高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题24绝对值函数问题(原卷版+解析)

这是一份高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题24绝对值函数问题(原卷版+解析)，共30页。
题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题
题型二：含两个绝对值的和的问题
题型三：含两个绝对值的差的问题
题型四：含多个绝对值的问题
【典型例题】
题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题
例1．不等式的解集为
A．B．，，
C．D．
例2．不等式的解集是
A．，，B．
C．D．，，
例3．若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．，
变式1．已知为常数，函数在区间，上的最大值为10，则 ．
变式2．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是
变式3．已知，函数在区间，上的最大值是5，则的取值范围是 ．
变式4．若函数在区间，上的最小值是4，实数的取值范围是 ．
题型二：含两个绝对值的和的问题
例4．不等式的解集是
A．B．C．D．
例5．不等式恒成立，则的取值范围是
A．B．C．，D．，，
例6．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值是
A．0B．1C．D．2
变式5．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值是
A．0B．1C．D．2
变式6．不等式的解集为 ．
变式7．关于的不等式在上恒成立，则的最大值为 ．
变式8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若集合，，则实数的取值范围为 ．
题型三：含两个绝对值的差的问题
例7．若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为
A．，，B．，，
C．，D．，，
例8．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为
A．B．
C．，，D．，，
例9．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为
A．，，B．
C．，，D．
变式9．对所有的，不等式恒成立，实数的取值范围是 ．
变式10．关于的不等式的解集不是，则实数的取值范围为 ．
题型四：含多个绝对值的问题
例10．设函数，下列四个命题中真命题的序号是
（1）是偶函数；
（2）当且仅当时，有最小值；
（3）在上是增函数；
（4）方程有无数个实根
A．（1）（4）B．（1）（2）C．（1）（2）（3）D．（2）（3）（4）
例11．若对一切恒成立，则实数的取值范围为 ．
例12．已知函数，则当 时，取得最小值．
变式11．已知函数．则（2） ，的最小值为 ．
变式12．已知函数，且．
（1）分别计算（1），（5），的值；
（2）当为何值时，取得最小值？最小值是多少？
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·江苏·扬州市邗江区蒋王中学高一阶段练习）设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
4．(2023·浙江·温州中学高一期中）已知函数，且实数满足，则实数的取值范围为（ ）
A．或或B．或
C．或D．或或
5．(2023·江苏·海安高级中学高一阶段练习）若不等式对一切恒成立．则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，当时，设的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
7．(2023·浙江杭州·高一期末）当时，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．18B．17C．16D．15
8．(2023·江苏省太湖高级中学高一期中）设，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．(2023·辽宁·沈阳二中高一阶段练习）已知函数（），若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．(2023·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（ ）
A．B．C．D．1
11．(2023·江苏·靖江高级中学高一阶段练习）若，使得成立是假命题，则实数m可能取值是（ ）
A．5B．4C．D．
12．(2023·辽宁·沈阳市第五中学高一阶段练习）下面命题中正确的为（ ）
A．不等式的解集为
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
三、填空题
13．(2023·天津市汇文中学高一阶段练习）关于x的不等式|x－2|＋|x＋1|≤10的解集为___________．
14．(2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为_________.
15．(2023·全国·高一专题练习）设，如果可取任意实数值，那么的最小值是_____.
16．(2023·全国·高一专题练习）不等式恒成立，则的取值范围是_________.
四、解答题
17．(2023·广东实验中学附属天河学校高一阶段练习）已知集合，，，求a的取值范围．
18．(2023·湖北武汉·高一期中）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)当时，若恒成立，求实数m的取值范围.
19．(2023·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知函数
(1)若函数的值域为，，求实数的值
(2)若，求实数的取值范围．
20．(2023·浙江·高一阶段练习）已知，，，函数．
(1)若，关于的不等式对任意恒成立，求，的值；
(2)若，，，关于的方程有两个不相等的实根，且均大于小于，求的最小值．
21．(2023·江苏省阜宁中学高一阶段练习）（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围；
（3）已知在时恒成立，求的取值范围.
微专题24 绝对值函数问题
【题型归纳目录】
题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题
题型二：含两个绝对值的和的问题
题型三：含两个绝对值的差的问题
题型四：含多个绝对值的问题
【典型例题】
题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题
例1．不等式的解集为
A．B．，，
C．D．
【解析】解：，
，
解得：，
故选：．
例2．不等式的解集是
A．，，B．
C．D．，，
【解析】解：，，，
故不等式的解集是，
故选：．
例3．若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．，
【解析】解：由不等式对任意，上恒成立，
可得的图象在，上恒位于直线的下方或在直线上，
如图所示：
①，或②．
由①可得，由②可得，
故实数的取值范围是，或者，，
故选：．
变式1．已知为常数，函数在区间，上的最大值为10，则 2或6 ．
【解析】解：函数在区间，上的最大值为10，
故有，或，求得，或，
故答案为：2或6．
变式2．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ，
【解析】解：等价于或，解得或，
当，即时，不等式解集为，显然符合题意．
当时，，，，，
所以或，解得或（舍去），
综上，实数的取值范围是或．
故答案为：，．
变式3．已知，函数在区间，上的最大值是5，则的取值范围是 ， ．
【解析】解：由题可知，即，所以，
又因为，
所以，
所以，
又因为，，
所以，解得，
故答案为：，．
变式4．若函数在区间，上的最小值是4，实数的取值范围是 ， ．
【解析】解：由在，递减，，递增，
可得的最小值为4，最大值为5，
函数的最值在顶点或区间的端点处取得，
若（1）取得最小值4，即，可得，
即有，且此时（1）（2）（4）取得最小值，成立；
若（2）取得最小值4，即，即有；
此时（1），（4），（2），由（2）（1），解得；
当（4）取得最小值4，即，解得，成立．
综上可得的范围是，．
故答案为：，．
题型二：含两个绝对值的和的问题
例4．不等式的解集是
A．B．C．D．
【解析】解：令，
则，
当时，，
；
当时，有恒成立，
当时，，
．
综上所述，不等式的解集为，．
故选：．
例5．不等式恒成立，则的取值范围是
A．B．C．，D．，，
【解析】解：，
的最小值为3，
恒成立，
只需，，
的取值范围为，．
故选：．
例6．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值是
A．0B．1C．D．2
【解析】解：由绝对值的性质得，
所以最小值为1，从而，解得，
因此的最大值为1．
故选：．
变式5．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值是
A．0B．1C．D．2
【解析】解：化简得：，
当，即时，上式化为，实数无解；
当，即时，上式化为，解得，解得，
综上，实数的范围为，
则实数的最大值为1．
故选：．
变式6．不等式的解集为 ，， ．
【解析】解：由于，
故当时，不等式即，解得．
当时，不等式即，解得无解．
当时，不等式即，解得．
综上可得，不等式的解集为，，，
故答案为，，．
变式7．关于的不等式在上恒成立，则的最大值为 6 ．
【解析】解：由绝对值的性质得，
所以最小值为6，从而，解得，
因此的最大值为6．
故答案为：6．
变式8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若集合，，则实数的取值范围为 ．
【解析】解：若，，
则等价为恒成立，即恒成立，
当时，．
若，则当时，，
是奇函数，
若，则，则，
则，，
综上，此时函数为增函数，则恒成立，
若，
若时，；
当时，；
当时，．
即当时，函数的最小值为，
由于函数是定义在上的奇函数，
当时，的最大值为，
作出函数的图象如图：
由于，，
故函数的图象不能在函数的图象的上方，
结合图可得，即，求得，
综上，
故答案为：，
题型三：含两个绝对值的差的问题
例7．若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为
A．，，B．，，
C．，D．，，
【解析】解：令，
则，即，
若存在实数使得不等式成立，
则，
解得或．
故选：．
例8．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为
A．B．
C．，，D．，，
【解析】解：，
，
由不等式有实数解，
知，解得．
故选：．
例9．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为
A．，，B．
C．，，D．
【解析】解：表示数轴上的对应点到的距离减去它到2的距离，它的最大值为3，最小值等于，
，，，或，故实数的取值范围为，，，
故选：．
变式9．对所有的，不等式恒成立，实数的取值范围是 ，，
【解析】解：，对所有的，不等式恒成立，则，解得或．
故答案为，，．
变式10．关于的不等式的解集不是，则实数的取值范围为 ，， ．
【解析】解：，
．
不等式的解集不是，
只需，
，或，
的取值范围为，，．
故答案为：，，．
题型四：含多个绝对值的问题
例10．设函数，下列四个命题中真命题的序号是
（1）是偶函数；
（2）当且仅当时，有最小值；
（3）在上是增函数；
（4）方程有无数个实根
A．（1）（4）B．（1）（2）C．（1）（2）（3）D．（2）（3）（4）
【解析】解：，
，
为偶函数，故（1）正确．
根据绝对值的几何意义可得
，
当且仅当时，取等号．故（2）错误；
由于（1），显然函数在上不是增函数，故（3）不正确；
由于，且函数为偶函数，
，或，或．
解得，或，或或，
故方程有无数个实根，故（4）正确．
故答案为：（1）（4）
故选：．
例11．若对一切恒成立，则实数的取值范围为 ， ．
【解析】解：，
可得，
若对一切恒成立，则实数的取值范围为，．
故答案为：，．
例12．已知函数，则当 时，取得最小值．
【解析】解：
共有项
又
（注为到的距离
即为到的距离加上到的距离，
当在，之间时，最小且值为到的距离）
所以的5050项 前后对应每两项相加，使用公式
当在每一对，之间时，等号成立
由于
所以最中间的两项（第2525，2526项）是
所以
当时等号成立
则当时取得最小值
变式11．已知函数．则（2） 9 ，的最小值为 ．
【解析】解：（1）（2）
（2），
由单调性知，最小值为1．
变式12．已知函数，且．
（1）分别计算（1），（5），的值；
（2）当为何值时，取得最小值？最小值是多少？
【解析】解：（1）由，
得（1）；
（5）；
．
（2）设是中的某一整数，
则
．
因为，所以当或11时，取最小值，
，即最小值是100．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，故.
故选：D.
2．(2023·江苏·扬州市邗江区蒋王中学高一阶段练习）设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意可得，且.
当时，可得，
由绝对值三角不等式可得，
当且仅当时，等号成立，所以，，可得；
当时，可得，
因为，
当且仅当时，等号成立，故，解得.
综上所述，.
故选：C.
3．(2023·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
答案：D
【解析】集合，
或
又，所以或
即或，即
所以的取值范围为
故选：D
4．(2023·浙江·温州中学高一期中）已知函数，且实数满足，则实数的取值范围为（ ）
A．或或B．或
C．或D．或或
答案：A
【解析】因为函数的定义域为，而，所以函数为偶函数，
又，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
……
，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，
当时，，当时，
，
……
当时，，
当时，，
故函数在上递增，再根据函数为偶函数，所以在上递增，因此可等价于或或，解得或或或．
故选：A．
5．(2023·江苏·海安高级中学高一阶段练习）若不等式对一切恒成立．则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设，
当时，；
当时，；
当时，，
故有最大值3．
对一切恒成立，则a必大于等于的最大值3．
故取值范围为．
故选：C．
6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，当时，设的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
答案：B
【解析】函数，当,时，的最大值为，
可得，，，
可得,,,
，
即，即有，则的最小值为，
故选：B
7．(2023·浙江杭州·高一期末）当时，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．18B．17C．16D．15
答案：B
【解析】因为，
所以，
当时，可得①，
当时，可得②，
当时，可得③，
由①②③可得，
，
所以，
故选：B
8．(2023·江苏省太湖高级中学高一期中）设，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由得或，解得或，所以，
由得，解得，所以.
当时，，，符合题意.
当时，由于，所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：C
9．(2023·辽宁·沈阳二中高一阶段练习）已知函数（），若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】可化为，作函数与函数的图象如下，
结合图象可知，关于的不等式的解集中的3个整数解为0，，；
故只需使，解得；
故选：B．
二、多选题
10．(2023·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（ ）
A．B．C．D．1
答案：AD
【解析】令①，
当时，不等式可整理为，解得，故符合要求，
当时，不等式可整理为，解得，故，
所以不等式①的解为；
由上可得，不等式的解为或，
所以，
令，解得，令，解得或，
令，解得或，令，解得或，
所以区间的最小长度为1，最大长度为.
故选：AD.
11．(2023·江苏·靖江高级中学高一阶段练习）若，使得成立是假命题，则实数m可能取值是（ ）
A．5B．4C．D．
答案：CD
【解析】因为，使得成立是假命题，
所以，都有.
记，只需.
，
所以，所以.
对照四个选项，C、D符合题意.
故选：CD
12．(2023·辽宁·沈阳市第五中学高一阶段练习）下面命题中正确的为（ ）
A．不等式的解集为
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
答案：BD
【解析】对于A，当时，，故选项A错误；
对于B，因为，即不等式恒成立，
所以不等式的解集为，故选项B正确；
对于C，不等式，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得.
综上所述，不等式的解集为，故选项C错误,D正确..
故选：BD.
三、填空题
13．(2023·天津市汇文中学高一阶段练习）关于x的不等式|x－2|＋|x＋1|≤10的解集为___________．
答案：
【解析】当x＞2时，原不等式可化为：(x－2)＋x＋1≤10，解得2＜x≤；
当－1≤x≤2时，原不等式可化为：－(x－2)＋x＋1≤10，即3≤10，所以－1≤x≤2；
当x＜－1时，原不等式可化为：－(x－2)－(x＋1)≤10，即－2x≤9，解得≤x＜－1．
综上所述，原不等式的解集是．
故答案为：．
14．(2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为_________.
答案：
【解析】，化为：
或或
解得：或或.
不等式的解集为：
故答案为：
15．(2023·全国·高一专题练习）设，如果可取任意实数值，那么的最小值是_____.
答案：4
【解析】根据绝对值的几何意义可知，可转化为在数轴上有四点，其对应的值分别为，求一点，使得最小，
当在线段上时，的最小值为，当在线段上时，的最小值为，
故当在线段上时，的最小值是.
故答案为：4.
16．(2023·全国·高一专题练习）不等式恒成立，则的取值范围是_________.
答案：
【解析】,
即函数的最小值是，若不等式恒成立，则.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·广东实验中学附属天河学校高一阶段练习）已知集合，，，求a的取值范围．
【解析】表示数轴上的点x到1与2的距离之和小于3，
∴，∴，
，，
∴在上无解，即在上无解，
∴ ，恒成立，
，当且仅当时，等号成立，，
∴a的取值范围为
18．(2023·湖北武汉·高一期中）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)当时，若恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）由于，
当时，，解得，此时；
当时，不成立，此时无解；
当时，，解得，此时.
综上：的解集为.
（2）∵，当且仅当时等号成立
∴，即，解得.
∴m的取值范围是.
19．(2023·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知函数
(1)若函数的值域为，，求实数的值
(2)若，求实数的取值范围．
【解析】（1）函数，
当时，等号成立，
，解得或．
（2）由，可得，
则或或，
解得：或或．
综上，的范围是：．
20．(2023·浙江·高一阶段练习）已知，，，函数．
(1)若，关于的不等式对任意恒成立，求，的值；
(2)若，，，关于的方程有两个不相等的实根，且均大于小于，求的最小值．
【解析】（1）由，解得或，
则当或时，，即，
由，解得，
∴，；
（2）由题意得，∴，
由得，
若，∴，则，无解，
若，∴，则，无解，
若，∴，则，∴或，
显然时，更小，为10，
若，由，得，
∴的最小值为，当，时取得．
21．(2023·江苏省阜宁中学高一阶段练习）（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围；
（3）已知在时恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）①当时不等式为解得：
②当时，不等式为解得
综上得：不等式的解集为：
（2）的解集包含，故原不等式转化为：在恒成立，即在恒成立，而对勾函数在区间上单调递减，当时，有最小值，
.
（3）， 恒成立化为：，
解得或.