高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题10求函数的值域问题(原卷版+解析)

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函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．
【题型归纳目录】
题型一：常见（一次函数、二次函数、正反比例函数等）函数的值域
题型二：复杂（根式型、分式型等）函数的值域
题型三：抽象函数的值域
题型四：复合函数的值域
题型五：判别式法求值域
题型六：根据值域求参数的值或者范围问题
题型七：根据函数的值域求定义域
【典型例题】
题型一：常见（一次函数、二次函数、正反比例函数等）函数的值域
例1．(2023·全国·高一课时练习）已知，则的值域为______.
例2．(2023·全国·高一课时练习）函数的值域为________.
例3．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，，则__________.
例4．(2023·全国·高一课时练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)
(3)；
(4)．
例5．(2023·全国·高一课时练习）作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：
(1)，；
(2)，．
题型二：复杂（根式型、分式型等）函数的值域
例6．(2023·全国·高一课时练习）求函数的值域．
例7．(2023·全国·高一课时练习）函数；
①的值域是__________；
②的值域是__________．
例8．(2023·全国·高一专题练习）函数的值域是________________．
例9．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域是，那么函数的定义域是___________.
例10．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
例11．(2023·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期中）函数的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
例12．（多选题）(2023·江苏·南京外国语学校高一期中）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为1B．的值域为
C．的最大值为2D．在上单调递减
例13．(2023·全国·高一课时练习）函数的值域为_______________．
例14．(2023·安徽省六安中学高一期中）关于函数的性质描述，错误的是_________.
①的定义域为[-1，0)∪(0，1]； ②的值域为；
③在定义域上是减函数； ④的图象关于原点对称.
题型三：抽象函数的值域
例15．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，值域为R，则（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为R
C．函数的定义域和值域都是R
D．函数的定义域和值域都是R
例16．(2023·全国·高一课时练习）已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（ ）
A．，B．，C．，D．，
例17．(2023·天津天津·高一期中）已知定义在R上的函数满足，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为__________.
例18．(2023·全国·高一课时练习）若函数的值域是，则函数的值域是________.
例19．(2023·全国·高一）若函数的值域为，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
题型四：复合函数的值域
例20．(2023·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（文））已知，则的单调增区间为______，值域为______.
例21．(2023·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
例22．(2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为，且对任意，都有，且，当时，有.
（1）求，的值；
（2）判断的单调性并加以证明；
（3）求在，上的值域.
例23．(2023·江苏·高一单元测试）若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
题型五：判别式法求值域
例24．(2023·全国·高一专题练习）若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．4B．6
C．7D．8
例25．(2023·全国·高一专题练习）已知，且，则的取值范围是___________.
例26．(2023·浙江省杭州学军中学高一期中）设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则_________.
例27．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为[1，3]，求的值
例28．(2023·全国·高一课时练习）函数的值域是___________.
题型六：根据值域求参数的值或者范围问题
例29．(2023·全国·高一专题练习）已知函数f（x）的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是__．
例30．(2023·广东·高一期末）已知函数．
(1)是否存在实数，使得函数在区间上的值域为？请说明理由；
(2)若存在实数，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
例31．(2023·河北·石家庄市第六中学高一期中）设函数f(x)=x2+(2a-2)x+3-2a
(1)若f(x)在区间[-5，5]上为单调函数，求实数a的取值范围
(2)若y=的定义域为R，求a的范围
(3)若y=的值域为[0，+∞），求a的范围
例32．(2023·安徽·高一期中）已知函数，，若对，，使成立，则实数的取值范围为___________.
例33．(2023·上海闵行·高一期末）已知，函数有最大值，则实数的取值范围是___________.
例34．(2023·山东·广饶一中高一开学考试）已知函数，若存在实数a，，使在上的值域为，则实数m的取值范围是______．
例35．(2023·江苏·苏州市吴中区苏苑高级中学高一阶段练习）已知函数的定义域是（a，b为整数），值域是，则满足条件的整数数对的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
题型七：根据函数的值域求定义域
例36．（多选题）(2023·江西景德镇·高一期中）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ）
A．B．C．D．
例37．（多选题）(2023·广东·仲元中学高一期中）若函数在定义域T上的值域为，则区间T可能为（ ）
A．B．
C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·全国·高一课时练习）下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则函数的值域为（ ）
A．{0，}B．{ ，1}C．{0，1}D．{ ，0，1}
3．(2023·全国·高一专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（ ）
A．区间，上的值域为，
B．区间，上的值域为，
C．区间，上的值域为，
D．区间，上的值域为
4．(2023·全国·高一课时练习）给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即，例如：，．在此基础上给出下列关于函数的四个命题：；；；的定义域是，值域是，则正确的命题的个数是（ ）个
A．1B．2C．3D．4
5．(2023·四川·宁南中学高一开学考试）已知集合，，为实数集，则等于（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·辽宁·育明高中高一期末）已知函数，且对任意的实数x，恒成立，函数，若对，，使，则正实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．(2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的值域为
D．函数在上的值域为
8．(2023·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）给定函数 ， . 表示，中的较小者，记为，则（ ）
A．
B．函数的定义域为
C．函数的值域为
D．函数的单调区间有3个
9．(2023·江苏·高一单元测试）某同学在研究函数时，分别得出下面几个结论，其中正确的结论是（ ）
A．等式在时恒成立
B．函数的值域为
C．若，则一定有
D．方程在上有三个根
三、填空题
10．(2023·上海闵行·高一期末）已知，函数有最大值，则实数的取值范围是___________.
11．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，集合为函数的定义域，集合为函数的值域，若定义且，，则___________.
四、解答题
12．(2023·全国·高一课时练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
13．(2023·湖北·沙市中学高一期中）已知二次函数．
（1）当时，若函数定义域与值域完全相同，求的值；
（2）若的两实数根均在内，求实数的取值范围．
14．(2023·江苏·高一专题练习）求下列函数的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
15．(2023·广东·金山中学高一期中）设常数记函数的最小值为．
(1)求函数的定义域．设，求的取值范围;
(2)由（1）中题设的把表示为的函数并求
微专题10 求函数的值域问题
【方法技巧与总结】
函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．
【题型归纳目录】
题型一：常见（一次函数、二次函数、正反比例函数等）函数的值域
题型二：复杂（根式型、分式型等）函数的值域
题型三：抽象函数的值域
题型四：复合函数的值域
题型五：判别式法求值域
题型六：根据值域求参数的值或者范围问题
题型七：根据函数的值域求定义域
【典型例题】
题型一：常见（一次函数、二次函数、正反比例函数等）函数的值域
例1．(2023·全国·高一课时练习）已知，则的值域为______.
答案：
【解析】令，则，所以，
所以，
故的解析式为，其值域为.
故答案为：.
例2．(2023·全国·高一课时练习）函数的值域为________.
答案：
【解析】由题得且.
因为, 且.
所以原函数的值域为.
故答案为：
例3．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，，则__________.
答案：
【解析】由题意，，又
又
由于，又
故
故答案为：
例4．(2023·全国·高一课时练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)
(3)；
(4)．
【解析】（1）因为，，，，，所以函数的值域为．
（2）因为，且，所以，所以函数的值域为．
（3）因为，所以，所以函数的值域为.
（4）设（换元），则且，令.
因为，所以，即函数的值域为.
例5．(2023·全国·高一课时练习）作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：
(1)，；
(2)，．
【解析】（1）该函数的图象如图所示，由图可知值域为；
（2）作出函数，的图象，如图所示，由图象可知值域为.
题型二：复杂（根式型、分式型等）函数的值域
例6．(2023·全国·高一课时练习）求函数的值域．
【解析】令，则，
由及，得，所以，
则（），
为开口向下的二次函数，对称轴为，故在单调递增
因此当时，；当时，
故函数的值域为．
例7．(2023·全国·高一课时练习）函数；
①的值域是__________；
②的值域是__________．
答案：
【解析】，
其图像可由反比例函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，如下：
当时，当时，
所以的值域是，
因为当时，当时，
所以的值域是，
故答案为： ；
例8．(2023·全国·高一专题练习）函数的值域是________________．
答案：．
【解析】，且，
，
，
，
，
故函数的值域是．
故答案为：
例9．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域是，那么函数的定义域是___________.
答案：.
【解析】，由得，即，解得，所以的定义域是.
故答案为：.
例10．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】，定义域为，且
令，，
利用对勾函数的性质知，当时，函数单减；当时，函数单增；
，即，
又，所以函数的值域为
故选：C
例11．(2023·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期中）函数的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
答案：D
【解析】∵，∴，即函数的定义域为
.令，
则，∴，
∴，当且仅当时有最大值为1，
当时，或1满足.
故选：D
例12．（多选题）(2023·江苏·南京外国语学校高一期中）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为1B．的值域为
C．的最大值为2D．在上单调递减
答案：ABC
【解析】A：，当时的最大值为1，故正确；
B：上递增，值域，故正确；
C：，当且仅当时取等号，故正确；
D：，在递增，故错误；
故选：ABC．
例13．(2023·全国·高一课时练习）函数的值域为_______________．
答案：
【解析】因为
，
所以此函数的定义域为，
又因为是减函数，
当
当
所以值域为
故答案为：．
例14．(2023·安徽省六安中学高一期中）关于函数的性质描述，错误的是_________.
①的定义域为[-1，0)∪(0，1]； ②的值域为；
③在定义域上是减函数； ④的图象关于原点对称.
答案：③
【解析】函数满足，解得或，故函数的定义域为，，.故①正确.
当，时，
当，时，，，所以函数值域为，故②正确.
③虽然，时，函数单调递减，当，时，函数单调递减，但在定义域上不是减函数，故③错误.
④由于定义域为，，，，则，是奇函数，其图象关于原点对称，故④正确.
故答案为：③
题型三：抽象函数的值域
例15．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，值域为R，则（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为R
C．函数的定义域和值域都是R
D．函数的定义域和值域都是R
答案：B
【解析】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误；
对于B选项：因为的值域为R，，所以的值域为R，可得函数的值域为R，故B选项正确；
对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误；
对于D选项：若函数的值域为R，则，此时无法判断其定义域是否为R，故D选项错误.
故选：B
例16．(2023·全国·高一课时练习）已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（ ）
A．，B．，C．，D．，
答案：D
【解析】当，时，，，
则当，时，即，，所以；
当，时，即，，
由，得，从而，；
当，时，即，，则，．
综上得函数在，上的值域为，．
故选：D．
例17．(2023·天津天津·高一期中）已知定义在R上的函数满足，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为__________.
答案：
【解析】因为，
故对任意的整数，
当时，，
而且，
故，
故在区间上的值域为：
，
即为.
故答案为：.
例18．(2023·全国·高一课时练习）若函数的值域是，则函数的值域是________.
答案：
【解析】因函数的值域是，从而得函数值域为，
函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，
时，，而时，，时，，即，
所以原函数值域是.
故答案为：
例19．(2023·全国·高一）若函数的值域为，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为的值域是［1，2］，
而与函数定义不同，值域相同，
所以的值域是［1，2］，
所以的值域为.
故选：B
题型四：复合函数的值域
例20．(2023·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（文））已知，则的单调增区间为______，值域为______.
答案：
【解析】由题意，令
故函数的定义域为
令
由于在单调递增，为开口向下的二次函数，对称轴为，故在单调递增，单调递减
由复合函数的单调性，函数在单调递增，单调递减；
当，，故，故，因此函数的值域为
故答案为：，
例21．(2023·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】令，
当时，，又，
所以，，即
所以，
故选：D．
例22．(2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为，且对任意，都有，且，当时，有.
（1）求，的值；
（2）判断的单调性并加以证明；
（3）求在，上的值域.
【解析】（1）可令时，=-；
令，可得f（2）=f（4）-f（2），即f（4）；
（2）函数在上为增函数.
证明：当时，有，
可令，即有，则，
可得，
则在上递增；
（3）由在上为增函数，可得在递增，
可得为最小值，为最大值，
由f（4）=f（16）-f（4）+1，可得，
则的值域为.
例23．(2023·江苏·高一单元测试）若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】令，，则．
当时，单调递减，
当时，单调递增，
又当时，，当时，，当时，，
所以函数的值域为，
故选：B．
题型五：判别式法求值域
例24．(2023·全国·高一专题练习）若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．4B．6
C．7D．8
答案：B
【解析】设，，，
时，，
时，因为，所以，解得，即且，
综上，最大值是，最小值是，和为6．
故选：B．
例25．(2023·全国·高一专题练习）已知，且，则的取值范围是___________.
答案：
【解析】因为，所以.
又因为，
所以，解得.
故答案为：.
例26．(2023·浙江省杭州学军中学高一期中）设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则_________.
答案：2
【解析】，则，则，
即，，故，
，即，即，
.
故答案为：2.
例27．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为[1，3]，求的值
【解析】由题意定义域为，则在上有解，当符合题意，当，即 的解集为[1，3]，故1和3为关于y的二次方程的两个根所以
解得
例28．(2023·全国·高一课时练习）函数的值域是___________.
答案：
【解析】，
因为
所以函数的定义域为
令，整理得方程：
当时，方程无解；
当时，
不等式整理得：
解得：
所以函数的值域为.
故答案为：
题型六：根据值域求参数的值或者范围问题
例29．(2023·全国·高一专题练习）已知函数f（x）的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是__．
答案：
【解析】当时，，值域是[0，+∞），满足条件；
令 ，
当m＜0时，的图象开口向下，故f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；
当m＞0时，的图象开口向上，只需的，
即（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）≥0，
∴，又 ，所以
综上，，
∴实数m的取值范围是：，
故答案为：.
例30．(2023·广东·高一期末）已知函数．
(1)是否存在实数，使得函数在区间上的值域为？请说明理由；
(2)若存在实数，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
【解析】(1)由题意知：，则图象如下图所示，
假设存在，使得函数在区间上的值域为，
，，则；
①当时，在上单调递减，，
两式作差得：，或；
当时，不满足；
当时，，不合题意；
此时不存在，使得函数在区间上的值域为；
②当时，在上单调递增，，
则是方程，即方程的两根，但方程无实根；
此时不存在，使得函数在区间上的值域为；
③当时，此时，又，，不合题意；
此时不存在，使得函数在区间上的值域为；
综上所述：不存在，使得函数在区间上的值域为.
(2)若存在实数，使得函数在区间上的值域为，
则，则，又，，，则；
①当时，在上单调递减，，
两式作差得：，或；
当时，不满足；
当时，，不合题意；
②当时，在上单调递增，
时，，即，不合题意，；
，则是方程，即的大于的两根，
，解得：；
③当时，此时，又，，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
例31．(2023·河北·石家庄市第六中学高一期中）设函数f(x)=x2+(2a-2)x+3-2a
(1)若f(x)在区间[-5，5]上为单调函数，求实数a的取值范围
(2)若y=的定义域为R，求a的范围
(3)若y=的值域为[0，+∞），求a的范围
【解析】(1)f(x)在区间[-5，5]上为单调函数，
则有或，
解得或，
所以a的范围是.
(2)y=的定义域为R，所以恒成立，
所以有，
解得，
所以a的范围是.
(3)y=的值域为[0，+∞），所以的最小值满足，
所以有，
解得或，
所以a的范围是.
例32．(2023·安徽·高一期中）已知函数，，若对，，使成立，则实数的取值范围为___________.
答案：
【解析】记函数在上的值域为集合，函数在上的值域为集合，由题意得，，.
当时，，，满足；
当时，在上单调递增，，∵，，解得，∴；
当时，在上单调递减，，∵，∴，解得，∴.综上，实数的取值范围为.
故答案为：
例33．(2023·上海闵行·高一期末）已知，函数有最大值，则实数的取值范围是___________.
答案：
【解析】由在上递减，当时值域为，当时值域为，
由在上递增，当时值域为，当时值域为，
∴要使函数存在最大值，则且，即，
∴.
故答案为：.
例34．(2023·山东·广饶一中高一开学考试）已知函数，若存在实数a，，使在上的值域为，则实数m的取值范围是______．
答案：
【解析】由题设，为增函数且定义域为，要使在上的值域为，
∴，易知：，
∴与在上有两个交点，即在上有两个根且恒成立即，
∴对于，有，
可得，
故答案为：
例35．(2023·江苏·苏州市吴中区苏苑高级中学高一阶段练习）已知函数的定义域是（a，b为整数），值域是，则满足条件的整数数对的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：C
【解析】由，得，得或.
由，得，得.
易知函数在时，，为减函数，
此时函数的图像是由的图像平移而得到.
又由函数为偶函数,可做出函数的图像.
的定义域是（a，b为整数），值域是
根据图象可知满足整数数对的有 共5个．
故选：C
题型七：根据函数的值域求定义域
例36．（多选题）(2023·江西景德镇·高一期中）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】，
当时，若，即，解得或；
当时，若，即，解得或，此时.
所以，，作出函数的图象如下图所示：
因为函数在区间上的值域为，则当时，区间的长度取最小值；
当时，区间的长度取最大值.
所以，区间的长度的取值范围是.
故选：BC.
例37．（多选题）(2023·广东·仲元中学高一期中）若函数在定义域T上的值域为，则区间T可能为（ ）
A．B．
C．D．
答案：BC
【解析】∵函数，对称轴为x＝2，
∴函数在区间上为减函数，上为增函数．
当时，函数为增函数，函数值域为，故A错误；
当x∈时，函数为增函数，函数值域为，故B正确；
当时，函数最小值为，最大值为，得函数值域为，故C正确；
当x∈时，函数为增函数，函数值域为，故D错误.
故选：BC.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·全国·高一课时练习）下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】A.当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，当且仅当，即时，等号成立；故错误；
B. ，故错误；
C. ，故错误；
D. ，当且仅当，即时，等号成立，故正确
故选：D
2．(2023·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则函数的值域为（ ）
A．{0，}B．{ ，1}C．{0，1}D．{ ，0，1}
答案：D
【解析】①当时，，
②当时，（当且仅当时，等号成立），
故
③当时，（当且仅当时，等号成立），
故
故函数的值域为[，1]，
故函数的值域为{ ，0，1}，
故选：D．
3．(2023·全国·高一专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（ ）
A．区间，上的值域为，
B．区间，上的值域为，
C．区间，上的值域为，
D．区间，上的值域为
答案：A
【解析】由高斯函数的定义可得：
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，
由图象可知，在，的值域也为，.
故选：A
4．(2023·全国·高一课时练习）给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即，例如：，．在此基础上给出下列关于函数的四个命题：；；；的定义域是，值域是，则正确的命题的个数是（ ）个
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】因为，，,，所以，，，，
∴，①正确；
，②错误；
因为，，所以，故③正确；
的定义域是R，
因为，所以，即，
∴值域是，故④错误．
综上，正确的命题个数为2个，
故选：B．
5．(2023·四川·宁南中学高一开学考试）已知集合，，为实数集，则等于（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】集合，.
所以，所以.
故选：C
6．(2023·辽宁·育明高中高一期末）已知函数，且对任意的实数x，恒成立，函数，若对，，使，则正实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由于，所以关于直线对称，
所以，即，
解得，
所以
.
当时，，，
令，则在区间上递减，
，所以，
所以当时，.
依题意，，当时，，
函数在上递减，在上递增，
，
所以在区间上，，
所以在区间上，.
由于对，，使，
所以.
故选：B
二、多选题
7．(2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的值域为
D．函数在上的值域为
答案：AC
【解析】对于A，因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，，
所以，即函数的值域为，故B不正确；
对于C，令，则，，
所以，，
所以当时，该函数取得最大值，最大值为，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，
所以函数在上的值域为，故D不正确．
故选：AC．
8．(2023·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）给定函数 ， . 表示，中的较小者，记为，则（ ）
A．
B．函数的定义域为
C．函数的值域为
D．函数的单调区间有3个
答案：ABD
【解析】当时，，故 ，A正确；
作出函数 , 的图象，可得到的图象如图：（实线部分）
函数的定义域为，B正确；
函数的值域为，故C错误；
函数的单调区间有，故D正确，
故选：ABD
9．(2023·江苏·高一单元测试）某同学在研究函数时，分别得出下面几个结论，其中正确的结论是（ ）
A．等式在时恒成立
B．函数的值域为
C．若，则一定有
D．方程在上有三个根
答案：ABC
【解析】对于A，，，A正确；
对于B，当时，；，；
由A知：为奇函数，当时，；
的值域为，B正确；
对于C，由B知：当时，，则在上单调递增；
又为奇函数，则在上单调递增；在上单调递增，
则若，则一定有，C正确；
对于D，当时，令，解得：；当时，令，方程无解；
在上有且仅有一个解，D错误.
故选：ABC.
三、填空题
10．(2023·上海闵行·高一期末）已知，函数有最大值，则实数的取值范围是___________.
答案：
【解析】由在上递减，当时值域为，当时值域为，
由在上递增，当时值域为，当时值域为，
∴要使函数存在最大值，则且，即，
∴.
故答案为：.
11．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，集合为函数的定义域，集合为函数的值域，若定义且，，则___________.
答案：
【解析】要使函数有意义，则，解得，
所以，函数的值城，
且,且.
.
故答案为：.
四、解答题
12．(2023·全国·高一课时练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】（1）因为，，所以恒成立，
所以，所以所求函数的值域为；
（2）因为，且，
所以，所以函数的值域为；
（3）因为，所以，所以函数的值域为；
（4）设，则且，得，
因为，所以，所以函数的值域为
13．(2023·湖北·沙市中学高一期中）已知二次函数．
（1）当时，若函数定义域与值域完全相同，求的值；
（2）若的两实数根均在内，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题设，，又即开口向下且对称轴为，
∴，解得，即的定义域为，
∴，则的值域为，
由定义域与值域完全相同，即，解得.
（2）由题设，的两实根在内，若，
由，∴，解得.
14．(2023·江苏·高一专题练习）求下列函数的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
【解析】（1）分式函数，
定义域为，故，所有，
故值域为；
（2）函数中，分母，
则，故值域为；
（3）函数中，令得，
易见函数和都是减函数，
故函数在时是递减的，故时，
故值域为；
（4），
故值域为且；
（5），
而，，
，，
即，故值域为；
（6）函数，定义域为，令，
所以，所以，对称轴方程为，
所以时，函数，故值域为；
（7）由题意得，解得，
则，
故，，，
由y的非负性知，，故函数的值域为；
（8）函数，定义域为，，故，即值域为；
（9）函数，定义域为，
故，所有，故值域为；
（10）函数，
令，则由知，，，
根据对勾函数在递减，在递增,
可知时，，故值域为.
15．(2023·广东·金山中学高一期中）设常数记函数的最小值为．
(1)求函数的定义域．设，求的取值范围;
(2)由（1）中题设的把表示为的函数并求
【解析】(1)由可得，所以的定义域为，
因为，所以
因为，所以
(2)因为，所以，
所以，
因为，所以开口向下，对称轴为，
因为，要求的最小值，只需比较到对称轴的距离的大小，
所以当，即时，，
当，即时，，
综上：