高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第9课时函数与方程(原卷版+解析)

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【回归教材】
1、函数的零点
对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标
即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值．
【必记结论】
①若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；
④函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.
【典例讲练】
题型一 零点所在区间
【例1-1】函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】【多选题】函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【例1-3】已知是函数的零点，则_______．
归纳总结：
【练习1-1】已知函数，则________，函数的零点为________．
【练习1-2】设函数在区间(k，k+1)()内有零点，则k的值为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【练习1-3】函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
题型二 零点个数
【例2-1】函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【例2-2】已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，有下列四个结论：
①
②点是函数图象的一个对称中心；
③函数在上有2023个零点；
④函数在上为减函数；
则所有正确结论的序号为___________.
【例2-3】定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则所有实数，，，，之和为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【练习2-1】函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【练习2-2】函数的零点个数为___________.
【练习2-3】已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
题型三 零点性质的应用
【例3-1】已知函数，，且，则____________（填>，<，≥，≤）.
【例3-2】已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】已知是函数的零点，若，则（ ）
A．B．
C．D．的符号不确定
归纳总结：
【练习3-1】函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A．B．
C．D．
【练习3-2】已知函数，函数，若有两个零点，则m的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
题型四 二分法
【例4-1】下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是___________.（写出所有符合条件的序号）
【例4-2】在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【练习4-1】利用二分法求的零点时，第一次确定的区间是，第二次确定的区间是___________.
【完成课时作业（十五）】
【课时作业（十五）】
A组 基础题
1．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
2.用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（ ）
A．1B．C．0.25D．0.75
3．函数在上的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
4．函数有（ ）个不同的零点
A．3B．4C．5D．6
5．函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知是函数的零点，若，则的值满足（ ）
A．B．
C．D．或
7．已知函数，则方程的解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．函数的零点个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
9．若函数在区间上只有一个零点，则常数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
10．函数的零点是___________．
11．函数的零点个数为___________.
12．若，，，则x、y、z由小到大的顺序是___________.
B组 能力提升能
1．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知若，则在内的零点个数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
3．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为________．
4．设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是_____________．
第 9 课时 函数与方程
编写：廖云波
【回归教材】
1、函数的零点
对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标
即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函数零点的近似值．
【必记结论】
①若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；
④函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.
【典例讲练】
题型一 零点所在区间
【例1-1】函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数零点存在性定理判断即可
【详解】
函数 是上的连续增函数,
,
可得,
所以函数 的零点所在的区间是.
故选：C
【例1-2】【多选题】函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据初等函数的单调性判断函数的单调性，根据零点存在定理可得，从而可得结果.
【详解】
因为函数在定义域上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由函数的一个零点在区间内，
得，
解得,
故选：BC
【例1-3】已知是函数的零点，则_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据零点定义可得，整理可得，根据此时可得成立，代入化简即可得解.
【详解】
根据题意可得，
整理可得，
可得当，即成立，
又，
代入可得.
故答案为：.
归纳总结：
【练习1-1】已知函数，则________，函数的零点为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定的分段函数求出函数值即可，再直接求出方程的解作答.
【详解】
依题意，，
由得，即，解得，或，无解，
所以数的零点为.
故答案为：；
【练习1-2】设函数在区间(k，k+1)()内有零点，则k的值为（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定零点的区间，即可得结果.
【详解】
由解析式知：在定义域上递增，
又，，
所以在内存在零点，结合题设知：.
故选：C
【练习1-3】函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【
分析】
依据函数零点存在定理去判断的零点所在的区间即可.
【详解】
为上的递增函数，
，
，
，
则函数的零点所在的区间为
故选：B
题型二 零点个数
【例2-1】函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由得，再在同一坐标系下画出函数的图像，观察函数的图像即得解.
【详解】
解：令得，
在同一直角坐标系内画出函数和的图象，由图象知，两函数的图象恰有3个交点，即函数有3个零点，
故选：C.
【例2-2】已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，有下列四个结论：
①
②点是函数图象的一个对称中心；
③函数在上有2023个零点；
④函数在上为减函数；
则所有正确结论的序号为___________.
【答案】①②③
【解析】
【分析】
结合函数的奇偶性、单调性、周期性对个结论进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
依题意是定义在上的奇函数，
由于当，且时，都有，
即
所以在区间上递增，
由，以替换得，
由，令得，
所以，
所以，所以是周期为的周期函数.
所以，，
以此类推可知，
，，
以此类推可知，
所以，①正确.
由上述分析可知，
所以，所以关于对称，
结合是周期为的周期函数可知关于点对称，②正确.
对于③，由，
以替换得，
所以关于直线对称，
是奇函数，，在上递增在上递增；
则在上递减.
结合是周期为的周期函数，以及，可知函数在上有2023个零点，③正确.
对于④，结合上述分析可知，在上递增，在上递减.
由于是周期为的周期函数，所以在，即上递增，所以④错误.
故答案为：①②③
【例2-3】定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则所有实数，，，，之和为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【答案】C
【分析】
设，作出函数的图象，根据关于的方程恰有5个不同的实数解，得到的取值情况，结合图象利用对称性，即可求出结论．
【详解】
设，则关于的方程等价为，
作出的图象如图：由图象可知当时，方程有三个根，
当时方程有两个不同的实根，
∴若关于的方程恰有5个不同的实数解，，，，，
则等价为有两个根，一个根，另外一个根，
不妨设，对应的两个根与，与分别关于对称，
则，则，且，
则，
故选：C．
归纳总结：
【练习2-1】函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
函数的零点个数，即为的方程根，也就是函数和的图象交点个数，分别画出函数图象可得答案．
【详解】
函数的零点个数，即为的方程根，化简可得，分别画出函数和的图象，如图所示：
由图可知，函数和有两个交点，所以函数有两个零点，
故选：B
【练习2-2】函数的零点个数为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
当时，令，直接解出零点即可；当时，先判断单调性，再结合零点存在定理即可判断.
【详解】
当时，令，解得，，此时有1个零点；当时， ，显然单调递增，
又，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.
故答案为：2.
【练习2-3】已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先画出函数的图象，令，由题意中的恰有个不同的实数解，确定方程的根的取值情况，继而求出的范围
【详解】
，则
当时，，单调递增
当时，，单调递减
如图所示：
令，则有
即
解得
故
即
故选
题型三 零点性质的应用
【例3-1】已知函数，，且，则____________（填>，<，≥，≤）.
【答案】
【解析】
【分析】
由进行化简，结合图象判断出的大小关系.
【详解】
由得，.
由得，.
画出的图象如下图所示，
由图可知,.
所以，
故答案为：
【例3-2】已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据零点定义求出零点后可得．
【详解】
时，由得，
时，由得或，
所以四个零点和为．
故选：D．
【例3-3】已知是函数的零点，若，则（ ）
A．B．
C．D．的符号不确定
【答案】B
【解析】
根据题意判断得函数的定义域，分析函数的单调性，由函数零点的定义可得，利用单调性即可判断出.
【详解】
函数的定义域为，已知函数，，在上是减函数，所以可判断函数在上是减函数，又因为是函数的零点，即，根据单调性可得，当，.
故选：B.
归纳总结：
【练习3-1】函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
把方程变形，把零点个数转化为正弦函数图象与另一函数图象的交点个数，根据函数的对称性计算可得．
【详解】
解：因为，令，即，当时显然不成立，
当时，作出和的图象，如图，
它们关于点对称，
由图象可知它们在上有4个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以4个点的横坐标之和为．
故选：C．
【练习3-2】已知函数，函数，若有两个零点，则m的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
存在两个零点，等价于与的图像有两个交点，数形结合求解.
【详解】
存在两个零点，等价于与的图像有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图像：
由图可知，当直线在处的函数值小于等于1，即可保证图像有两个交点，
故：，解得：
故选：A.
题型四 二分法
【例4-1】下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是___________.（写出所有符合条件的序号）
【答案】（1）（3）
【解析】
【分析】
根据二分法所求零点的特点，结合图象可确定结果.
【详解】
用二分法只能求“变号零点”， （1），（3）中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求
故答案为：（1）（3）
【例4-2】在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二分法可得答案.
【详解】
根据已知，，，，，
根据二分法可知该近似解所在的区间是．
故选：C.
【练习4-1】利用二分法求的零点时，第一次确定的区间是，第二次确定的区间是___________.
【答案】(1，1.5)##(1，)
【解析】
【分析】
根据二分法的原理，判断两个端点函数值正负以及两个端点的中点处函数值正负即可得到答案．
【详解】
由题可知f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，
∵f()＝f(1.5)＝1.375＞0，∴f(x)零点应该在(1，1.5)上．
故答案为：(1，1.5).
【请完成课时作业（十五）】
【课时作业（十五）】
A组 基础题
1．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数零点存在定理即可判断.
【详解】
解：因为为上的增函数，又，，
所以函数的零点所在的区间是，
故选：B.
2.用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（ ）
A．1B．C．0.25D．0.75
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二分法的定义计算可得；
【详解】
解：因为，，所以在内存在零点，
根据二分法第二次应该计算，其中；
故选：C
3．函数在上的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出的零点，然后利用等差数列的求和公式可得答案.
【详解】
由得，，
故在上的零点从小到大排成首项为、公差为的等差数列．
由得，即该数列共有项，所以所有零点之和为，
故选：D．
4．函数有（ ）个不同的零点
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
由结合正弦函数的性质得出零点的个数.
【详解】
易知在上单调递增，，即函数在上只有一个零点；
当时，，由得出，即，，，解得，即在上有4个零点.
综上，有5个零点.
故选：C
5．函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由得，再在同一坐标系下画出函数的图像，观察函数的图像即得解.
【详解】
解：令得，
在同一直角坐标系内画出函数和的图象，由图象知，两函数的图象恰有3个交点，即函数有3个零点，
故选：C.
6．已知是函数的零点，若，则的值满足（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据零点定义及函数单调性,结合零点存在定理即可判断的符号.
【详解】
因为是函数的零点
则
且为上单调递增函数
由零点存在定理可知当
故选:B
【点睛】
本题考查了函数零点存在性的判定,函数单调性的综合应用,属于基础题.
7．已知函数，则方程的解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
令，则方程的解的个数即函数与函数的图象的交点的个数．作出函数与函数的图象，即可得到两个函数图象的交点的个数．
【详解】
解：令，得，
则方程的解的个数即函数与函数的图象的交点的个数．
作出函数与函数的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，
故方程的解的个数为2个．
故选：C
8．函数的零点个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【解析】
【分析】
分析函数的奇偶性，数形结合可得出函数在内的零点个数，结合函数奇偶性的性质可得出结果.
【详解】
函数的定义域为，
且，故函数为偶函数，
当时，，考虑函数在内的零点个数，
令，可得，
作出函数、在上的图象如下图所示，
由图可知，函数、在上的交点个数为，
故函数在上的零点个数为，
因此，函数的零点个数为.
故选：D.
9．若函数在区间上只有一个零点，则常数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数探讨函数在上的单调性，再结合已知列不等式，即可求解作答.
【详解】
函数，求导得：，当时，，
即函数在上单调递减，而函数在区间上只有一个零点，
因此，解得，
所以常数m的取值范围为.
故选：D
10．函数的零点是___．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据零点定义解方程可得.
【详解】
由得，解得，即的零点为8.
故答案为：8
11．函数的零点个数为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
当时，令，直接解出零点即可；当时，先判断单调性，再结合零点存在定理即可判断.
【详解】
当时，令，解得，，此时有1个零点；当时， ，显然单调递增，
又，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.
故答案为：2.
12．若，，，则x、y、z由小到大的顺序是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
把给定的三个等式作等价变形，比较函数的图象与曲线交点的横坐标大小作答.
【详解】
依题意，，，，，
因此，成立的x值是函数与的图象交点的横坐标，
成立的y值是函数与的图象交点的横坐标，
成立的z值是函数与的图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，
观察图象得：，即，所以x、y、z由小到大的顺序是.
故答案为：
【点睛】
思路点睛：涉及某些由指数式、对数式给出的几个数大小比较，可以把这几个数视为对应的
指数、对数函数与另外某个函数图象交点横坐标，利用图象的直观性质解决.
B组 能力提升能
1．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先把原命题转化为由两个零点，再数形结合分析得到的取值范围.
【详解】
令，所以.
当时，在上单调递增，则
当时，，此时
函数的图象如图:
函数有两个零点,即方程有两个实数根.
所以
故选:C.
2．已知若，则在内的零点个数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【解析】
【分析】
画出以及的图像，直接由图像即可求得交点个数.
【详解】
作出的图像，则在内的零点个数为曲线
与直线在内的交点个数9.
故选：B.
3．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为________．
【答案】-4
【解析】
【分析】
根据零点含义，以及互为反函数的图象特征进行求解.
【详解】
由题意，，，即，；
由，得，
所以是函数分别与函数交点的横坐标，
因为互为反函数，其图象关于对称，由可得交点为，所以.
故答案为：.
4．设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
画出图象，换元后得到方程在内有两个不同的实数根，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】
作出函数的图象如图，
令，则当，方程有个不同的实数解，
则方程化为，
使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程在内有两个不同的实数根，
令
所以,
解得:，
所以实数的取值范围为
故答案为