人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案及答案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案及答案，共10页。学案主要包含了求直线的点斜式方程，直线的斜截式方程等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题．
导语
给定一个点P0(x0，y0)和一个方向(斜率或倾斜角)可以确定唯一一条直线，也就是说这条直线上任意一点的坐标(x，y)与点P0(x0，y0)和斜率k之间的关系是确定的，如何表示这一关系呢？
一、求直线的点斜式方程
问题1 给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线．怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？
提示 y－y0＝k(x－x0)
知识梳理
我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．
方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
注意点：
(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．
(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.
例1 已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程．
解 (1)如图所示，
因为A(1,1)，B(5,1)，
所以AB∥x轴，
所以AB边所在直线的方程为y＝1.
(2)因为∠A＝60°，
所以kAC＝tan 60°＝eq \r(3)，
所以直线AC的方程为y－1＝eq \r(3)(x－1)．
因为∠B＝45°，
所以kBC＝tan 135°＝－1，
所以直线BC的方程为y－1＝－(x－5)．
反思感悟 求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．
(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
跟踪训练1 求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝eq \f(\r(3),3)x的倾斜角的2倍；
(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行；
(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．
解 (1)∵直线y＝eq \f(\r(3),3)x的斜率为eq \f(\r(3),3)，
∴直线y＝eq \f(\r(3),3)x的倾斜角为30°.
∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为eq \r(3).
∴所求直线方程为y＋3＝eq \r(3)(x－2)，
即eq \r(3)x－y－2eq \r(3)－3＝0.
(2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示．
但直线上点的横坐标均为5，
故直线方程可记为x＝5.
(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率
kPQ＝eq \f(－4－3,5－－2)＝eq \f(－7,7)＝－1.
∵直线过点P(－2,3)，
∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0.
二、直线的斜截式方程
问题2 直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程．
提示 y＝kx＋b
知识梳理
1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．
2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
注意点：
(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．
(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距．
(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程．
例2 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
解 由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，
又因为l∥l1，所以kl＝－2.
由题意知，l2在y轴上的截距为－2，
所以直线l在y轴上的截距b＝－2.
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
延伸探究 本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求l的方程．
解 ∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，
∴l的斜率为eq \f(1,2).
∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，
直线l2：y＝4x－2，
∴l在y轴上的截距为2.
∴直线l的方程为y＝eq \f(1,2)x＋2.
反思感悟 求直线的斜截式方程的策略
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．
跟踪训练2 已知斜率为－eq \f(4,3)的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l的方程．
解 设l：y＝－eq \f(4,3)x＋b，
令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝eq \f(3,4)b.
由题意，得eq \f(1,2)·|b|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)b))＝6，
∴b2＝16，∴b＝±4.
故直线l的方程为y＝－eq \f(4,3)x±4.
三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直
例3 已知直线l1：y＝－eq \f(3m,8)x＋eq \f(10－3m,8)和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？
解 当m＝0时，l1：4y－5＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直；
当m≠0时，l2的方程可化为y＝－eq \f(1,6m)x＋eq \f(2,3m).
由－eq \f(3m,8)＝－eq \f(1,6m)，得m＝±eq \f(2,3)；
由eq \f(10－3m,8)＝eq \f(2,3m)，得m＝eq \f(2,3)或m＝eq \f(8,3)，
－eq \f(3m,8)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6m)))＝－1无解．
故当m＝－eq \f(2,3)时，l1与l2平行；
当m＝0时，l1与l2垂直．
反思感悟 若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
跟踪训练3 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)判断直线l1与l2是否能平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值．
解 (1)当a＝1时，显然两直线不平行．
当a≠1时，将方程ax＋2y＋6＝0化为y＝－eq \f(a,2)x－3，
将方程x＋(a－1)y＋a2－1＝化为y＝eq \f(1,1－a)x－a－1.
若直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)＝\f(1,1－a)，,－3≠－a－1，))解得a＝－1.
故当a＝－1时，直线l1与l2平行．
(2)当l1⊥l2时，a＋2(a－1)＝0，解得a＝eq \f(2,3).
即当a＝eq \f(2,3)时，l1⊥l2.
1．知识清单：
(1)直线的点斜式方程．
(2)直线的斜截式方程．
2．方法归纳：待定系数法、数形结合思想．
3．常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离．
1．方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2,0)的所有直线
B．通过点(2,0)的所有直线
C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
答案 C
解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．
2．已知直线l的方程为y＋eq \f(27,4)＝eq \f(9,4)(x－1)，则l在y轴上的截距为( )
A．9 B．－9 C.eq \f(27,4) D．－eq \f(27,4)
答案 B
解析 由y＋eq \f(27,4)＝eq \f(9,4)(x－1)，得y＝eq \f(9,4)x－9，
∴l在y轴上的截距为－9.
3．已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )
A．y＝eq \r(3)x＋2 B．y＝－eq \r(3)x＋2
C．y＝－eq \r(3)x－2 D．y＝eq \r(3)x－2
答案 D
解析 ∵α＝60°，∴k＝tan 60°＝eq \r(3)，
∴直线l的方程为y＝eq \r(3)x－2.
4．若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
答案 B
解析 ∵直线经过第一、三、四象限，
∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
课时对点练
1．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为( )
A．x＝3 B．x＝－2
C．y＝3 D．y＝－2
答案 D
解析 ∵直线与x轴平行，
∴其斜率为0，
∴直线的方程为y＝－2.
2．若直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是( )
A．y－1＝x B．y＋1＝x
C．y－1＝－x D．y＋1＝－x
答案 B
解析 ∵直线l的倾斜角为45°，
∴直线l的斜率为1，
又∵直线l过点(0，－1)，
∴直线l的方程为y＋1＝x.
3．直线y－2＝－eq \r(3)(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( )
A．60°，2 B．120°，2－eq \r(3)
C．60°，2－eq \r(3) D．120°，2
答案 B
解析 该直线的斜率为－eq \r(3)，当x＝0时，y＝2－eq \r(3)，
∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－eq \r(3).
4．过点(－1,3)且垂直于直线y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2)的直线方程为( )
A．y－3＝－2(x＋1) B．y－3＝－2(x－1)
C．y－3＝－eq \f(1,2)(x＋1) D．y－3＝eq \f(1,2)(x＋1)
答案 A
解析 所求直线与已知直线垂直，
因此所求直线的斜率为－2，
故方程为y－3＝－2(x＋1)．
5．以A(2，－5)，B(4，－1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A．y－(－3)＝2(x－3) B．y－3＝2(x－3)
C．y－3＝－eq \f(1,2)(x－3) D．y－(－3)＝－eq \f(1,2)(x－3)
答案 D
解析 由A(2，－5)，B(4，－1)，知线段AB的中点坐标为P(3，－3)，
又由斜率公式可得kAB＝eq \f(－1－－5,4－2)＝2，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为k＝－eq \f(1,kAB)＝－eq \f(1,2)，
所以线段AB的垂直平分线的方程为y－(－3)＝－eq \f(1,2)(x－3)．
6．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点( )
A．(1,3) B．(－1，－3)
C．(3,1) D．(－3，－1)
答案 C
解析 直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，
由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．
7．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是 ．
答案 y＝eq \r(3)x－6或y＝－eq \r(3)x－6
解析 因为直线与y轴相交成30°角，
所以直线的倾斜角为60°或120°，
所以直线的斜率为eq \r(3)或－eq \r(3)，
又因为在y轴上的截距为－6，
所以直线的斜截式方程为y＝eq \r(3)x－6或y＝－eq \r(3)x－6.
8．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为 ．
答案 y－1＝－(x－2)
解析 直线l2的斜率k2＝1，
故l1的斜率为－1，
所以l1的点斜式方程为y－1＝－(x－2)．
9．求满足下列条件的m的值．
(1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行；
(2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直．
解 (1)∵l1∥l2，
∴两直线的斜率相等．
∴m2－2＝－1且2m≠1，
∴m＝±1.
(2)∵l1⊥l2，∴2m－1＝eq \f(1,2)，
∴m＝eq \f(3,4).
10．直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．
解 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，
令y＝0，得x＝eq \f(2k－2,k)，
由三角形的面积为2，得eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2k－2,k)))×2＝2.
解得k＝eq \f(1,2).
可得直线l的方程为y－2＝eq \f(1,2)(x－2)．
综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝eq \f(1,2)(x－2)．
11．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是( )
答案 C
解析 对于选项A，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意；
对于选项B，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零，题中图象不符合题意；
对于选项C，y＝ax过坐标原点，且a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意；
对于选项D，两直线均不过原点，不符合题意．
12．设a∈R，如果直线l1：y＝－eq \f(a,2)x＋eq \f(1,2)与直线l2：y＝－eq \f(1,a＋1)x－eq \f(4,a＋1)平行，那么a＝ .
答案 －2或1
解析 由l1∥l2，得－eq \f(a,2)＝－eq \f(1,a＋1)且eq \f(1,2)≠－eq \f(4,a＋1)，
解得a＝－2或a＝1.
13．已知直线l在y轴上的截距等于它的斜率，则直线l一定经过点 ．
答案 (－1,0)
解析 由题意可设方程为y＝ax＋a，
即y－0＝a(x＋1)，
由点斜式方程可知，直线过定点(－1,0)．
14．将直线y＝eq \r(3)(x－2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是 .
答案 y＝－eq \r(3)(x－2)
解析 ∵直线y＝eq \r(3)(x－2)的倾斜角是60°，
∴按逆时针方向旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为－eq \r(3)，且过点(2,0)，
∴其方程为y－0＝－eq \r(3)(x－2)，即y＝－eq \r(3)(x－2)．
15．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是 ．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))
解析 由已知得，直线l恒过定点P(2,1)，如图所示．
若l与线段AB相交，
则kPA≤k≤kPB，
因为kPA＝eq \f(3－1,1－2)＝－2，kPB＝eq \f(－1－1,－2－2)＝eq \f(1,2)，
所以－2≤k≤eq \f(1,2).
16．已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3(1)证明 由y＝kx＋2k＋1，
得y－1＝k(x＋2)．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．
(2)解 设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使当－3需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－3≥0，,f3≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3k＋2k＋1≥0，,3k＋2k＋1≥0，))
解得－eq \f(1,5)≤k≤1.
所以实数k的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，1)).