专题12 集合的基本运算（补集与集合的综合应用运算）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点1：全集
知识点2：补集
【知识点拨】(1)简单地说，是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．
(2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，
∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示．
【题型归纳目录】
题型1：补集的运算
题型2：集合的交并、补集的综合运算
题型3：与补集有关的求参数问题
题型4：根据交并补混合运算确定参数
题型5：利用Venn图求集合
【典例例题】
题型1：补集的运算
例1．(2023·高一单元测试)已知全集，，，则=( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵，，
∴或，，∴.
故选：D
例2．(2023·高一课时练习)设全集，，则)等于( )
A．B．C． D．
【答案】C
【解析】由题意，则，
故，
故选：C
例3．(2023·吉林长春·高一汽车区第三中学校考期末)设集合，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】集合，
故选：B.
变式1．(2023·四川眉山·高一校考期末)已知集合，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】集合，
则B=，则=.
故选：D.
变式2．(2023·陕西汉中·高一统考期末)已知全集，集合，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以．
故选：C．
变式3．(2023·海南·高一统考学业考试)已知集合，，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以.
故选：B
题型2：集合的交并、补集的综合运算
例4．(2023·高一课时练习)已知全集，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，则.
故选：D
例5．(2023·高一单元测试)设集合，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以
故选：B
例6．(2023·全国·高一专题练习)已知全集，集合，．求：
(1)；
(2)；
(3).
【解析】(1)；
(2).
(3)，
故，，.
变式4．(2023·高一单元测试)已知全集，集合，．求，，．
【解析】因为，，，
所以，，或，
所以或，
.
变式5．(2023·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习)已知集合，或．
(1)若全集，求、；
(2)若全集，求；
【解析】(1)由题意可得，或
且或，则或
(2)根据题意，且，则可得
则
变式6．(2023·云南曲靖·高一会泽县实验高级中学校校考阶段练习)已知全集，集合，，求：
(1)；
(2).
【解析】(1)因为，，
所以，所以.
(2)因为，，
所以，
所以.
变式7．(2023·河北衡水·高一衡水市第二中学校考阶段练习)设，若，，则集合______．
【答案】/
【解析】因为
因为
因为,
如果,则与已知矛盾，所以.
所以.
故答案为：
变式8．(2023·高一课时练习)设全集，若，，，则__________．
【答案】
【解析】全集，作出韦恩图如下图所示：
由图形可知集合，，因此，.
故答案为.
变式9．(2023·河北衡水·高一河北冀州中学阶段练习)已知，，，，则_____．
【答案】
【解析】，且，
，
，
.
故答案为：.
变式10．(2023·内蒙古赤峰·高一阶段练习)设集合都是的子集，已知，，则等于____________．
【答案】{3,4}
【解析】由，
即，
则．
故答案为：.
题型3：与补集有关的求参数问题
例7．(2023·全国·高一专题练习)已知全集，集合，，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】由集合，可得，解得，
又由且，
可得，解得，经验证满足条件，
所以实数的值为.
故答案为：.
例8．(2023·浙江温州·高一校联考期中)已知全集，集合，，则实数a的值为__________．
【答案】1或-3
【解析】全集，集合，，则，解得或，
所以实数a的值为1或-3.
故答案为：1或-3
例9．(2023·北京·高一北京市八一中学校考阶段练习)设全集，则__________.
【答案】7
【解析】因为，所以，，
解得：，故.
故答案为：7
变式11．(2023·高一课时练习)设，，全集，， 或，则______.
【答案】1
【解析】因为，，所以或.
又或，所以，，所以.
故答案为：1.
变式12．(2023·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习)设集合，，，若，则_________.
【答案】
【解析】解方程得或，所以，
因为，所以，
又，所以，，解得，.
故答案为：.
变式13．(2023·上海·高一专题练习)设，，，则________.
【答案】
【解析】，，，
又，则
故答案为：
变式14．(2023·全国·高一专题练习)设集合，，若，则实数的取值范围是_______.
【答案】或
【解析】先求得集合A，由已知得，分和两种情况建立不等式，可求得答案．集合或，，∵，∴，
当，即时，，符合题意；
当，即时，或，得.综上，或.
故答案为：或．
变式15．(2023·高一课时练习)已知，，且，则的值等于_____．
【答案】
【解析】根据，可得，即可解得p的值，进而可求得集合，又根据，可得，即，即可解得q的值，即可得答案.因为，
所以，则，解得，
所以，解得，
又因为，
所以，即，
所以，解得，
所以，
故答案为：
变式16．(2023·上海·高一期中)已知集合，，若，，则_____.
【答案】19
【解析】利用交集和并集的性质可得，从而5和6是方程的两个根，则，进而可求出的值因为，，
，，
所以，
所以5和6是方程的两个根，
所以，解得，
所以
故答案为：19
题型4：根据交并补混合运算确定参数
例10．(2023·全国·高一期中)已知集合，设集合，，若，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】当时，，解得：，此时，
，符合题意；
当时，，解得，
因为集合，，
所以或，
因为，
所以，解得：，
所以时，，
综上所述：实数的取值范围是.
例11．(2023·江西抚州·高一统考期末)已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在(2)问中的横线上，并求解，若__________，求实数的取值范围．
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【解析】(1)当时，，或，
所以，，因此，.
(2)若选①，当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由可得，解得，此时.
综上，；
若选②，当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由可得，解得，此时.
综上，；
若选③，由可得，
当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由可得，解得，此时.
综上，.
例12．(2023·湖北咸宁·高一校考阶段练习)设集合，．
(1)当时，求和；
(2)若，求实数的取值范围．
【解析】(1)当时，，
所以，.
(2)由题意得，或，
因为，所以，
若，则；
若，则，且，
因为，或，
所以，解得.
综上，实数的取值范围是.
变式17．(2023·山西朔州·高一校考阶段练习)已知集合，，若，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由已知可求得，集合与集合有公共元素，即可求出实数a的取值范围.由集合，可得，
，可得集合与集合有公共元素，.
故答案为：.
变式18．(2023·上海普陀·高一上海市晋元高级中学校考期中)若且，则实数的范围是_________________.
【答案】
【解析】由题得或，
因为，
所以.
故答案为：
变式19．(2023·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习)已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
当时，，满足题意.
当时，时，解得
综上所述，.
故答案为：
变式20．(2023·广西桂林·高一校考阶段练习)设全集，集合，且，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，
又，
，
．
故答案为：.
题型5：利用Venn图求集合
例13．(2023·四川·高一校考阶段练习)高一某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛.则该班这两项比赛都没有参加的人数是______.
【答案】
【解析】由题意画出ven图，如图所示：
由ven图知：参加比赛的人数为26人，
所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29人，
故答案为：29
例14．(2023·河南郑州·高一校考阶段练习)中国健儿在东京奥运会上取得傲人佳绩，球类比赛获奖多多，其中乒乓球、羽毛球运动备受学生追捧．某校高一(1)班40名学生在乒乓球、羽毛球两个兴趣小组中，每人至少报名参加一个兴趣小组，报名乒乓球兴趣小组的人数比报名羽毛球兴趣小组的人数3倍少4人，且两兴趣小组都报名的学生有8人，则只报名羽毛球兴趣小组的学生有__人．
【答案】5
【解析】设报名乒乓球兴趣小组的学生构成集合A，其元素个数为x，报名羽毛球兴趣小组的学生构成集合B，元素个数为y，其关系如下：
由题意可知:，
解得，
因此只报名羽毛球兴趣小组的学生有人．
故答案为：5
例15．(2023·河北廊坊·高一校考阶段练习)七宝中学2020年的“艺术节”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人，则此班的人数为______.
【答案】40
【解析】设为七宝中学高一某班全体学生，
集合参加大舞台的学生，
集合参加风情秀的学生，
设两个节目都参加的人数为，只参加风情秀的人数为，
两个节目都不参加的人数为，只参加大舞台的人数为，
则由参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三，
得，
解得，
所以总的人数为人.
故答案为：
变式21．(2023·全国·高一专题练习)疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为___________.
【答案】29
【解析】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合A，B，C，
设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为，
根据题意可作维恩图如图：
依题意必有均为自然数，
所以，，
故这三天参加的志愿者总人数为：
当时，总人数最少，最少人数为.
故答案为：29.
变式22．(2023·山东潍坊·高一校考期中)国庆节期间，某校要求学生从三部电影《长津湖》、中国机长》《攀登者》中至少观看一部并写出观后感．高一某班50名学生全部参与了观看，其中只观看《长津湖》的有10人，只观看《中国机长》的有10人，只观看《攀登者》的有10人，既观看《长津湖》又观看《中国机长》的有7人，既观看《长津湖》又观看《攀登者》的有12人，既观看《中国机长》又观看《攀登者》的有9人，则三部都观看的学生有______人．
【答案】4
【解析】设观看《长津湖》的学生的集合为，观看《中国机长》的学生的集合为，观看《攀登者》的学生的集合为，
根据题意，作出集合对应的韦恩图如下所示：
设三部都观看的学生有人，
则，解得.
即三部都观看的学生有人.
故答案为：.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·高一课时练习)已知全集，，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意画出图如下，
可得：，，，.
故选：D.
2．(2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中)如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合、、，它们是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )

A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由图知，首先阴影部分是的子集，其次不含集合中的元素且在集合的补集中，
可得阴影部分所表示的集合是或.
故选：C.
3．(2023·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校联考阶段练习)已知全集，集合，，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，则，所以．
故选：A.
4．(2023·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考期中)已知全集，集合，，则等于( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由集合，可得，
又由合， 可得.
故选：A.
5．(2023·全国·高一专题练习)集合且，，，且，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】作出Venn图如图所示，
则，．
故选：C．
6．(2023·高一课时练习)设全集I是实数集R，或与都是I的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以阴影部分表示的集合为.
故选：C.
7．(2023·辽宁沈阳·高一东北育才双语学校校考期末)已知集合，，则( )
A．或B．
C．D．
【答案】B
【解析】，，
．
故选：B.
8．(2023·江苏·高一淮阴中学校考期中)已知集合，若是的子集，且同时满足：①若，则；②若，则；则集合的个数为( )
A．8B．16C．20D．24
【答案】B
【解析】由题意当时，，当时，，
当时，，当时，，元素5与7没有限制，
则集合的个数等于的子集个数，集合有个子集，
集合可以为：，， ，，，，，，
，，，，，，，，共16个，
故选：B
二、多选题
9．(2023·高一单元测试)已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1,3,5}，Q={1,2,4}，则下列结论正确的是( )
A． ={1}B． ={1,2,3,4,5,6}
C． ={1,2,4,6}D．={3,5}
【答案】ACD
【解析】∵P={1,3,5}，Q={1,2,4}，
∴={1}，={1,2,3,4,5}.
又={2,4,6}，={3,5,6}，
∴={1,2,4,6}，
={3,5}.
故选：ACD.
10．(2023·高一课时练习)已知全集为U，A，B是U的非空子集，且，则下列关系一定正确的是( )
A．且
B．
C．或
D．且
【答案】AB
【解析】因为，所以，
则且，，故AB正确；
若是的真子集，则，则且，故C错误；
因为，所以不存在且，故D错误.
故选：AB.
11．(2023·浙江杭州·高一校考期中)已知集合M、N的关系如图所示，则下列结论中正确的( )
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】由图可知，,A错误；
，B正确；
，C错误；
,D正确，
故选:BD.
12．(2023·浙江·高一期中)已知集合A中含有6个元素，全集中共有12个元素，中有m个元素，已知，则集合B中元素个数可能为( )
A．2B．6C．8D．12
【答案】BC
【解析】因为中有m个元素，
所以中有个元素，
设集合B中元素个数为x，
又集合A中含有6个元素，
则，即，
因为，
所以，
又中共有12个元素，
所以，
则，
故选：BC
三、填空题
13．(2023·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习)向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则赞成的不赞成的有_____人.
【答案】
【解析】由已知得赞成的人数是，
赞成的人数是，
设都赞成的学生数为，则都不赞成的学生数为，
，
解得，
则赞成的不赞成的有人.
故答案为：.
14．(2023·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习)已知，，则__________.
【答案】
【解析】由题意, ,
故画图如图:
即得，
故答案为：
15．(2023·西藏林芝·高一校考期中)已知全集，集合，.则=_________.
【答案】或
【解析】因为，所以或.
又，所以或.
故答案为：或
16．(2023·浙江金华·高一校考阶段练习)已知集合，且，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【解析】因为，所以或，
又，，
所以只需，
即实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
17．(2023·高一课时练习)已知集合，若，求实数m的取值范围．
【解析】因为，所以当时，；当时，，
因为，所以，
因为，所以当时，显然不满足；
当时，或，解得或，
所以实数m的取值范围为或.
18．(2023·高一课时练习)已知，求．
【解析】表示平面上所有点的集合，
表示一次函数图象上的点的集合，
表示一次函数图象上除去点的所有点的集合，
而表示点以及平面上除了直线上的点以外的所有点的集合，
所以对应的元素为，即
19．(2023·全国·高一专题练习)已知全集，或，.
(1)当时，求，，；
(2)若，求实数a的取值范围.
【解析】(1)当时，或，
，又，
，或，；
(2)若，则，
或，
或.
20．(2023·内蒙古赤峰·高一统考期末)已知集合，或，全集合．
(1)当时，求；
(2)若，，求实数的取值范围．
【解析】(1)当时，，又或，
或；
(2)若，则，
又，
由得，
，
解得.
21．(2023·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期中)已知集合或.
(1)若，求；
(2)若，且，求实数的取值范围.
【解析】(1)若，
.
(2)若，则，
因为，则或,
解得或
综上：或
22．(2023·江苏常州·高一江苏省奔牛高级中学校考阶段练习)已知集合，，
(1)若，求；
(2)是否存在自然数k，b，使得？若存在，求出k，b的值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)当时，，联立方程得，解得或；
故.
(2)，故且，
联立方程得，消去y得，，
由知，
当时，方程有解，故不符合题意；
当时，，即；
联立方程得，消去y得，，
，，即；
若有解，则，即；
若有解，则，即；
，，代入得，且，故且，
故；
综上所述，当，时，
文字语言
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集
文字语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作
符号语言
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
图形语言