高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题19零点与方程的问题(原卷版+解析)

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1、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.
2、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则
3、零点个数的判断方法
（1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
（3）数形结合法：
①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数.
4、判断函数零点所在区间
（1）将区间端点代入函数求函数的值；
（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断；
（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。
5、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法
（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；
（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题．
【题型归纳目录】
题型一：零点存在性定理与根的分布
题型二：零点个数问题
题型三：零点关系
题型四：零点大小与整数零点问题
【典型例题】
题型一：零点存在性定理与根的分布
例1．(2023·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
例2．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）方程的根所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
例3．(2023·山西·长治市第四中学校高一期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·山东·招远市第二中学高一阶段练习）已知实数，关于x的方程有两个实根，，且，则实数a，b，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
变式2．(2023·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为（ ）
A．-4B．-5C．-6D．-7
变式3．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的零点至少有一个大于0，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
变式4．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式5．(2023·江苏省镇江中学高一阶段练习）函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．或
变式6．(2023·全国·高一课时练习）已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（ ）
A．至多有2022个零点B．至多有1011个零点
C．至少有2022个零点D．至少有1011个零点
变式7．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，，的零点分别为，，，以下说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式8．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）方程的根，，则=___________
题型二：零点个数问题
例4．(2023·江苏·宿迁中学高一期中）已知函数，若在上单调递增，且有两个零点，则满足题意的一个实数的值可以为 ______．
例5．(2023·全国·高一课时练习）函数的零点个数为________．
例6．(2023·湖南衡阳·高一期末）已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为______．
变式9．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）已知函数
(1)求和的值
(2)若函数，试讨论函数的零点个数.
变式10．(2023·贵州贵阳·高一阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，当时，.
(1)求函数的解析式.
(2)讨论直线与曲线的交点个数.
变式11．(2023·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为，例如：，则方程的正实数根的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
变式12．(2023·天津·高一期末）定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式13．(2023·天津·高一期末）已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型三：零点关系
例7．已知函数有两个零点，，则有
A．B．C．D．
例8．已知函数有两个零点，，则有
A．B．C．D．
例9．设定义域为的函数，若关于的方程有三个不同的解，，，则的值是
A．1B．3C．5D．10
变式14．已知，，，，若函数的两个零点是，，则的最小值是
A．B．C．D．
变式15．已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则方程在，内的所有根之和为
A．12B．6C．4D．2
变式16．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的解，，，，，则 ．
变式17．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则值为 ．
变式18．已知，，若关于的不等式的解集为，，，，则的取值范围为 ．
变式19．已知函数，若方程有两个不同的实根，，且满足，则实数的取值范围为 ．
题型四：零点大小与整数零点问题
例10．已知函数有两个零点，，则有
A．B．C．D．
例11．已知函数有两个零点，，则有
A．B．C．D．
例12．设定义域为的函数，若关于的方程有三个不同的解，，，则的值是
A．1B．3C．5D．10
变式20．已知，，，，若函数的两个零点是，，则的最小值是
A．B．C．D．
变式21．已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则方程在，内的所有根之和为
A．12B．6C．4D．2
变式22．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的解，，，，，则 ．
变式23．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则值为 ．
变式24．已知，，若关于的不等式的解集为，，，，则的取值范围为 ．
变式25．已知函数，若方程有两个不同的实根，，且满足，则实数的取值范围为 ．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·江苏·常州市第一中学高一阶段练习）已知函数，，若它们同时满足条件：①，或；②，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·湖北·襄阳五中高一期中）形如的函数，因其图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列说法中正确的个数为（ ）
①函数的定义域为；
②；
③函数的图象关于直线对称；
④当时，；
⑤方程有四个不同的根.
A．B．C．D．
3．(2023·浙江·杭州高级中学高一期末）设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·全国·高一课时练习）已知函数和的定义域及值域均为，它们的图像如图所示，则函数的零点的个数为（ ）
A．2B．3C．5D．6
5．(2023·全国·高一课时练习）设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·全国·高一单元测试）已知函数（且）在上单调递减，若的图象与直线有两个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·全国·高一单元测试）已知，不等式恒成立，实数取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．(2023·湖南·长沙一中高一期末）已知函数（），．若，在上有三个零点，则 a 的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·山东·青岛二中高一期中）表示不超过x的最大整数，定义函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的值域为
B．方程有无数个解
C．函数在区间上单调递增
D．若直线与函数的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是
10．(2023·广东·北京师范大学广州实验学校高一期中）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．有两个零点D．的解集为
11．(2023·河南南阳·高一期中）已知函数，设， ，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
12．(2023·河南河南·高一阶段练习）已知，若，则（ ）
A．B．
C．D．
13．(2023·湖北·华中师大一附中高一开学考试）已知函数，若方程有六个相异实根，则实数可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
14．(2023·浙江温州·高一期中）已知是R上的增函数,若关于x的方程有且只有一个实根,则实数b的取值范围是__________．
15．(2023·江苏·宿迁中学高一期中）若方程有四个不同的根，则的取值范围是 _______．
16．(2023·上海市延安中学高一阶段练习）若，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：若，设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，则___________.
17．(2023·山西山西·高一阶段练习）已知关于的方程有两个不相等的实数根，且两个根均大于0，则实数的取值范围为______.
四、解答题
18．(2023·云南师大附中高一期中）已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求；
(2)若关于的方程有解，求实数的取值范围.
19．(2023·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）已知关于x的方程，当实数a为何值时，
(1)方程在内有根；
(2)方程的根都小于1.
20．(2023·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知二次函数，在下列条件下，求实数的取值范围．
(1)两根均大于1；
(2)一个根大于1，一个根小于1．
21．(2023·北京四中高一阶段练习）关于的方程，设为方程的两根.
(1)若，求的值；
(2)若满足，试求的值；
(3)若均大于0，求的取值范围.
22．(2023·广东·深圳市高级中学高一期中）已知二次函数，
(1)若不等式的解集为，求a、b的值.
(2)当时，方程有一个根小于1，一个根大于1，求实数a的取值范围.
微专题19 零点与方程的问题
【方法技巧与总结】
1、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.
2、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则
3、零点个数的判断方法
（1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
（3）数形结合法：
①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数.
4、判断函数零点所在区间
（1）将区间端点代入函数求函数的值；
（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断；
（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。
5、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法
（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；
（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题．
【题型归纳目录】
题型一：零点存在性定理与根的分布
题型二：零点个数问题
题型三：零点关系
题型四：零点大小与整数零点问题
【典型例题】
题型一：零点存在性定理与根的分布
例1．(2023·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
又，
所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点，
故选：C
例2．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）方程的根所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】令，显然单调递增，
又因为，，
由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，
所以的根所在区间为.
故选：B
例3．(2023·山西·长治市第四中学校高一期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为与在定义域上单调递增，
所以在定义域上单调递增，
又，，，
即，所以的零点位于内；
故选：C
变式1．(2023·山东·招远市第二中学高一阶段练习）已知实数，关于x的方程有两个实根，，且，则实数a，b，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由，
令，，则，
所以，为与x轴交点横坐标，且，
将向下移动1个单位得到，且与x轴交点横坐标且，
所以.
故选：C
变式2．(2023·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为（ ）
A．-4B．-5C．-6D．-7
答案：A
【解析】因为元二次方程有两个实数根，，
且，令，
则由题意可得，即
解得，又，可得.
故选：A.
变式3．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的零点至少有一个大于0，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】①当时，由，得，符合题意．
②当时，
由，得，此时，解得，符合题意；
由，得，此时设的两根分别为，，且，
若，则，，即，，符合题意，
若，则，，即，，符合题意．
综上，，即实数的取值范围为．
故选：B
变式4．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】因为函数为一次函数，
要使其在区间上存在零点，
要保证其两端点分别在轴的两侧，
所以
即，
解得或，
故选项.
变式5．(2023·江苏省镇江中学高一阶段练习）函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．或
答案：B
【解析】令，
因为，
所以函数图象与轴有两个交点，
因为函数在上存在零点，且函数图象连续，
所以，或，
所以，或，
解得或
故选：B
变式6．(2023·全国·高一课时练习）已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（ ）
A．至多有2022个零点B．至多有1011个零点
C．至少有2022个零点D．至少有1011个零点
答案：D
【解析】因为对任意的实数恒成立，令，得．
若，则与异号，即，由零点存在定理得在上至少存在一个零点．由于，得到，进而，所以在区间，，…，内均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点．
构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有1011个零点.
若，则，此时在上至少有1012个零点．
综上所述，在上至少有1011个零点，且可能有1011个零点，故C错误，D正确；
可能零点各数个数至少1012，大于1011，故B错误；
对于A,[解法一]取函数，满足，但在上处处是零点，故A错误.
[解法二] 构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有2023个零点，故A错误.
故选：D．
变式7．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，，的零点分别为，，，以下说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题设，，，，
所以问题可转化为直线与，，
的图象的交点问题，函数图象如下．
由图知．
故选：A．
变式8．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）方程的根，，则=___________
答案：2
【解析】令，易知函数单调递增，
且.
所以的唯一零点
所以方程的根，故.
故答案为：2
题型二：零点个数问题
例4．(2023·江苏·宿迁中学高一期中）已知函数，若在上单调递增，且有两个零点，则满足题意的一个实数的值可以为 ______．
答案：（答案不唯一）
【解析】由于函数，
若在上单调递增，则，故，
由于，整理得，解得或，
故满足的条件的取值范围为，
故的值可以为：（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
例5．(2023·全国·高一课时练习）函数的零点个数为________．
答案：1
【解析】解法一：令，可得方程，即，
故原函数的零点个数即为函数与图象的交点个数．
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．
由图可知，函数与的图象只有一个交点，
故函数只有一个零点，
故答案为：1
解法二：∵，，
∴，
又的图象在上是不间断的，
∴在上必有零点，
又在上是单调递增的，
∴函数的零点有且只有一个，
故答案为：1
例6．(2023·湖南衡阳·高一期末）已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为______．
答案：
【解析】设，则，则，
设，则，
则
，
则，则，
函数图象如下：
由，可得，或，
由，可得，或，或，
则仅有一根，又，，
则，解之得，
故答案为：.
变式9．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）已知函数
(1)求和的值
(2)若函数，试讨论函数的零点个数.
【解析】（1）因为，
所以，，
（2）根据题意零点的个数，即为的图象与直线交点的个数，
函数的图象如图所示，
由图象可知，当或时，的图象与直线有2个交点，即有2个零点，
当时，的图象与直线有3个交点，即有3个零点，
当时，的图象与直线有1个交点，即有1个零点，
综上，当或时，有2个零点；当时，有3个零点；当时，有1个零点.
变式10．(2023·贵州贵阳·高一阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，当时，.
(1)求函数的解析式.
(2)讨论直线与曲线的交点个数.
【解析】（1）当时，.所以
又因为为偶函数，所以
所以，函数的解析式为.
（2）
画出的图像如上图所示，
当时，二次函数开口向上，对称轴为，取得最小值，
当时，直线与曲线无交点；
当或时，直线与曲线有2个交点；
当时，直线与曲线有3个交点；
当时，直线与曲线有4个交点.
变式11．(2023·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为，例如：，则方程的正实数根的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
答案：B
【解析】因为，
作出函数的图象，
（红色点表示不包括端点）
其与直线的交点在轴右侧的个数即为正实根的个数，观察图象有，共2个交点，
所以方程的正实数根的个数是2个.
故选：B.
变式12．(2023·天津·高一期末）定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为定义在R上的函数满足，
所以，即是周期为2的函数，
由，可得，
因为在区间上函数恰有4个不同的零点，
所以函数与的图象在区间上有4个交点，
作出函数与的大致图象，
由图象可知，解得，
即实数m的取值范围为.
故选：D.
变式13．(2023·天津·高一期末）已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】由得：或，因函数，由解得，
因此函数有四个不同的零点，当且仅当方程有三个不同的根，
函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
方程有3个不同的根，当且仅当直线与函数的图象有3个公共点，
观察图象知，当或，即或时，直线与函数的图象有3个公共点，
所以实数的取值范围是.
故选：A
题型三：零点关系
例7．已知函数有两个零点，，则有
A．B．C．D．
【解析】解：有两个零点，
即与有两个交点
由题意，分别画和的图象
发现在和有两个交点
不妨设在里在里
那么 在上有，即①
在有②
①②相加有
，即
故选：．
例8．已知函数有两个零点，，则有
A．B．C．D．
【解析】解：有两个零点，
即与有两个交点
由题意，分别画和的图象
发现在和有两个交点
不妨设在里，在里
那么 在上有即①
在有②
①②相加有，
，即
故选：．
例9．设定义域为的函数，若关于的方程有三个不同的解，，，则的值是
A．1B．3C．5D．10
【解析】解：令，做出的函数图象如下：
由图象可知当时，有三解，
当或时，有两解，
当时，方程无解．
关于的方程有三个不同的解，，，
，
当时，令解得，
当时，令解得，
当时，显然是的解．
不妨设，则，，，
．
故选：．
变式14．已知，，，，若函数的两个零点是，，则的最小值是
A．B．C．D．
【解析】解：函数的两个零点是，，
的两个根是，，
则．，
，
，，
则原式，
即的最小值是，
故选：．
变式15．已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则方程在，内的所有根之和为
A．12B．6C．4D．2
【解析】解：定义在上的奇函数的图象关于直线对称，
，
即，
是以4为周期的周期函数，
当时，，
在，内的图象如右图：
由方程得，
作出函数的图象如图：
则两个函数有4个交点，对应交点的横坐标分别关于和对称，
则在，内的零点之和为：
．
故选：．
变式16．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的解，，，，，则 ．
【解析】解：作出函数的图象，如图所示，
令，由图象可知，当时，方程有3个根，
当或时，方程有2个根，
则方程，等价于，
因为方程恰有5个不同的实数解，，，，，
所以等价于方程有两个实数解，或，或，
可得这5个根也关于直线对称，
所以．
故答案为：5．
变式17．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则值为 ．
【解析】解：作函数的图象如下，
，
关于的方程有5个不同的实数解，
方程有2个不同的实数解1，，
，，
故，
故答案为：．
变式18．已知，，若关于的不等式的解集为，，，，则的取值范围为 ．
【解析】解：依题意：、为方程的两个根，
、为方程的两个根．
设
．
令，则，
则，
，
即，
，解得（或，不合题意，舍去），
故答案为：
变式19．已知函数，若方程有两个不同的实根，，且满足，则实数的取值范围为 ．
【解析】解：函数，
作出函数的图象如图所示，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
故，
又，
当时，方程才有两个不同的实根，
当时，有两个不同的实根，
即有两个解，即有两个根，
此时，不符合题意，
当时，分别与，有交点，
设，则，
由，消去可得，，
所以，
因为，
所以，
解得或，
又因为，
所以，
由图象可知，在上单调递减，又，
所以，
故实数的取值范围为．
故答案为：．
题型四：零点大小与整数零点问题
例10．已知函数有两个零点，，则有
A．B．C．D．
【解析】解：有两个零点，
即与有两个交点
由题意，分别画和的图象
发现在和有两个交点
不妨设在里在里
那么 在上有，即①
在有②
①②相加有
，即
故选：．
例11．已知函数有两个零点，，则有
A．B．C．D．
【解析】解：有两个零点，
即与有两个交点
由题意，分别画和的图象
发现在和有两个交点
不妨设在里，在里
那么 在上有即①
在有②
①②相加有，
，即
故选：．
例12．设定义域为的函数，若关于的方程有三个不同的解，，，则的值是
A．1B．3C．5D．10
【解析】解：令，做出的函数图象如下：
由图象可知当时，有三解，
当或时，有两解，
当时，方程无解．
关于的方程有三个不同的解，，，
，
当时，令解得，
当时，令解得，
当时，显然是的解．
不妨设，则，，，
．
故选：．
变式20．已知，，，，若函数的两个零点是，，则的最小值是
A．B．C．D．
【解析】解：函数的两个零点是，，
的两个根是，，
则．，
，
，，
则原式，
即的最小值是，
故选：．
变式21．已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则方程在，内的所有根之和为
A．12B．6C．4D．2
【解析】解：定义在上的奇函数的图象关于直线对称，
，
即，
是以4为周期的周期函数，
当时，，
在，内的图象如右图：
由方程得，
作出函数的图象如图：
则两个函数有4个交点，对应交点的横坐标分别关于和对称，
则在，内的零点之和为：
．
故选：．
变式22．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的解，，，，，则 ．
【解析】解：作出函数的图象，如图所示，
令，由图象可知，当时，方程有3个根，
当或时，方程有2个根，
则方程，等价于，
因为方程恰有5个不同的实数解，，，，，
所以等价于方程有两个实数解，或，或，
可得这5个根也关于直线对称，
所以．
故答案为：5．
变式23．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则值为 ．
【解析】解：作函数的图象如下，
，
关于的方程有5个不同的实数解，
方程有2个不同的实数解1，，
，，
故，
故答案为：．
变式24．已知，，若关于的不等式的解集为，，，，则的取值范围为 ．
【解析】解：依题意：、为方程的两个根，
、为方程的两个根．
设
．
令，则，
则，
，
即，
，解得（或，不合题意，舍去），
故答案为：
变式25．已知函数，若方程有两个不同的实根，，且满足，则实数的取值范围为 ．
【解析】解：函数，
作出函数的图象如图所示，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
故，
又，
当时，方程才有两个不同的实根，
当时，有两个不同的实根，
即有两个解，即有两个根，
此时，不符合题意，
当时，分别与，有交点，
设，则，
由，消去可得，，
所以，
因为，
所以，
解得或，
又因为，
所以，
由图象可知，在上单调递减，又，
所以，
故实数的取值范围为．
故答案为：．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·江苏·常州市第一中学高一阶段练习）已知函数，，若它们同时满足条件：①，或；②，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】对于①，当时，成立，只需当时，恒成立即可，
，解得：；
对于②，当时，，则只需，即可；
令，解得：，；
由①得：，，，
若，，则只需，解得：；
综上所述：的取值范围为.
故选：D.
2．(2023·湖北·襄阳五中高一期中）形如的函数，因其图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列说法中正确的个数为（ ）
①函数的定义域为；
②；
③函数的图象关于直线对称；
④当时，；
⑤方程有四个不同的根.
A．B．C．D．
答案：B
【解析】对于①，由得：，的定义域为，①错误；
对于②，，，②正确；
对于③，，，，
不关于直线对称，③错误；
对于④，当时，，此时；
当时，，此时；
综上所述：当时，，④正确；
对于⑤，在平面直角坐标系中，作出与的图象如下图所示，
由图象可知：与有四个不同交点，
方程有四个不同的根，⑤正确.
故选：B.
3．(2023·浙江·杭州高级中学高一期末）设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】函数是定义在上的奇函数，当时，，
当时，，所以，
即当时，
又对任意，都有，则关于对称，且，
，即函数的周期为，
又由函数且在上恰有个不同的零点，
得函数与的图像在上有个不同的交点，又，
当时，由图可得，解得；
当时，由图可得，解得．
综上可得.
故选：C．
4．(2023·全国·高一课时练习）已知函数和的定义域及值域均为，它们的图像如图所示，则函数的零点的个数为（ ）
A．2B．3C．5D．6
答案：D
【解析】由题意，知函数的零点，即方程根.
令，，则.
当时，满足方程的有2个，此时有4个不同的实数根；
当时，满足方程的有1个，此时有2个不同的实数根.
综上可知方程共有6个实数根，即函数共有6个零点.
故选：D
5．(2023·全国·高一课时练习）设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】当时，，则；
当时，，则；
当时，，则，……由此可得
由此作出函数的图象，如图所示．
由图可知当时，令，整理，得，解得或，将这两个值标注在图中．要使对任意都有，必有，即实数m的取值范围是.
故选：B．
6．(2023·全国·高一单元测试）已知函数（且）在上单调递减，若的图象与直线有两个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为（且）是上的单调递减函数，
所以，即，所以，
画出的大致图象和直线，如图所示．
由图可知，在上的图象与直线有且仅有一个交点，
故在上，的图象与直线同样有且仅有一个交点．
联立与得，
整理得，则此方程在上有且仅有一个解，
设，当时，
显然方程在上有且仅有一个解，所以；
当时，此时方程在上无解；
当时，要使方程在上有且仅有一个解，
则且，此时方程组无解．
综上所述，实数的取值范围为．
故选：B．
7．(2023·全国·高一单元测试）已知，不等式恒成立，实数取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】，，
，即，
令，
若，，等价于，
令，，，
若，，即，
①当，即时，
不等式在上恒成立；
②当，即或时，
要使不等式在上恒成立，
则有，解得，，
综上所述，实数取值范围是.
故选：A.
8．(2023·湖南·长沙一中高一期末）已知函数（），．若，在上有三个零点，则 a 的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】①当时，因为，所以1为一个零点，
又，因为，所以，
所以，
所以1为的一个零点．
②当时，，，
所以在上无零点．
③当时，，在上无零点，
所以．在上的零点个数是在上的零点个数，
因为，．
函数在上有两个零点，即函数在上有两个零点，
所以，，又，
即时，在上有两个零点；
综上，a 的取值范围为.
故选：A.
二、多选题
9．(2023·山东·青岛二中高一期中）表示不超过x的最大整数，定义函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的值域为
B．方程有无数个解
C．函数在区间上单调递增
D．若直线与函数的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是
答案：BCD
【解析】显然，所以
所以，
所以是周期为1的函数，
当时，
所以函数的值域为，故A错误，同时得C正确；
因为是周期为1的函数，所以方程有无数个解，故B正确；
作出函数的图象，作直线，
直线，过点时，，过点时，，过点时，，过点时，，
直线横过定点（－1，0），要使与恰有三个交点，
由图可知，或，D正确.
故选：BCD．
10．(2023·广东·北京师范大学广州实验学校高一期中）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．有两个零点D．的解集为
答案：ACD
【解析】，，A正确；
时，，时，是减函数，，所以无最大值，B错；
时，满足题意，时，，，满足题意，C正确；
时，由得，时，由，，
综上的解为，D正确．
故选：ACD．
11．(2023·河南南阳·高一期中）已知函数，设， ，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
答案：ABD
【解析】作出函数的图象，如图示：
当时，由于，可知，
则，则 ，即，A正确；
由于，则，即 ，B正确；
当时，单调递增，当时，有 ，
即，不符合C,D选项；
当时，，由于，则，即，
当时，递增，若，则即，
当时，递减，
若，则，即 ；
若，则由 ，令，
由于此时，则，
由，可得，即 ，故C错误，D正确，
故选：ABD
12．(2023·河南河南·高一阶段练习）已知，若，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：CD
【解析】令，则二次函数的图象与轴的交点为，
又，
所以是由的图象向下平移一个单位长度，且的图象与轴的交点为，
所以可知.
故选：CD.
13．(2023·湖北·华中师大一附中高一开学考试）已知函数，若方程有六个相异实根，则实数可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
【解析】的图像如图所示：
则要使方程有六个相异实根即使在上有两个相异实根;
则解得：.
故选：BD.
三、填空题
14．(2023·浙江温州·高一期中）已知是R上的增函数,若关于x的方程有且只有一个实根,则实数b的取值范围是__________．
答案：
【解析】因为是上的增函数,所以,即
即有且只有一个实根
即函数与函数有且仅有一个交点.
作出函数的图像.
由图像可知当或时,函数与函数有且仅有一个交点.
所以实数的取值范围是
故答案为：
15．(2023·江苏·宿迁中学高一期中）若方程有四个不同的根，则的取值范围是 _______．
答案：
【解析】由于的图像是由的图像保留轴上方的图像的同时，将轴下方的图像关于轴向上翻折得到的图像，
故由此作出函数的图像，如图，
.
若方程有四个不同的根，则函数与有四个交点，
因为，所以在上的最大值为，
所以结合图像，可得，即.
故答案为：．
16．(2023·上海市延安中学高一阶段练习）若，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：若，设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，则___________.
答案：
【解析】由题意可得：
，
由待定系数法可得：
则，
所以，
故答案为：.
17．(2023·山西山西·高一阶段练习）已知关于的方程有两个不相等的实数根，且两个根均大于0，则实数的取值范围为______.
答案：或
【解析】设方程的两个不相等的实数根为，
由题得或.
由题得.
综合得或.
故答案为：或
四、解答题
18．(2023·云南师大附中高一期中）已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求；
(2)若关于的方程有解，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为函数是定义域为的奇函数，则，解得，此时，
由于，，即函数的定义域为；
又，
所以函数为奇函数，符合题意，所以；
（2）由于，且，，
所以，则，即，所以，
令，则方程有解等价于方程在上有解，
令，又，
所以在上有解需满足或，
解不等式组，得或，
所以实数的取值范围是.
19．(2023·山西·晋城市第一中学校高一阶段练习）已知关于x的方程，当实数a为何值时，
(1)方程在内有根；
(2)方程的根都小于1.
【解析】（1）由，可得，，
由，可得，
所以，
所以时，方程在内有根；
（2）设，
当时，由，可得，适合题意；
当时，因为方程的根都小于1，
所以或，
解得或，
综上，或时方程的根都小于1.
20．(2023·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知二次函数，在下列条件下，求实数的取值范围．
(1)两根均大于1；
(2)一个根大于1，一个根小于1．
【解析】（1）因为方程的两根均大于1，
所以，解得，
即的取值范围为；
（2）由可得，
因为方程的一个根大于1，一个根小于1，
所以，解得．即的取值范围为．
21．(2023·北京四中高一阶段练习）关于的方程，设为方程的两根.
(1)若，求的值；
(2)若满足，试求的值；
(3)若均大于0，求的取值范围.
【解析】（1）当时，方程为，其中.
由根与系数的关系可得：，
所以；
（2）由解得：.
由根与系数的关系可得：，
所以即为，
解得：或（舍）.
即；
（3）要使均大于0，只需满足：
，解得：.
所以的取值范围为.
22．(2023·广东·深圳市高级中学高一期中）已知二次函数，
(1)若不等式的解集为，求a、b的值.
(2)当时，方程有一个根小于1，一个根大于1，求实数a的取值范围.
【解析】（1）根据题意，1，2是方程的两个实数根，
∴，解得，
∴a，b的值分别为；
（2）当时，，图象开口向下，
∵有一个根小于1，一个根大于1，
∴，整理得，解得，
所以实数的取值范围是.