高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第02课时两直线的位置关系(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第02课时两直线的位置关系(原卷版+解析)，共30页。
【回归教材】
1.两条直线的位置关系
2.距离问题
（1）平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝．
（2）点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝．
3.对称问题
（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为．
（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则．
【典例讲练】
题型一 两直线的平行与垂直
【例1-1】已知直线，，分别求实数的值，使得：
(1)； (2)．
归纳总结：
【练习1-1】“”是“直线和直线垂直”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【练习1-2】已知直线，直线，求：当m为何值时，直线与分别有如下位置关系：相交、平行、重合．
题型二 距离公式
【例2-1】在第一象限的点到直线的距离为3，则a的值为__________．
【例2-2】已知两点到直线的距离相等，则实数a的值为________．
【例2-3】已知直线，当变化时，点到直线的距离的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例2-4】已知点P是曲线上一点，若点P到直线的距离最小，则点P的坐标为___________.
归纳总结：
【练习2-1】①点到直线的距离是___________.②两平行直线和间的距离是___________.
【练习2-2】已知直线（）与直线互相平行，且它们之间的距离是，则______.
【练习2-3】直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程．
题型三 对称问题
【例3-1】点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】已知直线，求：
(1)直线l关于点对称的直线的方程；
(2)直线关于直线l对称的直线的方程．
【例3-3】一束光线经过点由x轴反射后，经过点射出，则反射光线所在直线方程是______．
归纳总结：
【练习3-1】已知为直线：上一点，点到和的距离之和最小时点的坐标为____________.
【练习3-2】已知点､，点P在x轴上，则的最小值为___________.
题型四 交点问题
【例4-1】已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P，且垂直于直线2x+3y+5=0，求直线l的方程.
【例4-2】当为何值时，直线与直线的交点在第一象限？
归纳总结：
【练习4-1】若直线与直线的交点在第四象限，求实数m的取值范围．
【请完成课时作业（五十一）】
【课时作业（五十一）】
A组 基础题
1．已知直线，．若，则实数的值为（ ）
A．B．C．1D．2
2．“”是“直线：与直线：互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A．B．
C． D．
4．已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．2B． C．2或D．2或
5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）．
A．5B．C．45D．
6．点关于直线对称的点的坐标是______．
7．点到直线的距离等于4，则实数m___________.
8．已知的三个顶点是，则的面积为________．
9．下面三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合是___________.
10．已知点在直线上，则的最小值为________．
11．已知直线和相交于点P，且P点在直线上．
(1)求点P的坐标和实数a的值；
(2)求过点且与点P的距离为的直线方程．
12．已知点，直线，直线.
(1)求点A关于直线的对称点B的坐标；
(2)求直线关于直线的对称直线方程.
B组 能力提升
1．平面直角坐标系内有四个定点A（-1，0），B（1，0），C（2，3），D（-2，6），在四边形ABCD内求一点，使取得最小值时的坐标为_________.
2．已知平面向量满足，，，则的最小值为___________.
3．已知x，y满足：，则的最大值为___________.
4．若实数满足，则的最小值为___________.
5．直线，相交于点，其中.
(1)求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；
(2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出最大值.
斜截式
一般式
与相交

与垂直
与平行
且
或
与重合
且
第 2 课时 两直线的位置关系
编写：廖云波
【回归教材】
1.两条直线的位置关系
2.距离问题
（1）平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝．
（2）点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝．
3.对称问题
（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为．
（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则．
【典例讲练】
题型一 两直线的平行与垂直
【例1-1】已知直线，，分别求实数的值，使得：
(1)； (2)．
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）由平行关系可直接构造方程组求得结果；
（2）由垂直关系可直接构造方程求得结果.
(1)
由得：，解得：或.
(2)
由得：，解得：.
归纳总结：
【练习1-1】“”是“直线和直线垂直”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，直线的斜率为，直线的斜率为，则两直线垂直；
当时，两直线也垂直，
所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件，故选A.
【练习1-2】已知直线，直线，求：当m为何值时，直线与分别有如下位置关系：相交、平行、重合．
【答案】答案见详解．
【解析】
【分析】
当时，，，l1与l2相交；当时，两直线的斜截式方程为：，，再利用两条直线的相交、平行、重合的条件即可得出．
【详解】
当时，，，l1与l2相交；
当时，两直线的斜截式方程为：，．
①当时，即m≠3，m≠﹣1且时，两直线相交，
②当，且，即m＝﹣1时，两直线平行．
③当，且，即m＝3时，两直线重合．
综上：当m≠3，m≠﹣1时，两直线相交；
当m＝﹣1时两直线平行；
当m＝3时两直线重合．
题型二 距离公式
【例2-1】在第一象限的点到直线的距离为3，则a的值为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
由点到直线的距离代入即可求出答案.
【详解】
在一象限，所以，
点到直线的距离为3，则
，解得：或.
因为，所以.
故答案为：4.
【例2-2】已知两点到直线的距离相等，则实数a的值为________．
【答案】0或##或0
【解析】
【分析】
利用点到直线的距离公式列方程即可得出．
【详解】
由题意可得，即，解得或
故答案为：0或
【例2-3】已知直线，当变化时，点到直线的距离的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
确定线过定点，且不与轴垂直，数形结合，即可求得答案.
【详解】
由题意知直线过定点，且不与轴垂直，
当直线经过点时，，点到直线的距离最小为0，
当过点的直线垂直于x轴时，点到该直线的距离最大,最大值为3，如图示：
由于的斜率存在，故点到直线的距离小于3，
即点到直线的距离的取值范围是，
故选：D.
【例2-4】已知点P是曲线上一点，若点P到直线的距离最小，则点P的坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，此时曲线上的点P到直线的距离最小.
【详解】
解：由题意知，曲线，，令，得（舍），所以函数在上单调递减，在上单调递增，如下图所示，为曲线与直线在坐标系中的位置.
在点P的切线与直线平行时，此时曲线上的点P到直线的距离最小.设，则，则，解得（舍去），所以.
故答案为：
归纳总结：
【练习2-1】①点到直线的距离是___________.②两平行直线和间的距离是___________.
【答案】 4
【解析】
【分析】
根据点到直线的距离公式即可求解①，根据平行线间的距离公式即可求解② .
【详解】
① ；
则点到直线的距离.
② 即为，
所以两平行直线和间的距离.
【练习2-2】已知直线（）与直线互相平行，且它们之间的距离是，则______.
【答案】0
【解析】
【分析】
根据两直线平行求出n，由两直线间的距离是求出m，即可得到.
【详解】
因为直线（）与直线互相平行，
所以且.
又两直线间的距离是，所以，
因为，解得：.
所以.
故答案为：0
【练习2-3】直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程．
【答案】或
【解析】
【分析】
解法1：直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由直线l到点和点的距离相等求解；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程成立； 解法2：分，则和l过AB中点求解；
【详解】
解法1：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即．
由题意知，即，∴，
∴直线l的方程为，即．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，也符合题意．
解法2：当时，，直线l的方程为，即．
当l过AB中点时，AB的中点为，∴直线l的方程为．
故所求直线l的方程为或．
题型三 对称问题
【例3-1】点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.
【详解】
设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得.
所以点的坐标为
故选：A.
【例3-2】已知直线，求：
(1)直线l关于点对称的直线的方程；
(2)直线关于直线l对称的直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设直线关于的对称直线上任意一点为，求得点关于点的对称点，代入直线，即可求解；
（2）由，两直线的交点坐标为，再在直线上取一点，求得关于直线的对称点，结合直线的点斜式方程，即可求解.
(1)
解：设直线关于的对称直线上任意一点为，
则点关于点的对称为，
则，解得，即,
将点代入直线，可得，
整理得，即对称直线的方程为.
(2)
解：由，解得，
即直线与的交点坐标为，
再在直线上取一点，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
又由，所以直线的方程为，
整理得，
即直线关于直线l对称的直线的方程为.
【例3-3】一束光线经过点由x轴反射后，经过点射出，则反射光线所在直线方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，若要求反射光线，可求得点关于轴对称的点，又过即可得解.
【详解】
首先求点关于轴对称的点，
所以反射光线过和两点，
故直线方程为：，
即，
故答案为：.
归纳总结：
【练习3-1】已知为直线：上一点，点到和的距离之和最小时点的坐标为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过对称转化，使得两点在直线异侧后求解
【详解】
点在直线的同侧
设点关于的对称点为
解得，即
由题意，点为直线与的交点
直线的方程为：
故点的坐标为
故答案为：
【练习3-2】已知点､，点P在x轴上，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据对称性，找出关于x轴的对称点，根据两点之间线段最短即可求解．
【详解】
因为关于x轴的对称点，则 ,所以的最小值为.
故答案为：
题型四 交点问题
【例4-1】已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P，且垂直于直线2x+3y+5=0，求直线l的方程.
【解析】方法一：由,解得x=2y=1,即点P的坐标为(2,1),
因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以直线l的斜率为,
由点斜式得直线l的方程为3x-2y-4=0.
方法二：由,解得x=2y=1,即点P的坐标为(2,1)，
因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直，所以可设直线l的方程为3x-2y+c=0，把点P的坐标代入得3×2-2×1+c=0，解得c=-4.
故直线l的方程为3x-2y-4=0.
方法三：直线l的方程可设为2x-y-3+λ(4x-3y-5)=0(其中λ为常数),即(2+4λ)x-(1+3λ)y-5λ-3=0,
因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以·(-)=-1,解得λ=1.
故直线l的方程为3x-2y-4=0.
【例4-2】当为何值时，直线与直线的交点在第一象限？
【解析】由得，
即两直线的交点坐标为，
，解得：.
归纳总结：
【练习4-1】若直线与直线的交点在第四象限，求实数m的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
先联立两直线的方程，求得交点坐标，再根据交点在第四象限求解.
【详解】
由得
所以两直线的交点坐标为.
又此交点在第四象限，
所以
解得，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：
【请完成课时作业（五十一）】
【课时作业（五十一）】
A组 基础题
1．已知直线，．若，则实数的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
直接由两直线平行公式求解即可.
【详解】
由题意得，，解得.经验证符合题意.
故选：D.
2．“”是“直线：与直线：互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据给定直线方程求出的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】
依题意，，解得或，
所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A
3．过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出两直线交点，再由与直线平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.
【详解】
由解得，则直线的交点，
又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得.
故选：C.
4．已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．2B． C．2或D．2或
【答案】D
【解析】
【分析】
利用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
因为两点到直线的距离相等，
所以有，或，
故选：D
5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）．
A．5B．C．45D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出点关于直线的对称点，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解.
【详解】
因为点关于直线的对称点为，
所以即为“将军饮马”的最短总路程，
则“将军饮马”的最短总路程为．
故选：B．
6．点关于直线对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】
设点关于直线对称的点的坐标是，根据垂直和中点列方程组可求出结果.
【详解】
设点关于直线对称的点的坐标是，
则，解得，
所以点关于直线对称的点的坐标是.
故答案为：
7．点到直线的距离等于4，则实数m___________.
【答案】或4
【解析】
【分析】
直接利用点到直线的距离公式列方程，即可得到答案．
【详解】
由题意可得：，解得或．
故答案为：或4．
8．已知的三个顶点是，则的面积为________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用两点间的距离公式求得的长度，然后根据，的坐标求得直线的方程，进而利用点到直线的求得到直线的距离，即三角形的高，最后利用面积公式求得答案．
【详解】
设所在直线方程为，把点，的坐标代入可求得
，求得，，
直线的方程为，即，
点到直线的距离
．
故答案为：
9．下面三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
分三条直线交于一点、至少两条直线平行或重合，两种情况讨论即可
【详解】
当三条直线交于一点时：由，
解得和的交点A的坐标，
由A在上可得2×－3m×＝4，
解得m＝或.
当至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等，
当时，，即，当时，，解得：，
当时，，不成立，
综上， m＝－1，－，，4时，这三条直线不能组成三角形，
∴实数m的取值集合是.
故答案为：.
10．已知点在直线上，则的最小值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】
将的最小值转化为原点到直线的距离来求解即可.
【详解】
可以理解为点到点的距离，
又∵点在直线上，
∴的最小值等于点到直线的距离，
且.
故答案为：.
11．已知直线和相交于点P，且P点在直线上．
(1)求点P的坐标和实数a的值；
(2)求过点且与点P的距离为的直线方程．
【答案】(1)P(2,1)，a=2.
(2)
【解析】
【分析】
（1）联立,解得点P(2,1).将P的坐标(2,1)代入直线中,解得a；
（2）设所求直线为l,当直线的斜率不存在时,则l的方程为x=-2，不合题意.当直线l的斜率存在时,设直线的斜率为k,则的方程为,利用点到直线的距离公式即可得出.
(1)
因为直线和相交于点P，且P点在直线上，所以联立，解得：P(2,1).
将P的坐标(2,1)代入直线中,可得2a+1-3a+1=0,解得a=2.
(2)
设所求直线为l.
当直线l的斜率不存在时,则l的方程为x=-2.此时点P与直线的距离为4,不合题意，舍去；
当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k，则l的方程为,即.
因此点P到直线的距离,解方程可得k=2，
所以直线的方程为.
12．已知点，直线，直线.
(1)求点A关于直线的对称点B的坐标；
(2)求直线关于直线的对称直线方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设点，则由题意可得，解方程组求出，从而可得点B的坐标，
（2）先求出两直线的交点坐标，再在直线上任取一点，求出其关于直线的对称点，从而可求出直线关于直线的对称直线方程
(1)
设点，则由题意可得，
解得，
所以点B的坐标为，
(2)
由，得，所以两直线交于点，
在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则
，解得，即，
所以，
所以直线为，即，
所以直线关于直线的对称直线方程为
B组 能力提升
1．平面直角坐标系内有四个定点A（-1，0），B（1，0），C（2，3），D（-2，6），在四边形ABCD内求一点，使取得最小值时的坐标为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，可求的最小值，并确定取最小值时的点的坐标.
【详解】
因为，当且仅当点三点共线，且点位于之间时等号成立，
，当且仅当三点共线，且点位于之间时等号成立，
所以，
当且仅当点为直线与的交点时等号成立，
因为A（-1，0），B（1，0），C（2，3），D（-2，6），
所以直线的方程为：，
直线的方程为：，
所以直线与的交点为，
所以当点的坐标为时， 取最小值，
故答案为：.
2．已知平面向量满足，，，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
结合数量积的运算律，可根据求得，进而得到；令，，设，根据数量积的坐标运算可求得点满足的轨迹方程，将问题转化为直线上的点到和的距离之和；通过作出点关于直线的对称点，可知所求最小值为；利用点关于直线对称点的求法求得坐标后，即可利用两点间距离公式得到结果.
【详解】
，，，
解得：，即，即，
不妨令，，设，
则，
，，
则的几何意义为：直线上的点到和的距离之和，即；
作出点关于直线的对称点，
，（当且仅当三点共线时取等号），
设，则，解得：，
，即的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量中的向量模长最值的求解问题；解题关键是能够利用平面向量坐标运算求得的坐标所满足的直线方程，将问题转化为直线上的点到两定点距离之和的最值的求解问题.
3．已知x，y满足：，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
取，表示圆，过上面任意一点作的垂线，垂足为，得到，求出其最大值，进而可求得答案．
【详解】
表示圆，由于该圆关于 轴对称，不妨取点是圆右半圆上任一点, 此时，过作的垂线，垂足为，则的几何意义为线段的长，表示，，
直线与圆相切时，
令，当与圆相切于第一象限时，取最大值，
此时，
所以的最大值为，
故答案为：
4．若实数满足，则的最小值为___________.
【答案】##0.1
【解析】
【分析】
转化为函数问题，利用切线求最小值.
【详解】
令，
则的最小值为两个函数与
的图像上的两点之间的距离的最小值的平方，，
设与直线平行且与曲线相切的切点为，
则，解得，可得切点，
切点到直线的距离.
的最小值为.
故答案为：.
5．直线，相交于点，其中.
(1)求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；
(2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出最大值.
【答案】(1)证明见解析，，
(2)时，取得最大值
【解析】
【分析】
（1）在直线的方程中令可得出定点的坐标，在直线的方程中令可得出定点的坐标，由此可得出结论；
（2）联立直线、的方程，可求得两直线的交点的坐标，计算出和，利用三角形的面积公式可计算出的表达式，由的表达式可求得的最大值及其对应的的值.
(1)
在直线的方程中，令可得，则直线过定点，
在直线的方程中，令可得，则直线过定点；
(2)
联立直线、的方程，解得，即点.
，，
，所以，；
且，因此，当时，取得最大值，即.
斜截式
一般式
与相交

与垂直
与平行
且
或
与重合
且