围
【详解】
设切点为，
由，得，
所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为点M（1，t）在切线上，
所以，
化简整理得，
令，则，
所以当或时，，当时，，
所以在和上递减，在上递增，
所以的极小值为，极大值为，
当时，，
所以的图象如图所示，
因为过点M（1，t）可作3条与曲线相切的直线，
所以的图象与直线有三个不同的交点，
所以由图象可得，
故选：D
3．已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
点是函数图像上一点，点是直线上一点，从而将问题转化为求解函数图像上一点与直线上一点连线距离的最小值.当函数某一点处的切线斜率和直线的斜率相等时可得距离的最小值，从而可运用导函数计算求解结果.
【详解】
根据题意，点是函数图像上一点，
点是直线上一点
函数的导函数为，
所以其图像上一点处切线的斜率为
当过点的切线与直线平行时，点与点之间的距离最小
且两点间的距离可转化两平行线之间的距离
此时有，，从而可得
此时函数图像上过点的切线方程为
化简为，其与直线间的距离为
所以的最小值为.
故选：C.
4．已知点是曲线上任意的一点，则点到直线的距离的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义再结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
设，，，
所以，解得.，即.
.
则点到直线的距离的最小值是.
故答案为：
5．若直线l：为曲线与曲线的公切线（其中为自然对数的底数， ），则实数b=___________.
【答案】或##或
【解析】
【分析】
设切点坐标，求导，根据切线方程的求解，分别得到，的切线方程，由两条切线方程相同可联立方程即可求出切点横坐标，进而可求解.
【详解】
根据切线方程的求解，联立方程即可解得切点，进而可求.
设与的切点为，则由，有.同理，设与的切点为，由，有.
故 由①式两边同时取对数得：，将③代入②中可得：，进而解得或.
则或
故或.
故答案为：或
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
f(x)＝lgax(a>0，a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)