专题3.1 求函数定义域、值域、解析式（特色专题卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题3.1 求函数定义域、值域、解析式（特色专题卷）
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
一． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2021春•萨尔图区校级期末）函数f(x)=2x+1+1x的定义域为（　　）
A．(-12，0)∪(0，+∞) B．(-12，0)
C．[-12，0)∪(0，+∞) D．[-12，+∞)
【分析】可看出，要使得f（x）有意义，则需满足2x+1≥0x≠0，然后解出x的范围即可．
【解答】解：要使f（x）有意义，则2x+1≥0x≠0，解得x≥-12，且x≠0，
∴f（x）的定义域为[-12，0)∪(0，+∞)．
故选：C．
2．（2021•尖山区校级开学）函数f（x）＝x2﹣2x+2（x≥2）的值域是（　　）
A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．[3，+∞) D．[2，+∞）
【分析】由题意利用二次函数的性质，求出函数的值域．
【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，故二次函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
∵x≥2，∴当x＝2时，函数取得最小值为2，函数没有最大值，
故函数的值域为[2，+∞），
故选：D．
3．（2021春•广东期中）已知函数f（x﹣1）的定义域为[﹣2，3]，则函数f（2x+1）的定义域为（　　）
A．[﹣1，9] B．[﹣3，7] C．[﹣2，1] D．[-2，12]
【分析】由函数f（x﹣1）的定义域求得f（x）的定义域，再由2x+1在f（x）的定义域内列式求解．
【解答】解：函数f（x﹣1）的定义域为[﹣2，3]，
即﹣2≤x≤3，∴﹣3≤x﹣1≤2，即f（x）的定义域为[﹣3，2]，
由﹣3≤2x+1≤2，得﹣2≤x≤12．
∴函数f（2x+1）的定义域为[﹣2，12]．
故选：D．
4．（2021秋•赣州月考）下列各组函数表示同一个函数的是（　　）
A．f(x)=x2，g(x)=(x)2
B．f（x）＝1，g（x）＝x0
C．f（x）=x，x≥0-x，x＜0，g（t）＝|t|
D．f（x）＝x+1，g(x)=x2-1x-1
【分析】依据题意，结合函数的三要素，逐一判断各个选项，从而得出结论．
【解答】解：对于选项A，函数f（x）的定义域是全体实数，函数g（x）的定义域是全体非负实数，故两个函数不是同一个函数；
对于选项B，函数f（x）的定义域是全体实数，函数g（x）的定义域是全体非零实数，故两个函数不是同一个函数；
对于选项C，函数f（x）的定义域是全体实数，函数g（x）的定义域是全体实数，且对应关系相同，故两个函数是同一个函数；
选项D，函数f（x）的定义域是全体实数，函数g（x）的定义域是不等于1的实数，故两个函数不是同一个函数．
故选：C．
5．（2021春•闽侯县校级期末）函数f（x）=-mx2-2x+1的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【分析】由定义域为R，得到mx2+2x﹣1≤0恒成立，然后根据二次函数的性质得到关于m的不等式组，再求出m的取值范围．
【解答】解：f（x）的定义域是R，则﹣mx2﹣2x+1≥0恒成立，
即mx2+2x﹣1≤0恒成立，则m＜0△≤0，解得m≤﹣1，
所以实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]．
故选：B．
6．（2021春•吕梁期末）函数y=x2-4x+4x-1(x＞1)的值域是（　　）
A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，0] D．[0，+∞）
【分析】把函数的解析式变形为y=(x-2)2x-1，再根据（x﹣2）2≥0，x﹣1＞0，求得y的范围．
【解答】解：∵当x＞1时，函数 y=x2-4x+4x-1=(x-2)2x-1，且（x﹣2）2≥0，x﹣1＞0，
∴y≥0，即函数的值域为[0，+∞），
故选：D．
7．（2021•沙坪坝区校级开学）已知函数f（x）定义域为（0，+∞），则函数F（x）＝f（x+2）+3-x定义域为（　　）
A．（﹣2，3] B．[﹣2，3] C．（0，3] D．（0，3）
【分析】由f（x）的定义域可得x+2＞03-x≥0，求解不等式组得答案．
【解答】解：由题意，x+2＞03-x≥0，解得﹣2＜x≤3．
∴函数F（x）＝f（x+2）+3-x定义域为（﹣2，3]．
故选：A．
8．（2021春•辽宁期末）已知函数f（x）=31-3xax2+ax-3的定义域是R，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥0或a＜﹣12 B．﹣12＜a≤0 C．﹣12＜a＜0 D．a＞0或a＜﹣12
【分析】根据题意，函数ax2+ax﹣3与x轴无公共点，a＝0时，显然满足条件；a≠0时，需满足△＝a2+12a＜0，然后即可得出a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）的定义域是R，
∴a＝0时，﹣3＜0恒成立；a≠0时，△＝a2+12a＜0，解得﹣12＜a＜0，满足ax2+ax﹣3＜0恒成立，
∴实数a的取值范围为﹣12＜a≤0．
故选：B．

二． 多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2021春•邗江区校级期中）在下列四组函数中，f（x）与g（x）不表示同一函数的是（　　）
A．f（x）＝x﹣1，g(x)=x2-1x+1
B．f（x）＝|x+1|，g（x）=x+1，x≥-1-x-1，x＜-1
C．f（x）＝1，g（x）＝（x+1）0
D．f（x）＝x，g(x)=(x)2
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则一致时，两个函数表示同一函数，直接判断各选项即可．
【解答】解：对于A，f（x）＝x﹣1的定义域是R，g(x)=x2-1x+1的定义域是{x|x≠﹣1}，
故A中f（x）与g（x）不表示同一函数；
对于B，f（x）＝|x+1|，g（x）=x+1，x≥-1-x-1，x＜-1的定义域和对应法则都相同，
故B中f（x）与g（x）表示同一函数；
对于C，f（x）＝1的定义域为R，g（x）＝（x+1）0的定义域是{x|x≠﹣1}，
故C中f（x）与g（x）不表示同一函数；
对于D，f（x）＝x的定义域是R，g(x)=(x)2的定义域是{x|x≥0}，
故D中f（x）与g（x）不表示同一函数．
故选：ACD．
10．（2020秋•温州期末）已知函数y＝x2﹣2x+2的值域是[1，2]，则其定义域可能是（　　）
A．[0，1] B．[1，2] C．[14，2] D．[﹣1，1]
【分析】先由f（x）＝1或f（x）＝2，求出对应的x的值，结合函数的值域进行判断即可．
【解答】解：由y＝x2﹣2x+2＝1得x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，得x＝1，
由y＝x2﹣2x+2＝2得x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，
即定义域内必须含有1，且x＝0，x＝2至少含有一个，
设定义域为[a，b]，
若a＝0，则1≤b≤2，则A成立，
若b＝2，则0≤a≤1，则B，C成立，
故选：ABC．

11．（2020秋•越秀区校级期中）若函数f（x）=ax+1在区间[﹣2，﹣1]上有意义，则实数a的可能取值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
【分析】讨论a：a＞0时，可得出x≤﹣a或x＞0，从而据题意得出a≤1，即得出a可以取1；a＜0时，可得出x＜0或x≥﹣a，从而得出a可以取﹣1，从而得出a的可能取值．
【解答】解：①a＞0时，解ax+1≥0得，x≤﹣a，或x＞0，
∵f（x）在[﹣2，﹣1]上有意义，
∴﹣a≥﹣1，∴a≤1，
∴a可以取1；
②a＜0时，解ax+1≥0得，x＜0或x≥﹣a，满足f（x）在[﹣2，﹣1]上有意义，
∴a可以取﹣1，
综上得，a的可能取值是﹣1，1．
故选：AB．
12．（2020秋•沙市区校级期中）若函数y=ax2+4x+1的值域为[0，+∞），则a的可能取值为（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
【分析】分a＝0和a≠0两类，结合一次函数、二次函数和根式的性质，求解即可．
【解答】解：当a＝0时，y=4x+1≥0成立，符合题意；
当a≠0时，设f（x）＝ax2+4x+1，
要使原函数的值域为[0，+∞），则a＞0且△＝16﹣4a≥0，解得0＜a≤4，
综上，a的取值范围为[0，4]，
故选：ABC．

三． 填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2021秋•香坊区校级月考）函数f(x)=1-x+x0的定义域是 　　．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，及幂函数的性质，可得函数的定义域．
【解答】解：f（x）=1-x+x0，
则1﹣x≥0且x≠0，
解得x≤1，
故函数f（x）的定义域是{x|x≤1且x≠0}，
故答案为：{x|x≤1且x≠0}．
14．（2021春•宝山区校级期末）已知函数y＝f（x）的定义域为[1，9]，则函数y＝f（x2）的定义域为 　　．
【分析】由已知直接利用1≤x2≤9求解x的范围得答案．
【解答】解：∵函数y＝f（x）的定义域为[1，9]，
∴要求函数y＝f（x2）的定义域，可得1≤x2≤9，
解得﹣3≤x≤﹣1或1≤x≤3．
即函数y＝f（x2）的定义域为[﹣3，﹣1]∪[1，3]．
故答案为：[﹣3，﹣1]∪[1，3]．
15．（2015秋•太湖县月考）已知f（x+1）＝2x2+1，则f（x﹣1）＝　　．
【分析】先设x+1＝t，则x＝t﹣1，求出f（t），然后再把f（t）中所有的t都换成x﹣1，得到f（x﹣1）．
【解答】解：设x+1＝t，则x＝t﹣1，
f（t）＝2（t﹣1）2+1＝2t2﹣4t+3，
f（x﹣1）＝2（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+3
＝2x2﹣4x+2﹣4x+4+3
＝2x2﹣8x+9．
故答案为：2x2﹣8x+9．
16．（2021春•吉安期末）函数y=kx2-2kx+4的定义域为R，则实数k的取值范围为 　　．
【分析】根据题意可得出kx2﹣2kx+4≥0恒成立，显然k＝0时，满足题意；k≠0时，可得出△＝4k2﹣16k≤0，解出k的范围，这样即可得出k的取值范围．
【解答】解：函数y=kx2-2kx+4的定义域为R等价于kx2﹣2kx+4≥0恒成立，
当k＝0时，显然成立；当k≠0时，由△＝4k2﹣16k≤0，得0＜k≤4，
综上，实数k的取值范围为[0，4]．
故答案为：[0，4]．

四． 解答题（共6小题，满分70分）
17．（2020秋•邵阳县期中）在①f（x+1）＝f（x）+2x﹣1，②f（x+1）＝f（1﹣x），且f（0）＝3，③f（x）≥2恒成立，且f（0）＝3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知二次函数f（x）的图象经过点（1，2），_____．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[﹣1，4]上的值域．
【分析】（1）利用待定系数法，根据选择的条件即可求解；
（2）根据二次函数的单调性即可求值域；
【解答】解：若选择①：
（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），则f（x+1）＝a（x+1）2+b（x+1）+c＝ax2+（2a+b）x+a+b+c，
∵f（x+1）＝f（x）+2x﹣1，即ax2+（2a+b）x+a+b+c＝ax2+（b+2）x+c﹣1，
∴2a+b=b+2a+b+c=c-1，
解得a＝1，b＝﹣2；
又因为二次函数f（x）的图象经过点（1，2），可得a+b+c＝2，
∴c＝3，
故得f（x）的解析式为：f（x）＝x2﹣2x+3．
若选择②：
（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
由f（0）＝3，可得c＝3．
∵f（x+1）＝f（1﹣x），
∴二次函数f（x）的对称轴x＝1，即-b2a=1，
二次函数f（x）的图象经过点（1，2），可得a+b+c＝2，
解得a＝1，b＝﹣2，
故得f（x）的解析式为：f（x）＝x2﹣2x+3．
选择③：
（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
由f（0）＝3，可得c＝3，
∵f（x）≥2恒成立，
二次函数f（x）的图象经过点（1，2），可得a+b+c＝2，
即f（1）＝2，可知对称轴x＝1，即-b2a=1，
解得a＝1，b＝﹣2，
故得f（x）的解析式为：f（x）＝x2﹣2x+3．
（2）根据（1）可知f（x）＝x2﹣2x+3，
∵对称轴x＝1，
可知在区间[﹣1，1]上单调递减，在区间[1，4]上单调递增，
∴f（4）max＝11，f（1）min＝2，
故得f（x）在[﹣1，4]上的值域为[2，11]．
18．（2020秋•翠屏区校级月考）设集合A是函数f（x）=x+1+2-x的定义域，而函数g（x）＝x2﹣2x（x∈A）．
（1）求集合A；
（2）求函数g（x）的值域．
【分析】（1）根据二次根式的性质求出函数的定义域，从而求出A；
（2）结合二次函数的性质求出函数的值域即可．
【解答】解：（1）由题意得：x+1≥02-x≥0，解得：﹣1≤x≤2，
故A＝{x|﹣1≤x≤2}；
（2）g（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
则函数g（x）的值域为[﹣1，3]．
19．（2020秋•兴庆区校级月考）若函数f（x）=x+3+1x+2．
（1）求f（﹣3），f（a2+1）；
（2）求函数f（x）的定义域．
【分析】（1）利用代入法直接进行求解即可，
（2）根据函数成立的条件进行求解即可．
【解答】解：（1）f(-3)=-1，f(a2+1)=a2+4+1a2+3，
（2）要使函数有意义，则x+3≥0x+2≠0，得x≥-3x≠-2，
即函数的定义域为{x|x≥﹣3，且x≠﹣2}．
20．（2020秋•洛龙区校级月考）已知函数f（x）=x+1+12-x的定义域是A，函数g（x）＝x2+2x在[m，1]上的值域是[﹣1，3]，且实数m的取值范围所组成的集合是B．
（1）分别求出定义域A与集合B；
（2）设集合C＝{x|x＜2a﹣6或x＞a}．若B∩C＝∅，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求解f（x）中x的范围可得集合A，根据二次函数的性质求解值域可得集合B．
（2）根据B∩C＝∅得到2a-6≤-3a≥-1，即可求解a的范围．
【解答】解：（1）由题意得x+1≥02-x＞0，∴﹣1≤x＜2，∴A＝[﹣1，2），
∵g（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴当x＝﹣1时，g（x）的最小值为﹣1，
∵函数g（x）在[m，1]的值域为[﹣1，3]，∴﹣3≤m≤﹣1，∴B＝[﹣3，﹣1]，
（2）∵B∩C＝∅，∴2a-6≤-3a≥-1，∴﹣1≤a≤32，
∴a的取值范围为[﹣1，32]．
21．（2020秋•开福区校级月考）函数f(x)=12kx2+kx+38．
（1）若f（x）的定义域为R，求k的取值范围；
（2）当k＝﹣1时，求f（x）的值域．
【分析】（1）由题意得，2kx2+kx+38＞0，对x∈R恒成立，然后结合一次及二次函数的性质对k进行分类讨论，即可求解，
（2）把k＝﹣1代入，然后结合二次函数的性质进行求解．
【解答】解：（1）由题意得，2kx2+kx+38＞0，对x∈R恒成立
1 当k＝0，满足；
2°当k≠0时，k＞0△=k2-3k＜0，解得0＜k＜3，
综上：0≤k＜3时，函数f（x）的定义域为R
（2）k＝﹣1时，令y=-2x2-x+38=-2(x+14)2+12≤12
故0＜-2x2-x+38≤22
∴f（x）的值域为[2，+∞)．
22．（2020秋•大冶市校级月考）已知函数f（x）满足f(1-x2)=x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数y=f(1-x2)-f(x)的值域．
【分析】（1）可令1-x2=t，从而得出x＝﹣2t+1，然后即可得出f（x）＝﹣2x+1；
（2）先得出y=x--2x+1，然后令-2x+1=t（t≥0），然后即可得出y=-12t2-t+12，配方即可求出原函数的值域．
【解答】解：（1）令1-x2=t，则x＝﹣2t+1，
∴f（t）＝﹣2t+1，即f（x）＝﹣2x+1；
(2)y=f(1-x2)-f(x)=x--2x+1，
设t=-2x+1，则t≥0，且x=-12t2+12，得y=-12t2-t+12=-12(t+1)2+1，
∵t≥0，∴y≤12，
∴该函数的值域为(-∞，12]．