高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第07课时双曲线及其性质(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第07课时双曲线及其性质(原卷版+解析)，共36页。
【回归教材】
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做 ，两焦点间的距离叫做 ．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当 时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当 时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当 时，P点不存在．
2.双曲线的标准方程和几何性质
3.等轴双曲线的概念和性质
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：
(1)方程形式为；
(2)渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
(3)实轴长和虚轴长都等于，离心率．
【典例讲练】
题型一 双曲线的定义及其应用
【例1-1】已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（ ）
A．x2－＝1(x≤－1)B．x2－＝1
C．x2－＝1(x1)D．－x2＝1
【例1-2】已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（ ）
A．3B．1C．D．
【例1-3】已知双曲线的两个焦点分别为、，为双曲线上一点，且，则的面积为_________.
归纳总结：
【练习1-1】已知圆，动圆过点，且圆与圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程是___________.
【练习1-2】过双曲线的右支上的一点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
题型二 双曲线的标准方程
【例2-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点，，一个顶点为；
(2)一个焦点为，离心率为3；
(3)一条渐近线为，且过点；
(4)经过点，.
归纳总结：
【练习2-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)经过点，； (2)焦点为，，经过点；
(3)，经过点；
【练习2-2】已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则___________；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以为___________.（写出一个答案即可）
题型三 双曲线的渐近线
【例3-1】已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线E的焦距等于______.
【例3-2】已知为双曲线的焦点，过作轴的垂线交于点，且，则的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习3-1】已知双曲线：的离心率，则双曲线的渐近线方程为___________.
【练习3-2】已知，分别是双曲线C：的左右焦点，双曲线C的右支上一点Q满足，O为坐标原点，直线与该双曲线的左支交于P点，且，则双曲线C的渐近线方程为______．
题型四 双曲线的离心率
【例4-1】已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．2或D．或
【例4-2】已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为
A．3B．1C．D．2
【例4-3】已知为双曲线的左焦点，若双曲线右支上存在一点，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习4-1】设双曲线：的左、右焦点分别为是上一点，且．若的面积为，则离心率______.
【练习4-2】已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【练习4-3】若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【完成课时作业（五十六）】
【课时作业（五十六）】
A组 基础题
1．已知双曲线C：的一条渐近线过点P（1，2），则它的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
2．设，是双曲线的焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24B．C．D．30
3．双曲线的两个焦点为、，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为（ ）
A．B．C．4D．
4．如图，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，直线与圆相切于点，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．“k0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴： 对称中心：
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈ ，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ ，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ ；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝ (c>a>0，c>b>0)
第 7 课时 双曲线及其性质
编写：廖云波
【回归教材】
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a|F1F2|时，P点不存在．
2.双曲线的标准方程和几何性质
3.等轴双曲线的概念和性质
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：
(1)方程形式为；
(2)渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
(3)实轴长和虚轴长都等于，离心率．
【典例讲练】
题型一 双曲线的定义及其应用
【例1-1】已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（ ）
A．x2－＝1(x≤－1)B．x2－＝1
C．x2－＝1(x1)D．－x2＝1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线定义求解
【详解】
,则
根据双曲线定义知的轨迹为的左半支
故选：A
【例1-2】已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（ ）
A．3B．1C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由双曲线定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面几何性质得结论．
【详解】
设双曲线C的实半轴长为，右焦点为，
所以，
当且仅当M为的延长线与双曲线交点时取等号.
故选：C．
【例1-3】已知双曲线的两个焦点分别为、，为双曲线上一点，且，则的面积为_________.
【答案】9
【解析】
【分析】
利用双曲线定义结合勾股定理求出，再计算面积作答.
【详解】
依题意，双曲线的焦点、，，
因，则有，
即有，解得，
所以的面积.
故答案为：9
归纳总结：
【练习1-1】已知圆，动圆过点，且圆与圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据两圆外切条件，得到M点满足的等量关系，再结合双曲线的定义，即可进行求解.
【详解】
设圆M的圆心为，由题意可得圆C的圆心为，半径，
因为动圆过点，且圆与圆外切，
则，即点的轨迹为双曲线的右支，
由双曲线的性质可知该双曲线的实轴长，焦距，则，
故该双曲线的方程是，即动圆M的圆心M的轨迹方程是.
故答案为.
【练习1-2】过双曲线的右支上的一点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【解析】
【分析】
由切线，展开根据双曲线的定义以及双曲线的性质即可求解.
【详解】
设双曲线的左、右焦点分别为，

．
故选：B
题型二 双曲线的标准方程
【例2-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点，，一个顶点为；
(2)一个焦点为，离心率为3；
(3)一条渐近线为，且过点；
(4)经过点，.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）设双曲线方程为，利用已知条件求出后可得方程.
（2）设双曲线方程为，利用已知条件求出后可得方程.
（3）设双曲线方程为，利用已知条件求出后可得方程.
（4）设双曲线方程为，利用已知条件求出后可得方程.
(1)
设双曲线方程为，
由题设可得，故，故双曲线方程为.
(2)
设双曲线方程为，
由题设可得半焦距，故，所以，
所以双曲线方程为.
(3)
根据渐近线方程设双曲线方程为，
代入则有，故，
所以即双曲线方程为：.
(4)
设双曲线方程为，则，
解得，故双曲线方程为：.
归纳总结：
【练习2-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)经过点，；
(2)焦点为，，经过点；
(3)，经过点；
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
【解析】
【分析】
(1)根据题意，由双曲线经过点，，分析可得双曲线的焦点为轴上，且，设双曲线的标准方程为：，将点代入计算可得的值，将的值代入双曲线的方程，即可得答案；
(2)根据题意，分析可得双曲线的焦点在轴上，且，由双曲线的定义计算可得的值，结合双曲线的几何性质可得的值，将、的值代入双曲线的方程，即可得答案．
(3)根据题意，设双曲线的方程为：，将点代入其中计算可得的值，即可得双曲线的方程，变形为标准方程即可得答案；
(4)根据题意，设双曲线的方程为，将和，两点坐标代入双曲线方程可得，解可得：、的值，将、的值代入双曲线方程即可得答案．
(1)
根据题意，双曲线经过点，，则双曲线的焦点在轴上，且，
设双曲线的标准方程为：，
双曲线经过，则有，解可得，
则双曲线的标准方程为：；
(2)
根据题意，焦点为，，则双曲线的焦点在轴上，且，
∵双曲线过点，故根据双曲线的定义可知：
，
则，则，
则双曲线的标准方程为：；
(3)
根据题意，双曲线中，设双曲线的方程为：，
又由双曲线经过点，则有，
则双曲线的方程为，
则双曲线的标准方程为：；
【练习2-2】已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则___________；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以为___________.（写出一个答案即可）
【答案】 ，（答案不唯一）.
【解析】
【分析】
求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可求得双曲线的虚轴长，结合双曲线，进而求得的方程.
【详解】
由题意，双曲线的一条渐近线方程为
可得焦点到一条渐近线的距离为，
所以双曲线的方程为，
若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，
则的方程可以为，（答案不唯一）.
故答案为：；，（答案不唯一）.
题型三 双曲线的渐近线
【例3-1】已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线E的焦距等于______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题可求渐近线方程，然后可得，，即求.
【详解】
∵双曲线的渐近线方程为，
∴，即，
∴，，
∴的焦距等于.
故答案为：.
【例3-2】已知为双曲线的焦点，过作轴的垂线交于点，且，则的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
结合通径长得，得出关系求得即得渐近线方程．
【详解】
因为轴，所以，所以，
，，，所以，
渐近线方程为．
故选：A．
归纳总结：
【练习3-1】已知双曲线：的离心率，则双曲线的渐近线方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
分焦点在轴上和焦点在轴上进行讨论即可求出结果.
【详解】
若焦点在轴上，则且时，不存在，
若点在轴上，则且，得，，
所以，，双曲线渐近线的方程为.
故答案为：.
【练习3-2】已知，分别是双曲线C：的左右焦点，双曲线C的右支上一点Q满足，O为坐标原点，直线与该双曲线的左支交于P点，且，则双曲线C的渐近线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设，由题可知，．再根据双曲线定义求出，，然后在和中利用勾股定理有， ，即可化简得出，从而得解．
【详解】
设，则，．由双曲线的定义知，，，∴，．又，∴．在中，有，∴①．在中，有，∴②，由②化简可得，将其代入①中，得，即，
∴双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
题型四 双曲线的离心率
【例4-1】已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．2或D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
由渐近线夹角，讨论渐近线与x轴夹角、分别求出对应离心率即可.
【详解】
由题设，渐近线与x轴夹角可能为30°或60°，
当，则，故；
当，则，故；
所以双曲线的离心率为2或.
故选：C
【例4-2】已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为
A．3B．1C．D．2
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：由离心率公式，可得a=b，求得渐近线方程，以及圆的圆心和半径，求得圆心到直线的距离，由弦长公式，解方程可得所求值．
详解：由题可得：c=，即有a=b，渐近线方程为y=±x，圆（x-m）2+y2=4（m＞0）的圆心为（m，0），半径为2，可得圆心到直线的距离为d=，则直线被圆截得的弦长为，解得m=2（-2舍去），故选D．
点睛：本题考查双曲线的性质：渐近线方程和离心率，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
【例4-3】已知为双曲线的左焦点，若双曲线右支上存在一点，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线与圆相切以及直线与渐近线的斜率的关系列不等式，化简求得离心率的取值范围.
【详解】
依题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
即，
圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
两边平方并化简得，
双曲线的一条渐近线为，
由于在双曲线的右支，所以，
即，
，
.
故选：A
归纳总结：
【练习4-1】设双曲线：的左、右焦点分别为是上一点，且．若的面积为，则离心率______.
【答案】
【解析】
【分析】
设，由双曲线的定义可得，又根据的面积为，可得，再结合勾股定理建立方程组求解可得的值，从而根据离心率的定义即可求解.
【详解】
解：由题意，，设，可得，
的面积为4，
，即，
，
，
，即，解得，
离心率.
故答案为：.
【练习4-2】已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，且在第一象限，从而由可知轴，所以在直角三角形中，，由，可得的范围，进而转化为，的不等式，结合可得离心率的取值范围．
【详解】
解：因为经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，
所以由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第一象限，
由轴，可知轴，
所以，
在直角三角形中，，
因为，
所以，，
即，
所以，
即，
即，
故，
所以.
故选：B．
【练习4-3】若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出的值，利用椭圆的离心率公式可求得结果.
【详解】
设双曲线、椭圆的焦距分别为、，离心率分别为、，
则，可得，
所以，椭圆的焦点在轴上，则.
故选：C.
【请完成课时作业（五十六）】
【课时作业（五十六）】
A组 基础题
1．已知双曲线C：的一条渐近线过点P（1，2），则它的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据渐近线过点求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】
双曲线的一条渐近线为，
将代入得，
所以双曲线的离心率.
故选：C
2．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24B．C．D．30
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用题给条件及双曲线定义求得的三边长，进而求得的面积
【详解】
由，可得
又是是双曲线上的一点，则，
则，，又
则，则
则的面积等于
故选：A
3．双曲线的两个焦点为、，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设点，根据题意得，进而与双曲线方程联立得，即可得答案.
【详解】
设点，由双曲线可知、，
∵，∴，∴，
代入双曲线方程，∴，∴，∴，
∴到轴的距离是．
故选：B．
4．如图，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，直线与圆相切于点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知结合双曲线定义可得，在中利用勾股定理即可求出.
【详解】
由题可得，因为，所以，
则在中，，即，即.
故选：A.
5．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知得双曲线的焦点在x轴上，设该双曲线的方程为，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．
【详解】
由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点在该双曲线上．
设该双曲线的方程为，
则解得，，
故该双曲线的标准方程是．
故选：D.
6．“k0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)