高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题09函数的单调性问题(原卷版+解析)

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一．证明函数单调性的步骤
（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；
（4）得出结论．
二．函数单调性的判断方法
（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（4）记住几条常用的结论
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
三．单调性定义的等价形式
（1）函数在区间上是增函数：
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，．
（2）函数在区间上是减函数：
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，．
四．复合函数单调性的判断
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．
列表如下：
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：
（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；
（2）分别确定各个函数的定义域；
（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．
若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．
【题型归纳目录】
题型一：直接判断函数单调性
题型二：定义法证明单调性
题型三：证明抽象函数的单调性
题型四：求单调区间
题型五：根据单调性求参数
题型六：根据图像判断单调性
题型七：复合函数的单调性
题型八：比较函数值的大小关系
【典型例题】
题型一：直接判断函数单调性
例1．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数中，在上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
例2．(2023·全国·高一课时练习）下列函数中，在上为减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
例3．(2023·江苏·高一）设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
题型二：定义法证明单调性
例4．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知函数．
(1)求证：在上是增函数；
(2)当时，求不等式的解集．
例5．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，判断并证明在区间上的单调性．
例6．(2023·陕西·榆林市第十中学高一期中）已知函数.
(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；
(2)求函数在上的最大值.
例7．(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）已知函数满足，且.
(1)求和函数的解析式；
(2)用定义法证明在其定义域的单调性.
题型三：证明抽象函数的单调性
例8．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.
(1)求的值；
(2)证明：是定义域上的减函数；
(3)若，解不等式.
例9．(2023·河北沧州·高一开学考试）设是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数都有；②当时，；③.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
(3)如果存在正数，使不等式有解，求正数的取值范围.
例10．(2023·辽宁·育明高中高一期末）已知函数对任意，都有，且当时，．
(1)求证：在上是增函数；
(2)若关于a的方程的一个实根是1，求的值；
(3)在（2）的条件下，已知，解关于x的不等式．
例11．(2023·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试）已知定义在上的函数满足：①当时，，②对任意都有，③
(1)求的值.
(2)求证：对任意
(3)证明：在上是増函数.
例12．(2023·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
(3)求满足的的取值集合．
例13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．
题型四：求单调区间
例14．(2023·全国·高一课时练习）画出下列函数的图象，并写出单调区间：
(1)；
(2)．
例15．(2023·黑龙江·哈九中高一阶段练习）已知函数的解析式.
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）.
例16．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的单调增区间为_______．
例17．(2023·全国·高一专题练习）函数的单调增区间是（ ）
A．B．
C．D．
题型五：根据单调性求参数
例18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数.若的减区间为，则实数a的值为___________；若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为___________.
例19．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.
例20．(2023·辽宁·同泽高中高一开学考试）已知函数，若对于区间上任意两个不相等的实数，，都有，则实数a的取值范围为___________．
例21．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例22．(2023·全国·高一课时练习）已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例23．(2023·全国·高一课时练习）若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．C．，D．
例24．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
题型六：根据图像判断单调性
例25．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）如图所示是函数的图象，图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的，都有唯一的自变量与之对应
例26．(2023·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中）函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义城为
B．函数的值域为
C．当时，有两个不同的值与之对应
D．当、时，
例27．(2023·重庆复旦中学高一期中）已知，下列说法正确的是（ ）
A．在区间单调递增B．在区间单调递减
C．有最小值D．没有最大值
例28．(2023·山东泰安·高一期中）设函数，则（ ）
A．的最大值为
B．在上单调递增，在上单调递减
C．的最小值为
D．在上单调递增，在上单调递减
题型七：复合函数的单调性
例29．(2023·四川巴中·高一期中）的单调增区间为（ ）
A．B．C．D．
例30．(2023·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．（，1]B．[1，）C．[1，4]D．[2，1]
例31．(2023·江苏·常州市第一中学高一期中）若函数则，该函数的单调递减区间是（ ）．
A．B．C．D．
例32．(2023·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
例33．(2023·河北·邯郸市旭日中学高一期中）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
题型八：比较函数值的大小关系
例34．(2023·全国·高一课时练习）已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
例35．(2023·浙江·永嘉中学高一竞赛）设，，，则( )
A．B．C．D．
例36．(2023·上海市建平中学高一期中）设，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
例37．(2023·辽宁·沈阳市第八十三中学高一开学考试）若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
例38．(2023·全国·高一课时练习）函数在是增函数，若，则有 （ ）
A．B．
C．D．
题型九：根据函数单调性解不等式
例39．(2023·全国·高一课时练习）若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例40．(2023·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，
那么|f（x+1）|0时，设，则函数，因为在区间上单调递减，要使函数在上单调递减，则，解得.
当a