高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第1课时数列的概念及简单表示(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第1课时数列的概念及简单表示(原卷版+解析)，共29页。
编写：廖云波
【回归教材】
1.数列的有关概念
2.数列的表示方法
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
4.数列的分类
【典例讲练】
题型一 归纳通项公式
【例1-1】写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，，，； (2)，，，；
(3)11，101，1001，10001； (4)，，，．
【例1-2】观察下列图形中小正方形的个数，则第10个图中小正方形的个数为____________.
归纳总结：
【练习1-1】写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1， (2)，2，，8； (3)9，99，999，9 999.
【练习1-2】“一朵雪花”是2022年北京冬奥会开幕式贯穿始终的一个设计理念，每片“雪花”均以中国结为基础造型构造而成，每一朵雪花都闪耀着奥运精神，理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1901年研究的一种分形曲线，如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分划向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.若第一个正三角形（图①）的边长为1，则第5个图形的周长为___________.
题型二 由与的关系求通项公式
【例2-1】已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．
【例2-2】已知数列，满足，则_______.
【例2-3】若数列{}的前n项和为＝，=（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习2-1】已知数列的前n项和，则的通项公式为______.
【练习2-2】已知数列满足：，，则______
【练习2-3】记数列的前项和为，若，（为正整数），则数列的通项公式为________．
题型三 由数列的递推关系求通项公式
【例3-1】已知，，求通项________.
【例3-2】数列满足：，，则数列的通项________________.
【例3-3】已知数列满足，且，则数列__________
【例3-4】设数列满足，且，则数列的通项公式为___________.
归纳总结：
【练习3-1】已知数列中，，，则通项公式____________．
【练习3-2】已知数列的各项均为正数，，，则______．
【练习3-3】已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
题型四 数列的函数性质
【例4-1】设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列， 则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】在数列中，，则数列中的最大项的________ .
【例4-3】已知数列满足，若，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习4-1】设数列的前项和为，，若为严格增数列，则实数的取值范围为___________.
【练习4-2】已知函数，若数列满足（）且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【练习4-3】已知数列的通项公式为，，，则该数列是否有最大项？若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．
【完成课时作业（三十七）】
【课时作业（三十七）】
A组 础题巩固
1．已知数列{an}的前四项为1，0，1，0，则下列可作为数列{an}的通项公式的有（ ）
①an＝[1＋(－1)n＋1]；②an＝[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)；
③an＝sin2；④an＝；⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．记数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．在数列中，，则的值为（ ）
A．B．5C．D．
4．已知数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
5．【多选题】已知数列的通项公式为，则（ ）
A．B．C．D．
6．【多选题】下列是递增数列的是（ ）
A．B．C．D．
7．若数列满足：，则第三项_______，它的通项公式_______．
8．记数列的前项和为，若，则使得取得最小值时的值为________.
9．已知数列满足若数列为递增数列，则实数a的取值范围为___________.
10．已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.
11．已知正项数列的前项和为，满足.求数列的通项公式；
12．已知数列的前n项和为，且，，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
B组 挑战自我
1．数列满足，且，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．【多选题】甲､乙两人拿两颗质地均匀的骰子做抛掷游戏.规则如下：由一人同时掷两颗骰子，观察两颗骰子向上的点数之和，若两颗骰子的点数之和为两位数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是两位数，就由对方接着掷.第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知数列，满足，，，则___________.
4．已知数列满足，则中的最小项的值为__________.
概念
含义
数列
按照一定顺序排列着的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法
通项公式
把数列的通项使用公式表示的方法
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1 > an
其中n∈N*
递减数列
an＋1 < an
第六章 数列
第 1 课时 数列的概念及简单表示
编写：廖云波
【回归教材】
1.数列的有关概念
2.数列的表示方法
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
4.数列的分类
【典例讲练】
题型一 归纳通项公式
【例1-1】写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，，，； (2)，，，；
(3)11，101，1001，10001； (4)，，，．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1），观察分子分母与项数的关系可得；
（2）观察分子分母与项数的关系可得；
（3）观察0的个数与项数的关系可得；
（4）观察分子分母与项数的关系同时注意正负号的规律即可得；
(1)
由题意分子是从1开始的奇数，分母是项的平方，；
(2)
由题意分子是从2开始的偶数，分母是分子加1、减1所得两数之积，;
(3)
由题意各项减1后是10的幂，；
(4)
由题意，奇数项为正，偶数项为负，
分子是项数乘以2，分母是3的幂，
【例1-2】观察下列图形中小正方形的个数，则第10个图中小正方形的个数为____________.
【答案】66
【分析】由题图规律写出前5个图正方形个数，可得，应用累加法、等差数列前n项和公式求，即可得结果.
【详解】由图知：各图对应正方形个数为
所以，
故，则，
所以.
故答案为：66
归纳总结：
【练习1-1】写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，
(2)，2，，8；
(3)9，99，999，9 999.
【答案】(1)an＝，n∈N*.
(2)
(3)an＝10n－1，n∈N*
【分析】（1）先分析符号规律，再根据分子分母规律求解；（2）根据分子分母规律求解；（3）各项加1，即可发现规律求解.
(1)
这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.
(2)
数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：
…，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.
(3)
各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.
【练习1-2】“一朵雪花”是2022年北京冬奥会开幕式贯穿始终的一个设计理念，每片“雪花”均以中国结为基础造型构造而成，每一朵雪花都闪耀着奥运精神，理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1901年研究的一种分形曲线，如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分划向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.若第一个正三角形（图①）的边长为1，则第5个图形的周长为___________.
【答案】
【分析】观察“雪花”图形可得其周长之间的关系为，根据等比数列的定义可知{}是公比为、首项为的等比数列，求得，即可求出.
【详解】由题意知下一个图形的边长是上一个图形边长的，边数是上一个图形的4倍，
则周长之间的关系为，
所以{}是公比为的等比数列，而首项，所以，
当时，“雪花”状多边形的周长为.
故答案为：
题型二 由与的关系求通项公式
【例2-1】已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．
【答案】
【分析】利用与关系即得.
【详解】因为，
当时，，
当时，，
所以．
故答案为：．
【例2-2】已知数列，满足，则_______.
【答案】
【分析】类比于求解．
【详解】由题意，，
两式相减得，．
故答案为：．
【例2-3】若数列{}的前n项和为＝，=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，利用与的关系求得数列的通项公式，利用等比数列前项和公式求解即可.
【详解】解：当时，，解得，
当时，，即，
∴是首项为1，公比为-2的等比数列，∴，
所以.
故选：B.
归纳总结：
【练习2-1】已知数列的前n项和，则的通项公式为______.
【答案】
【分析】根据作差计算可得；
【详解】解：因为①，
当时，
当时②，
①②得，
经检验当时不成立，
所以.
故答案为：
【练习2-2】已知数列满足：，，则______
【答案】
【分析】令n=n-1代回原式，相减可得，利用累乘法，即可得答案.
【详解】因为，
所以，
两式相减可得，整理得，
所以，
整理得，又，解得.
故答案为：
【练习2-3】记数列的前项和为，若，（为正整数），则数列的通项公式为________．
【答案】
【分析】当时，，所以两式相减得，所以化简有，又因为 ，可得数列是以为首项，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式.
【详解】因为，，
所以当时，，
当时，，所以两式相减得：，
则，所以，又因为 ，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列.
所以当时，.
所以数列的通项公式为：
故答案为：.
题型三 由数列的递推关系求通项公式
【例3-1】已知，，求通项________.
【答案】
【分析】依题意可得，利用累加法计算可得；
【详解】解： ，即，
， ，，， ，
以上各式相加得，
又，所以，
而也适合上式，.
故答案为：
【例3-2】数列满足：，，则数列的通项________________.
【答案】
【分析】根据，，得到，然后利用累加法求解.
【详解】解：因为，，
所以，
当 时，，
所以，
，
，
当时，，适合上式，
所以数列的通项，
故答案为：
【例3-3】已知数列满足，且，则数列__________
【答案】
【分析】由两边取倒数，即可得到数列是等差数列，从而求出的通项公式，即可得解；
【详解】解：由两边取倒数可得，即
所以数列是等差数列，且首项为，公差为，所以，
所以；
故答案为：
【例3-4】设数列满足，且，则数列的通项公式为___________.
【答案】##
【分析】化简已知得，再构造数列求通项得解.
【详解】解：因为，
，，
，则，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
，
所以，
故答案为：
归纳总结：
【练习3-1】已知数列中，，，则通项公式____________．
【答案】
【分析】根据题意可得数列是等比数列，从而可求出数列的通项，即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，
因为，
所以，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：.
【练习3-2】已知数列的各项均为正数，，，则______．
【答案】
【分析】根据题意得，根据等差数列的特征可求是等差数列，进而可求的通项，即可求解.
【详解】由题意可得，，所以数列是以4为首项，4为公差的等差数列，所以，得．
故答案为：
【练习3-3】已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由再利用裂项相消求和可得答案.
【详解】因为，所以，即，
则
.
所以
当时，上式成立，故.
故选：C.
题型四 数列的函数性质
【例4-1】设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列， 则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由数列是单调递增数列，可得，从而有恒成立，由，可求得的取值范围.
【详解】解：由题意得：
由数列是单调递增数列，所以，
即，即（）恒成立，
又因为数列是单调递减数列
所以当时，取得最大值，所以.
故选：C.
【例4-2】在数列中，，则数列中的最大项的________ .
【答案】6或##7或6
【分析】利用作商法判断数列的单调性即可求出其最大项.
【详解】，
令，解得，
即时，，
当时，，
所以或最大，
所以或.
故答案为：6或7.
【例4-3】已知数列满足，若，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析可知数列是递减数列，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为恒成立，所以数列是递减数列，
所以，，即，解得.
故选：A.
归纳总结：
【练习4-1】设数列的前项和为，，若为严格增数列，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】利用与的关系可求得数列的通项公式，根据数列的单调性可得出关于的不等式，由此可求得实数的取值范围.
【详解】当时，，
当时，，
因为数列为严格增数列，则，可得，解得.
故答案为：.
【练习4-2】已知函数，若数列满足（）且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由分段函数的解析式可得，函数在每一段都是单调递增，且，列出不等关系，求解即可．
【详解】因为函数，数列满足，且是递增数列，
则函数在每一段都是单调递增，且，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：
【练习4-3】已知数列的通项公式为，，，则该数列是否有最大项？若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．
【答案】有，第4项为最大项．
【分析】利用不等式法求出数列的单调性，判断出第4项为最大项.
【详解】∵，，．
∴当，时，；当，时，．
综上，可知在时严格增；在时严格减，所以存在最大项．
又
所以第4项为最大项．
【完成课时作业（三十七）】
【课时作业（三十七）】
A组 础题巩固
1．已知数列{an}的前四项为1，0，1，0，则下列可作为数列{an}的通项公式的有（ ）
①an＝[1＋(－1)n＋1]；②an＝[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)；
③an＝sin2；④an＝；⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】当n＝1，2，3，4分别代入①②③④⑤的通项公式中检验即可．
【详解】当n＝1，2，3，4分别代入①②③④⑤的通项公式中，可知①③④符合，
对于②当n＝3时不符合，对于⑤显然n＝1时就不符合，故可作为{an}通项公式的有3个．
故选：C．
2．记数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由列方程组求值即可.
【详解】因为，解得.
又因为，解得.
故选：A.
3．在数列中，，则的值为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的递推公式，探讨数列的周期性即可计算作答.
【详解】依题意，，则，，
于是得数列是周期数列，其周期是3，由得：，
所以.
故选：C
4．已知数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，结合变形，构造数列，再求数列通项即可求解作答.
【详解】因为，则，于是得，
因此数列是公差为1的等差数列，首项，则，所以.
故选：D
5．【多选题】已知数列的通项公式为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由题，由通项求出至，再由定义求出即可判断
【详解】由题，
，
故A错；，故B对；
，故C对；
，故D错.
故选：BC
6．【多选题】下列是递增数列的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据递增数列的定义判断．
【详解】A．令，则，是递增数列，正确；
B．令，则，，不合题意，错；
C．令，则，符合题意．正确；
D．令，则，，不合题意．错．
故选：AC．
7．若数列满足：，则第三项_______，它的通项公式_______．
【答案】
【分析】对两边取倒数可得，即可得到为首项是公差为的等差数列，求得通项，即可得解.
【详解】由可得，
所以为首项是公差为的等差数列，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
8．记数列的前项和为，若，则使得取得最小值时的值为________.
【答案】16
【分析】根据数列的单调性，即可判断的最小时的值.
【详解】由得,当时，单调递减，且，
当时，，故当时，，当时，，且，
所以当时，最小.
故答案为：16
9．已知数列满足若数列为递增数列，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据数列为递增数列，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，数列为递增数列，
则满足，即，解得，
即实数a的取值范围为.
故答案为：
10．已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.
【答案】n
【分析】先利用累乘法将的通项公式求出，再利用与的关系，求出的通项公式即可.
【详解】解：∵，∴
当时，，
当时，成立，
∴，
当时，，
当时，满足上式，
∴.
故答案为：n
11．已知正项数列的前项和为，满足.求数列的通项公式；
【答案】
【分析】利用已知求的方法可以直接得出结果.
【详解】①；
当时，代入①得.
当时，②；
①-②得，
整理得，
因为，所以，
所以数列为等差数列，公差为1，
所以.
12．已知数列的前n项和为，且，，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由递推公式可得，即可得证；
（2）由（1）利用累加法及等比数列前项和公式计算可得；
（3）由（2）可得，参变分离可得恒成立，令，利用作差法判断数列的单调性，即可求出的最大值，从而得解．
(1)
解：由，得，
则，又，
所以，数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
(2)
解：由（1）得，，
则时，
．
当时，满足上式，所以，数列的通项公式为．
B组 挑战自我
1．数列满足，且，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，然后分析数列的单调性，可得结果.
【详解】因为，等式两边同时乘以可得，
所以，且，
所以，数列是等差数列，且首项和公差都为，则，所以，，
因为.
当时，；
当时，，即数列从第二项开始单调递减，
因为，，故当时，；当时，.
所以，，则的最小值为.
故选：B.
2．【多选题】甲､乙两人拿两颗质地均匀的骰子做抛掷游戏.规则如下：由一人同时掷两颗骰子，观察两颗骰子向上的点数之和，若两颗骰子的点数之和为两位数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是两位数，就由对方接着掷.第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据题意列出第次由甲掷的两种情况，根据对立事件加法公式求得递推关系式，转化为构造数列求解通项公式的问题即可得到答案.
【详解】两颗骰子的点数之和为两位数的概率为.
第次由甲掷有两种情况：①第次由甲掷，第n次由甲掷，概率为；
②第次由乙掷，第次由甲掷，概率为.
因为两种情况对立，
所以当时，，即，
所以，
又因为，所以，
所以，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，，.综上可知，AB正确，CD错误.
故选：AB
3．已知数列，满足，，，则___________.
【答案】
【分析】根据已知条件转化式子得出，进而求出数列的通项公式即得数列的通项公式，再求出数列的通项公式，进一步求出答案即可.
【详解】，，，，
，
，即：，
是以首项为，公差为的等差数列，
，，
，
.
故答案为：.
4．已知数列满足，则中的最小项的值为__________.
【答案】
【分析】根据前项和与通项的关系求解得，再构造函数求导分析单调性求解最小值即可
【详解】当时，；当时，，故，当时也成立，故，故.设，则故当时单调递减，当时单调递增.又，，故中的最小项的值为
故答案为：
概念
含义
数列
按照一定顺序排列着的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法
通项公式
把数列的通项使用公式表示的方法
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1 > an
其中n∈N*
递减数列
an＋1 < an