高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第3课时导数的应用(二)极值与最值(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第3课时导数的应用(二)极值与最值(原卷版+解析)，共40页。
【回归教材】
1.函数的极值
一般地，对于函数y=f (x)，
若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧，
右侧，则称x=a为f (x)的 ，叫做函数f (x)的 .
若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，
右侧，则称x=b为f (x)的 ，叫做函数f (x)的 ．
（3）极小值点与极大值点通称 ，极小值与极大值通称 .
2.函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，
对于最值，我们有如下结论：
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的 ；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，
其中最大的一个是 ，最小的一个是 .
3.函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，
极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
【典例讲练】
题型一 求函数的极值
【例1-1】已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，取得极小值1B．当时，取得极大值1
C．当时，取得极大值33D．当时，取得极大值
【例1-2】已知函数，求函数的极大值与极小值．
归纳总结：
【练习1-1】函数的极值点是_________.
【练习1-2】已知函数.求的单调区间和极值.
题型二 利用极值求参数
【例2-1】已知函数．若函数在处取得极小值－4，求实数a，b的值；
【例2-2】已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【例2-3】若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是______．
归纳总结：
【练习2-1】已知函数的极小值为，则a的值为______．
【练习2-2】若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【练习2-3】已知函数.若函数在上恰有一个极值，求a的值．
题型三 求函数的最值
【例3-1】【多选题】已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．时，取得极大值B．时，取得最小值
C．D．
【例3-2】设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值.
【例3-3】已知函数．当时．求函数f（x）的最大值．
归纳总结：
【练习3-1】【多选题】函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．为函数的一个零点
B．为函数的一个极大值点
C．函数在区间上单调递增
D．是函数的最大值
【练习3-2】已知函数，当时，有极小值.
(1)求函数的解析式： (2)求函数在上的最大值和最小值.
【练习3-3】已知函数（，为自然对数的底数）.
(1)求函数f（x）的单调区间； (2)求函数f（x）在区间[0，m]上的最大值和最小值.
题型四 利用最值求参数值
【例4-1】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值．
【例4-2】若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.
归纳总结：
【练习4-1】已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【练习4-2】已知函数若的最小值为，求实数a的值.
题型五 最优化问题
【例5-1】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为（为自然对数的底数）万件.已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元.
(1)求的值；
(2)求分公司经营该产品一年的利润（万元）与每件产品的售价（元）的函数关系式；
(3)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值.
【例5-2】如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得，，，四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，，在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设．
(1)求包装盒的容积关于的函数表达式，并求出函数的定义域；
(2)当为多少时，包装盒的容积最大？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
归纳总结：
【练习5-1】欲设计如图所示的平面图形，它由上、下两部分组成，其中上部分是弓形（圆心为，半径为，，），下部分是矩形，且．
（1）求该平面图形的面积；
（2）试确定的值，使得该平面图形的面积最大，并求出最大面积．
【完成课时作业（十八）】
【课时作业（十八）】
A组 础题巩固
1．函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．函数在，上单调递增 B．函数在，上单调递减
C．函数存在两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值
2．使函数在上取得最大值的为（ ）
A．0B．C．D．
3．若函数在处有极小值，则实数m=（ ）
A．9B．3C．3或9D．以上都不对
4．不等式恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
6．【多选题】已知函数，则（ ）
A．在上单调递增 B．是的极大值点
C．有三个零点 D．在上最大值是
7．【多选题】已知函数，则下列有关的叙述正确的是（ ）
A．在处的切线方程为B．在上是单调递减函数
C．是极大值点D．在上的最小值为0
8．若函数有三个零点，则实数a的取值范围是___________.
9．若一圆锥的母线长为2，则此圆锥体积的最大值为______．
10．已知函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是______．
11．已知函数在处取得极小值．
(1)求c的值； (2)求在区间上的最值．
12．已知函数．
(1)若在上不单调，求a的取值范围； (2)若的最小值为，求a．
B组 能力提升
1．若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（ ）
A．－2B．－1C．2D．
2．已知函数有两个不同极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，．
(1)求函数的极值点； (2)若恒成立，求实数的取值范围．
第 3 课时 导数的应用（二）极值与最值
编写：廖云波
【回归教材】
1.函数的极值
一般地，对于函数y=f (x)，
若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧，
右侧，则称x=a为f (x)的极小值点，叫做函数f (x)的极小值.
若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，
右侧，则称x=b为f (x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
2.函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，
对于最值，我们有如下结论：
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，
其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3.函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，
极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
【典例讲练】
题型一 求函数的极值
【例1-1】已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，取得极小值1B．当时，取得极大值1
C．当时，取得极大值33D．当时，取得极大值
【答案】B
【解析】
【分析】
求导可得解析式，令，可得极值点，利用表格法，可得的单调区间，代入数据，可得的极值，分析即可得答案.
【详解】
由题意得，
令，解得或，
当x变化时，、变化如下
所以当时，取得极大值1，故B正确、C、D错误，
当时，取得极小值，故A错误，
故选：B
【例1-2】已知函数，求函数的极大值与极小值．
【答案】，
【解析】
【分析】
先求的值，发现需要讨论的正负，分别判定在的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值点与极小值点，求出极值．
【详解】
解：，
令，则或，
当，随着x的变化，与的变化情况如下：
所以，；
当时，随的变化，与的变化如下表：
所以，，
综上所述，，.
归纳总结：
【练习1-1】函数的极值点是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
极值点是导函数的“变号零点”，先求导函数的零点，在检查导函数零点附近的符号.
【详解】
，定义域为，令，解得，
当时，，单调递减；时，，单调递增，
故是极小值点.
故答案为：
【练习1-2】已知函数.求的单调区间和极值.
【答案】当时，在上单减，无极值；当时，在单减，在单增，有极小值，无极大值；
【解析】
【分析】
求导，分和求导确定单调性后，求出极值即可；
易得，，当时，在上恒成立，则在上单减，无极值；
当时，令，解得，令，解得，则在单减，在单增，有极小值，无极大值；
综上，当时，在上单减，无极值；当时，在单减，在单增，有极小值，无极大值.
题型二 利用极值求参数
【例2-1】已知函数．若函数在处取得极小值－4，求实数a，b的值；
【答案】
【解析】
【分析】
，则
即解得，经验证满足题意，
【例2-2】已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题设知有两个变号零点，结合判别式的符号求m的范围即可.
【详解】
由，又有极大值、极小值，
所以有两个变号零点，则，
整理得，可得或.
故选：B
【例2-3】若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
求得，分、和三种情况讨论，求得函数的单调性，结合极大值点的定义进行判定，即可求解.
【详解】
由题意得：函数的定义域为，
且，，
当时，即时，
令，可得；令，可得，
所以函数在上单调递增，在单调递减，
此时函数在取得极大值，满足题意；
当时，即时，可得恒成立，可得函数在上单调递增，函数不存在极值，不满足题意；
当时，即时，
令，可得，令，可得，
所以函数在上单调递增，在单调递减，
此时函数在处取得极小值，不满足题意，
综上可得，实数的取值范围是．
故答案为：
归纳总结：
【练习2-1】已知函数的极小值为，则a的值为______．
【答案】-3
【解析】
【分析】
利用导数求出极小值，列方程即可求出a.
【详解】
函数的定义域为R，.
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的极小值为，
解得：.
故答案为：-3.
【练习2-2】若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求导，根据题意可得有2个不同的正实数根，从而可得出答案.
【详解】
解：，
因为函数的定义域为，且函数有2个极值点，
则有2个不同的正实数根，
所以且，
即实数的取值范围是.
故选：B．
【练习2-3】已知函数.若函数在上恰有一个极值，求a的值．
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意，问题转化为在上有且仅有一个解，构造并应用导数研究函数性质，即可求a值，注意验证对应零点是否变号．
由题设在有且仅有一个变号零点，所以在上有且仅有一个解，令，则，而，故时，时，时，所以在、上递增，在上递减，故极大值，极小值，，要使在上与有一个交点，则或或.经验证，或时对应零点不变号，而时对应零点为变号零点，所以.
题型三 求函数的最值
【例3-1】【多选题】已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．时，取得极大值B．时，取得最小值
C．D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
结合导函数的图像得出函数的单调性，再由极值和最值的含义进行判断即可.
【详解】
结合导函数的图像可知，在上单增，则，C正确；在上单减，则，D正确；
由于，显然不是最小值，B错误；又在上单增，上单减，则时，取得极大值，A正确.
故选：ACD.
【例3-2】设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最小值.
【答案】(1)；
(2)1.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
（2）根据给定条件，利用导数探讨单调性，求出最小值作答.
(1)
函数，求导得：，则有，而，
于是得，即，
所以曲线在点处的切线方程是.
(2)
函数，求导得：，
当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，.
【例3-3】已知函数．当时．求函数f（x）的最大值．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
由的根分类讨论，然后列表表示的正负，极值点，同时注意比较端点处函数值，从而得最大值．
由（1）知，
令，，
当即0