高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）专题研究二数列的综合应用(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）专题研究二数列的综合应用(原卷版+解析)，共27页。

【例1-1】已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，设数列的前n项和为．
（1）若，求m的值； （2）求的值．
归纳总结：
【练习1-1】已知等差数列公差分别为，
(1)求数列的通项公式； (2)求中既在数列中，又在数列中的所有数之和.
题型二 数列与不等式
【例2-1】已知首项为1的数列的前n项和为，且，数列的前n项和为，若，且，则___________.
【例2-2】已知数列的前n项和为，且，.
（1）求的通项公式 ； （2）设若，恒成立，求实数的取值范围.
归纳总结：
题型三 放缩法求数列和的范围
【例3-1】正项数列的前n项和为，，，则______．其中表示不超过x的最大整数．
【例3-2】已知数列的前项和为，且满足，
(1)求和 (2)求证：．
归纳总结：
【练习3-1】已知正项数列的前项和为，满足．
(1)求数列的前项和； (2)记，证明：．
题型四 数列与函数
【例4-1】已知函数.证明：
(1)当，不等式恒成立；
(2)对于任意正整数，不等式恒成立（其中为自然常数）
归纳总结：
【练习4-1】已知函数.
（1）证明：时，； （2）证明：.
题型五 数列的实际应用
【例5-1】小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.
【例5-2】某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计______年初的存栏量首次超过8900头.（参考数据：，）
归纳总结：
【练习5-1】为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取，）
A．32500元B．40000元C．42500元D．50000元
【请完成课时作业（四十一）】
【课时作业（四十一）】
1．一种预防新冠病毒的疫苗计划投产两月后，使成本降64%，那么平均每月应降低成本（ ）
A．20%B．32%C．40%D．50%
2．用分期付款的方式购买一件电器，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元及欠款的利息，月利率为1%，则买这件电器实际花（ ）．
A．1105元B．1255元C．1305元D．1405元
3．形如的数被称为费马数，费马完成了,,,,的验证后，于1640年提出猜想：费马数都是质数，但由于及之后的费马数都实在太大了，费马也未能完成验证及证明.直到1732年才被数学家欧拉算出不是质数，从而宣告了费马数的猜想不成立.现设，若任意，使不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．(1,+∞)B．C．(,+∞)D．
4．正项数列的前n项和为，，则（ ）其中表示不超过x的最大整数.
A．18B．17C．19D．20
5．【多选题】在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再传染个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，初始感染者为1人，则（ ）
A．第三轮被传染人数为16人B．前三轮被传染人数累计为80人
C．每一轮被传染的人数组成一个等比数列D．被传染人数累计达到1000人大约需要35天
6．【多选题】已知数列满足，，前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
7．等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为 ．
8．已知等差数列满足，且前四项和为28，数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式，并判断是否为等比数列；
(2)对于集合A，B，定义集合.若，设数列和中的所有项分别构成集合A，B，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前30项和.
9．已知数列中，，.
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值.
10．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前n项和，且满足，，数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式及数列的前n项和.
（2）是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由.
11．数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，数列满足，.
（1）求数列的通项公式； （2）证明：.
12．已知函数.
（1）若，求a的值； （2）证明：.
专题研究二 数列的综合应用
编写：廖云波
题型一 等差、等比的综合应用
【例1-1】已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，设数列的前n项和为．
（1）若，求m的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）2282.
【解析】（1）由，则数列中前m项中含有A中的元素为2，4，6，…，26，共有13项，有B中的元素为3，9，27，共有3项，从而得出答案.
（2）根据题意可得数列中前50项中含有B中的元素为3，9，27，81共有4项，数列中前50项中含有A中的元素为，共有46项，分组可求和.
【详解】解：（1）因为，
所以数列中前m项中含有A中的元素为2，4，6，…，26，共有13项，
数列中前m项中含有B中的元素为3，9，27，共有3项，
所以．
（2）因为，，
所以数列中前50项中含有B中的元素为3，9，27，81共有4项
所以数列中前50项中含有A中的元素为，共有46项，
所以．
归纳总结：
【练习1-1】已知等差数列公差分别为，
(1)求数列的通项公式；
(2)求中既在数列中，又在数列中的所有数之和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用已知求出，，再利用等差数列的通项即得解；
（2）设，得到，设是由数列的公共项组成的数列，则为首项为3，公差为12的等差数列，即得解.
（1）
解：由，可得，联立，可得①，
令，可得，与联立，可得，与
联立得②.
由① ② 得：.
（2）
解：设，则，得，
由，可得，
所以，即，
设是由数列的公共项组成的数列，
则为首项为3，公差为12的等差数列，且.
在中有，
所以的前8项和为.
题型二 数列与不等式
【例2-1】已知首项为1的数列的前n项和为，且，数列的前n项和为，若，且，则___________.
【答案】0
【分析】先由得到，利用与的关系证明是等差数列，进而求出、，再利用裂项抵消法求出，再分为奇数、偶数利用放缩法进行求解.
【详解】由，得，
即，当时，，；
可知当时，，，
两式相减整理，得，
所以是以1为首项，0为公差的等差数列，
所以，，
所以，
所以
，
等价于；
当n是正奇数时，，
因为，所以；
当n是正偶数时，，
因为，所以；
综上所述，的取值范围为，
则整数的值为0.
故答案为：0.
【例2-2】已知数列的前n项和为，且，.
（1）求的通项公式 ；
（2）设若，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由递推关系化简求得数列通项公式.
（2）先用错位相减法求得bn的通项公式，然后求最大值，即可求得参数的取值范围.
【详解】（1）由，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
则.
（2）由（1）知，①，
两边同乘得，②，
①-②得，，
故，，
取，
当时，恒成立，则恒成立，
即数列从第二项开始是单减的，又，
故数列的最大项为，
若恒成立，则.
归纳总结：
【练习2-1】
题型三 放缩法求数列和的范围
【例3-1】正项数列的前n项和为，，，则______．其中表示不超过x的最大整数．
【答案】16
【分析】先依据题给条件求得的表达式，再利用放缩法得到，进而求得的值.
【详解】当时，由，可得
即，则，又
则数列是首项为1公差为1的等差数列，，
又数列为正项数列，则
由，得
当时，
令，
则
则16
故答案为：16
【例3-2】已知数列的前项和为，且满足，
(1)求和
(2)求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用可得，从而可求及.
（2）利用放缩法及裂项相消法可证不等式成立.
（1）时，，时，，所以，所以数列是以为首项，公差为的等差数列．所以，即，当时，，当时，，不满足上式，
所以，
（2）当时，，原式成立．
当时， 所以．
归纳总结：
【练习3-1】已知正项数列的前项和为，满足．
(1)求数列的前项和；
(2)记，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据，整理后，根据等差数列的性质可知是首项为1，公差为1的等差数列
（2）先对进行放缩，然后利用分母有理化进行裂项后求和.
(1)
解：由题意得：
等式两边同乘，得
整理得，由，得，即是首项为1，公差为1的等差数列
∴，；
(2)
，
∴，
，
∴，
综上可证：．
题型四 数列与函数
【例4-1】已知函数.证明：
(1)当，不等式恒成立；
(2)对于任意正整数，不等式恒成立（其中为自然常数）
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）要证不等式成立，即证恒成立，令，
利用导数判断单调性求出最值可得答案；
（2）由（1）知，令则转化为，利用放缩法和等比数列求和可得答案.
(1)
要证不等式成立，即证恒成立，
，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，所以恒成立.
(2)
由（1）知，令则，
所以，
即
归纳总结：
【练习4-1】已知函数.
（1）证明：时，；
（2）证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）由，即在定义域内为增函数，即可证明结论.
（2）根据（1）结论，令可得，将所得的n个式子相加，结合对数运算性质、放缩法即可证不等式.
【详解】（1）时，，
故为增函数，；
（2）由（1）知：，
令时，有，
故，，…，，
将式相加得：，
∴.
题型五 数列的实际应用
【例5-1】小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.
【答案】6250
【分析】根据等额本息还款法，列出方程，利用等比数列前项和即可求解.
【详解】设每年还款的金额为，由题意可知：，所以
故答案为：6250
【例5-2】某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计______年初的存栏量首次超过8900头.（参考数据：，）
【答案】2036
【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为”和“每年年底卖出100头”建立相邻两年的关系，用待定系数法构造等比数列，求出通项公式即可求解.
【详解】设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…，，…，其中，
由题意得，并且，
设，则，则0.2x＝100，则x＝500，
∴，即数列{}是首项为，公比为1.2的等比数列，则，则，
令，则，即，
即，所以，因此.
2022+14=2036年年初存栏数首次突破8900，
故答案为：2036
归纳总结：
【练习5-1】为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取，）
A．32500元B．40000元C．42500元D．50000元
【答案】B
【分析】设摊主6月底手中现款为，n月月底摊主手中的现款为，n+1月月底摊主手中的现款为，则可得二者之间的关系，构造新数列 成等比数列，求解，即可得到答案．
【详解】设，从6月份起每月底用于下月进货的资金依次记为，，…，，，同理可得，
所以，
而，所以数列是等比数列，公比为1.2，
所以，，
∴总利润为，
故选:B．
【请完成课时作业（四十一）】
【课时作业（四十一）】
一、单选题
1．一种预防新冠病毒的疫苗计划投产两月后，使成本降64%，那么平均每月应降低成本（ ）
A．20%B．32%C．40%D．50%
【答案】C
【分析】设成本为，平均每月应降低成本，根据题意得解方程可得答案.
【详解】设成本为，平均每月应降低成本，
所以，解得，
平均每月应降低成本.
故选：C.
2．用分期付款的方式购买一件电器，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元及欠款的利息，月利率为1%，则买这件电器实际花（ ）．
A．1105元B．1255元C．1305元D．1405元
【答案】B
【分析】设每月付款数构成数列，计算出，从而得数列是以为首项，为公差的等差数列，利用求和公式计算，即可得答案.
【详解】购买时付150元，欠1000元，每月付50元，分20次付清．
设每月付款数构成数列，则，
，
，…
∴，
∴是以为首项，为公差的等差数列，
∴，
∴买这件电器实际花元．
故选：B
3．形如的数被称为费马数，费马完成了,,,,的验证后，于1640年提出猜想：费马数都是质数，但由于及之后的费马数都实在太大了，费马也未能完成验证及证明.直到1732年才被数学家欧拉算出不是质数，从而宣告了费马数的猜想不成立.现设，若任意，使不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．(1,+∞)B．C．(,+∞)D．
【答案】B
【分析】由题知，，进而根据裂项求和得，进而根据不等式恒成立即可得答案.
【详解】解：因为，，
所以，
所以，
所以
，
因为，，所以
所以，对任意，使不等式恒成立，则.
所以，实数的取值范围是.
故选：B
4．正项数列的前n项和为，，则（ ）其中表示不超过x的最大整数.
A．18B．17C．19D．20
【答案】A
【分析】讨论、，根据关系可得且，应用等差数列通项公式求得，利用放缩法有，注意不等式右侧，进而根据的定义求目标式的值.
【详解】当时，，整理得，又，故，
当时，，可得，而，
所以是首项、公差均为1的等差数列，则，又，故，
由，即，同理可得且，
，
，
综上，.
故选：A
【点睛】关键点点睛：首先利用关系及构造法求通项公式，再由放缩法及函数新定义求目标式的值.
二、多选题
5．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再传染个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，初始感染者为1人，则（ ）
A．第三轮被传染人数为16人B．前三轮被传染人数累计为80人
C．每一轮被传染的人数组成一个等比数列D．被传染人数累计达到1000人大约需要35天
【答案】CD
【分析】根据已知条件，可转化为等比数列问题，结合等比数列前项和公式，即可求解．
【详解】由题意，设第轮感染的人数为，则数列是首项，公比的等比数列，故C正确；
所以，当时，，故A错误；
前三轮被传染人数累计为，故B错误；
当时，，当时，由，故D正确.
故选：CD
6．已知数列满足，，前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据首项判断A，由递推关系式可推出数列为递减数列，据此放缩后可判断D，再由放缩可得，据此可判断BC.
【详解】由知，A错；
∵，，∴，，∴，
时，；
时，，D对；
，∴，
∴，∴，∴，∴；
，∴，
∴，∴，∴
时，，，B对．
，C对．
故选：BCD
三、填空题
7．等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为________．
【答案】4
【分析】成等比数列，=1，可得：=，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．
【详解】∵成等比数列，a1=1，
∴=，
∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，
解得d=2．
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
Sn=n+×2=n2．
∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4，
当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
四、解答题
8．已知等差数列满足，且前四项和为28，数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式，并判断是否为等比数列；
(2)对于集合A，B，定义集合.若，设数列和中的所有项分别构成集合A，B，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前30项和.
【答案】(1)，判断答案见解析
(2)1926
【分析】（1）根据等数列的前n项和公式和通项公式可求出的通项公式，根据等比数列的定义可判断是否为等比数列；
（2）结合等差数列的前n项和，等差数列与等比数列的通项公式可求出结果.
(1)
∵是等差数列，，且前四项和为28，
∴，解得
∴.
∵，∴当时，，两式相减得，
即，又∴
∴当时，数列的通项公式为.不是等比数列
当时，数列是首项为，公比为3的等比数列，∴.
(2)
由（1）知，则
因为，
所以，
所以，中要去掉的项最多4项，即3,9,27,81，
其中9,81是和的公共项，
所以数列的前30项和由的前32项和，去掉9,81，
所以数列的前30项和为1926.
9．已知数列中，，.
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由条件可得出从而可证，从而可得出的通项公式.
(2)将（1）中的代入即得对于恒成立，设，分析出其单调性，得出其最大项，即可得出答案.
(1)
由，可得，即
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
(2)
不等式对于恒成立
即对于恒成立
即对于恒成立
设，
由
当时，，即
即
当时，，即
即
所以最大，
所以，故的最小值为
10．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前n项和，且满足，，数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式及数列的前n项和.
（2）是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1),;(2)存在正整数,使得,,成等比数列.
【分析】(1)将等差数列求和公式代入,化简后可得,再将其带入,利用裂项相消法可求得;
(2)根据等比中项的性质建立等式,化简后即可求得的范围,再结合题意均为正整数,进而可得解.
【详解】(1)是各项均不为0的等差数列,
,
,
,
;
(2)若存在正整数,使得,,成等比数列,
则,即,
化简得:,
解得:
又且,
所以,,
故存在正整数,使得,,成等比数列.
【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的基本性质,考查了学生综合分析问题和实际应用的能力.
11．数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）首先设数列的公差为，根据题意得到，从而得到，得到，即.
（2）首先根据题意得到，当时，，从而得到，即，再将转化为，利用基本不等式即可证明.
【详解】（1）设数列的公差为，因为，，成等比数列
则，解得或（舍去）.
故，即.
（2）因为，，所以，
当时，.
所以，则.
所以
故.
当且仅当，即时取等号.
故.
【点睛】本题第一问考查等差、等比数列的综合应用，第二问考查了数列的证明，同时考查了基本不等式，属于中档题.
12．已知函数.
（1）若，求a的值；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）求出，结合，根据分类讨论函数的单调性，即可解出；
（2）由（1）知，结合要证不等式，可由得，所以，再利用不等式放缩，即可由裂项相消求和法证出．
【详解】（1）因为，，则，且，
当时，，在上单调增，所以时，，不满足题意；
当时，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增.
①若，在上单调递增，当时矛盾
②若，在上单调递减，当时矛盾
③若，在上单调递减，在上单调递增
满足题意，综上所述.
（2）证明：由（1）知，又，，
，时，令，得，，
∴结论成立.