高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第1课时集合(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第1课时集合(原卷版+解析)，共33页。
编写：廖云波
【回归教材】
1.元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
2.集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中 元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但 元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且 的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把 任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的 ，是任何非空集合的 .
3.集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合 属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合 属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中 集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4.集合的运算性质
（1），，． （2），，．
（3），，．
【常用结论】
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
【典例讲练】
题型一 集合的基本概念
【例1-1】设集合，若，则的值为（ ）．
A．，2B．C．，，2D．，2
【例1-2】（多选题）设集合，则下列是集合中的元素的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【例1-3】集合，用列举法可以表示为_________．
【练习1-1】已知集合 ，且 ，则实数m的值为（ ）
A．3B．2C．0或3D．0或2或3
【练习1-2】已知集合，且，则实数的所有取值构成的集合是________．
【练习1-3】已知均为非零实数，则代数式的值所组成的集合的元素个数是______．
题型二 集合的基本关系
【例2-1】若集合，，则集合之间的关系为（ ）
A．ABB．BA
C．D．
【例2-2】已知集合，，且，则实数a的值为___________.
【例2-3】已知.
(1)若是的子集，求实数的值；
(2)若是的子集，求实数的取值范围.
【练习2-1】设集合，，则两集合间的关系是（ ）
A．B．C．D．
【练习2-2】已知集合或，，若，则实数的取值范围________．
【练习2-3】满足{1，2，3}的所有集合A是___________．
题型三 集合的基本运算
【例3-1】已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】已知U=R是实数集，，，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】已知集合，或.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
【练习3-1】已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【练习3-2】设全集为，或，.
(1)若，求，. (2)已知，求实数的取值范围.
题型四 Venn图及其应用
【例4-1】如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（ ）
A． B．
C．D．
【例4-2】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
B．
C． D．
【练习4-1】已知，为R的两个不相等的非空子集，若，则（ ）
A． B． C． D．
【练习4-2】已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
B．
D．
题型五 集合中的创新型问题
【例4-1】定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（多选题）设是一个数集，且至少含有两个元素.若对任意的，都有（除数），则称是一个数域.则关于数域的理解正确的是（ ）
A．有理数集是一个数域 B．整数集是数域
C．若有理数集，则数集必为数域 D．数域必为无限集
【例4-3】已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为．若集合，则______；若集合，且，则正整数的值是______．
【练习4-1】设集合，，定义，则中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【练习4-2】若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____.
【请完成课时作业（一）】
【课时作业（一）】
A组 基础题
1．已知全集U＝｛0，1，2，3，4｝，集合M＝｛1，2，3｝，N＝｛2，3，4｝，则｛0，1，4｝＝（ ）
A．B．C．D．
2．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
5．集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（ ）
A． B． C． D．
6．设集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
7．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知集合，则（ ）
A．B．EC．FD．Z
9．若全集，集合，集合，则=（ ）
A．B．C．D．
10．已知，，若集合，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．集合，且，实数a的值为 （ ）
A．0B．1C．D．2
三、解答题
12．已知全集，集合，
(1)求，；
(2)若，，求实数m的取值范围.
13．已知全集，集合，集合.
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
B组 能力提升能
1．已知集合 ， 设 整除 或 整除 ， 令 表示集合 所含元素的个数， 则 _____.
2．已知集合，，是否存在实数a，使？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
3．已知函数的定义域为M．
(1)若，求实数a的取值范围； (2)求．
4．设集合，，记为同时满足下列条件的集合的个数：
①；②若，则；③若，则．
则（1）______； （2），______．数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
第一章 集合、常用逻辑用语与不等式
第1课时 集合
编写：廖云波
【回归教材】
1.元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
2.集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4.集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
【常用结论】
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
【典例讲练】
题型一 集合的基本概念
【例1-1】设集合，若，则的值为（ ）．
A．，2B．C．，，2D．，2
【答案】D
【解析】
【分析】
由集合中元素确定性得到：，或，通过检验，排除掉.
【详解】
由集合中元素的确定性知或．
当时，或；当时，．
当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求．
综上，或．
故选：D．
【例1-2】（多选题）设集合，则下列是集合中的元素的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
分别对，取整数，，可判断A；由，可判断B；令，通过验证不成立可判断C；由，可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：因为，，，，所以，故选项A正确；
对于B：因为，，，，所以，故选项B正确；
对于C：若，则存在，使得，
则，易知和同奇或同偶，
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，矛盾；
若和都是偶数，则能被整除，而不能被整除，矛盾，所以，故选项C不正确；
对于D：，，，所以，故选项D正确；
故选：ABD.
【例1-3】集合，用列举法可以表示为_________．
【答案】、
【解析】
【分析】
根据集合元素属性特征进行求解即可.
【详解】
因为，所以，可得，因为，所以，集合．
故答案为：
归纳总结：
【练习1-1】已知集合 ，且 ，则实数m的值为（ ）
A．3B．2C．0或3D．0或2或3
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意可得或，求出方程的根，再代入集合中检验即可；
【详解】
解：因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件；
故选：A
【练习1-2】已知集合，且，则实数的所有取值构成的集合是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合与元素见的关系直接列不等式，进而得解.
【详解】
由，得，
解得，
故答案为：.
【练习1-3】已知均为非零实数，则代数式的值所组成的集合的元素个数是______．
【答案】2
【解析】
【分析】
分析题意知代数式的值与的符号有关，按其符号的不同分3种情况讨论，分别求出代数式的值，即可得解.
【详解】
根据题意分2种情况讨论：
当全部为负数时，为正数，则；
当全部为正数时，为正数，则；
当一正一负时，为负数，则；
综上可知，的值为或3，即代数式的值所组成的集合的元素个数是2
故答案为：2
题型二 集合的基本关系
【例2-1】若集合，，则集合之间的关系为（ ）
A．ABB．BA
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据子集的定义证得和，即可得出结论.
【详解】
设任意，则，当时，
所以；当时，
，所以．所以
又设任意，则
因为，，
且表示所有的偶数，表示所有的奇数．
所以与都表示所有的奇数．所以．
所以故．
故选：C.
【例2-2】已知集合，，且，则实数a的值为___________.
【答案】或或0
【解析】
【分析】
先求得集合A，分情况讨论，满足题意；当时，，因为，故得到或，解出即可.
【详解】
解：已知集合，，
当，满足；
当时，，
因为，故得到或，解得或；
故答案为：或或0.
【例2-3】已知.
(1)若是的子集，求实数的值；
(2)若是的子集，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）由题得，解即得解；
（2）由题得，再对集合分三种情况讨论得解.
(1)
解：由题得.
若是的子集，则，
所以.
(2)
解：若是的子集，则.
①若为空集，则，解得；
②若为单元素集合，则，解得.
将代入方程，
得，即，符合要求；
③若为双元素集合，，则.
综上所述，或.
归纳总结：
【练习2-1】设集合，，则两集合间的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
变形，，分析比较即可得解.
【详解】
由题意可
即为的奇数倍构成的集合，
又，
即为的整数倍构成的集合，，即
故选：B
【练习2-2】已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围.
【详解】
用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，
或
要使，只需或，解得或．
所以实数的取值范围或.
故答案为：或
【练习2-3】满足{1，2，3}的所有集合A是___________．
【答案】{1}或{1，2}或{1，3}
【解析】
【分析】
由题意可得集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，从而可求出集合A
【详解】
因为{1，2，3}，
所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，
所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，
故答案为：{1}或{1，2}或{1，3}
题型三 集合的基本运算
【例3-1】已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求解集合，再利用交集运算即可.
【详解】
解：由题得集合，所以.
故选：B．
【例3-2】已知U=R是实数集，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得集合M、N，再运用集合的交集、补集运算求得答案.
【详解】
解：∵，，
∴，
故选：D.
【例3-3】已知集合，或.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由补集和并集的定义可运算求得结果；
（2）分别在和两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果.
(1)
由题意得，或，
，故.
(2)
当时，，符合题意，
当时，由，得，
故a的取值范围为．
归纳总结：
【练习3-1】已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式后由补集与交集的概念运算
【详解】
因为集合，所以，
又集合，所以，
故选：A
【练习3-2】设全集为，或，.
(1)若，求，.
(2)已知，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）当时求出集合，再进行交集，补集，并集运算即可求解；
（2）讨论和两种情况，列不等式解不等式即可求解.
(1)
因为，所以，，
所以，.
(2)
因为，
当时，满足，所以，得；
当时，因为，所以，解得，
综上实数的取值范围为：.
题型四 Venn图及其应用
【例4-1】如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
找到每一个选项对应的区域即得解.
【详解】
解：如图所示，
A. 对应的是区域1；
B. 对应的是区域2；
C. 对应的是区域3；
D. 对应的是区域4.
故选：B
【例4-2】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合，阴影部分表示为：，再分析求解即可.
【详解】
因为，所以，又，全集，
所以图中阴影部分表示的集合为．
故选：C.
归纳总结：
【练习4-1】已知，为R的两个不相等的非空子集，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意可得，结合韦恩图即可判断；
【详解】
解：依题意，所以，
则集合，与的关系如下图所示：
所以；
故选：C
【练习4-2】已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的解法和指数函数的性质，分别求得集合，结合题意和集合的运算法则，即可求解.
【详解】
由不等式，解得，即集合，
又由，解得，即集合，则，
又因为图中阴影部分表示的集合为，所以.
故选：B.
题型五 集合中的创新型问题
【例4-1】定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的新定义确定集合中的元素.
【详解】
因为，，，
所以，
故集合中的元素个数为3，
故选：C.
【例4-2】（多选题）设是一个数集，且至少含有两个元素.若对任意的，都有（除数），则称是一个数域.则关于数域的理解正确的是（ ）
A．有理数集是一个数域
B．整数集是数域
C．若有理数集，则数集必为数域
D．数域必为无限集
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据数域的定义逐项进行分析即可求解.
【详解】
对于A，若，则，所以有理数集是一个数域，故A正确；
对于B，因为所以，所以整数集不是数域，故B不正确；
对于C,令数集，则但，故C不正确；
对于D，根据定义，如果在数域中，那么（为整数），都在数域中，故数域必为无限集，故D正确.
故选：AD.
【例4-3】已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为．若集合，则______；若集合，且，则正整数的值是______．
【答案】 3 2022
【解析】
【分析】
化简A，可得；根据“容量”定义可得的，解方程即可.
【详解】
，则集合，
所以．若集合，
则集合，
故，解得．
故答案为：3；2022
【练习4-1】设集合，，定义，则中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
用列举法表示出集合，即可得到结论.
【详解】
因为集合，，定义,
所以.
一共6个元素.
故选：D
【练习4-2】若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出值，即可求解
【详解】
当时，，此时满足，
当时，，此时集合只能是“蚕食”关系，
所以当集合有公共元素时，解得，
当集合有公共元素时，解得，
故的取值集合为.
故答案为：
【请完成课时作业（一）】
【课时作业（一）】
A组 基础题
1．已知全集U＝｛0，1，2，3，4｝，集合M＝｛1，2，3｝，N＝｛2，3，4｝，则｛0，1，4｝＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用交并补运算法则进行计算，选出正确答案.
【详解】
A选项，，A错误；
B选项，，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，，D正确.
故选：D
2．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性求解，根据二次不等式的解法求得，再求交集即可
【详解】
由题意，，，故
故选：C
3．集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
解不等式，求出集合B，进而求出并集.
【详解】
，所以
故选：B
4．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】
由补集定义可知：或，即，
故选：D．
5．集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求出集合，再结合韦恩图及交集、并集、补集的定义计算可得；
【详解】
解：∵，，
∴，则，，
选项A中阴影部分表示的集合为，即，故A错误；
选项B中阴影部分表示的集合由属于A但不属于B的元素构成，即，故B正确；
选项C中阴影部分表示的集合由属于B但不属于A的元素构成，即，有1个元素，故C错误；
选项D中阴影部分表示的集合由属于但不属于的元素构成，即，故D错误．
故选：B．
6．设集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先解出集合A,B,再求交集即可.
【详解】
解：因为，
由合，解得，
所以，
又因为，
由，解得，
所以，
所以.
故选：D.
7．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合的定义，先对集合进行化简，再利用交运算即可求解.
【详解】
由题意知，，所以．
故选:B．
8．已知集合，则（ ）
A．B．EC．FD．Z
【答案】A
【解析】
【分析】
由交集补集的定义求解即可
【详解】
易知 ，所以．
故选：A．
9．若全集，集合，集合，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合，再结合集合的运算，即可求解.
【详解】
由得或，即
由可得，，即
则
所以
故选：B
10．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
解一元二次不等式和对数不等式可求得集合，由交集定义可得结果.
【详解】
集合，
，
则.
故选：B.
二、多选题
11．集合，且，实数a的值为 （ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由题设且，讨论是否为空集求对应的参数值即可.
【详解】
由题设，又，故，
当时，；
当时，1或2为的解，则或.
综上，或或.
故选：ABC
三、解答题
12．已知全集，集合，
(1)求，；
(2)若，，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先解指数不等式求出集合，再根据交集、并集、补集的定义计算可得；
（2）依题意可得，即可得到不等式，解得即可；
(1)
解：由，即，解得，
所以，
又，所以，
或，所以或；
(2)
解：因为，所以，所以，解得，即；
13．已知全集，集合，集合.
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次不等式的解法，求解集合，，再根据补集运算求解即可；
（2）由题知，再分和两种情况讨论求解即可；
(1)
解：由已知，
所以
当时，，
所以，
(2)
若，则
当时，，适合题意
故，从而
∵（当且仅当时取等号）
∴，∴
由得，解之得且
综上所述，的取值范围为
B组 能力提升题
1．已知集合 ， 设 整除 或 整除 ， 令 表示集合 所含元素的个数， 则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据的定义进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
表示集合所含元素的个数，
其中，，
整除的有共个.
整除的：
（1）整除的有个；
（2）整除的有个；
（3）整除的有个.
重复的有共个.
所以.
故答案为：
2．已知集合，，是否存在实数a，使？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
【答案】存在，a的值为，，1，
【解析】
【分析】
考虑集合和，当时，利用两直线平行和特殊点代入求出a的值；
【详解】
当时，，，
集合A为去掉点的直线上的点；
当时，集合B为直线上的点.
①当，，经检验成立.
②当，解得：，，满足.
∴，，1，.
3．已知函数的定义域为M．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)求．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的性质，结合二次根式的性质进行求解即可；
（2）根据绝对值的性质、交集的定义， 结合之间的大小关系分类讨论进行求解即可.
(1)
所以的最小值为，因此，
所以；
(2)
因为，所以当时，，
；
当时，，此时；
②当时，，此时．
20．
4．设集合，，记为同时满足下列条件的集合的个数：
①；②若，则；③若，则．
则（1）______；
（2），______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可得：若集合满足题意，则也满足题意，对于的情况以的情况为基础，把分配到符合条件的集合中，分析可得，再求，利用等比数列通项公式求解．
【详解】
根据题意可得：若集合满足题意，则也满足题意
对，比多两个元素
设符合条件的集合有：
显然不能加入中含有元素的集合中，分两种情况：
加入中不含有元素的集合中，加入中含有元素的集合中，共有个；
加入中不含有元素的集合中，其余不变，共有个；
即，则数列是以公比为2的等比数列
当时，，则符合条件的集合有，，即
∴，则
故答案为：；．
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或