专题06 圆-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点1：直线与圆的位置关系
设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？
图1
观察图1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线.
图2
在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有.
图3
当直线与圆相切时，如图3，为圆的切线，可得，，且在中，.
图4
如图4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.
知识点2：点的轨迹
在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.
我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.
下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.
从上面对圆的讨论，可以得出：
到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.
我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：
和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.
由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：
到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.
【题型归纳目录】
题型一：直线与圆的位置关系
题型二：点的轨迹
【典例例题】
题型一：直线与圆的位置关系
例1．(2023·安徽宿州·校考一模)如图，在中，，以为直径作，在上取一点，使，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的长．
【解析】(1)证明：连接，如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即半径，
∴是⊙O的切线；
(2)连接，交于点G，如图，

∵，，
∴，
∵O为为中点，
∴为中位线，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴在中， ．
例2．(2023·浙江湖州·模拟预测)如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
【解析】(1)如图1，连接，

∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴
∵是的半径，
∴是的切线；
(2)连接，交于，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴．
例3．(2023·新疆喀什·统考三模)如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，于点D，延长交于点E，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求的半径长．
【解析】(1)连接，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)连接，如图所示：

∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的半径为．
变式1．(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，过点作的切线交于点．

(1)求证：；
(2)若的半径为，，，求的长．
【解析】(1)证明：连接OB，

∵是的直径，
∴
∴
∴
∵BF与相切
∴，即
∴
∵，
∴，
∴；
(2)由(1)．
∴，
设，
∴
∴，
∵⊙O的半径为，
∴，
在中，
∴，
∴
∵
∴，
∴
又∵，
∴
在中，．
∴
变式2．(2023·河南商丘·统考三模)如图，中，，点为上一点，以点为圆心，以为半径的切于点，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【解析】(1)(1)证明：连接，

切于，
，
，
，
，
，
，
，
即；
(2)如图所示，设交于点，连接，

∵是直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，则，
∴，
∴．
变式3．(2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考三模)如图，在中，，点D为边的中点，以为直径作，分别与交于点E、F，过点E作于G．

(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为5，求的长．
【解析】(1)证明：如图，连接，

∵中，D为边中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴EG是的切线．
(2)如图，连接，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
变式4．(2023·广西贵港·统考三模)如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上的三点A，B，C．

(1)用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在中，连接交于点E，连接，当时，求图片的半径R；
(3)若直线l到圆心的距离等于，则直线l与圆________(填“相交”“相切”或“相离”)
【解析】(1)如图所示，点O即为所求；

(2)∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴所求圆的半径为；
(3)∵直线l到圆心的距离等于，且圆的半径为，
∴直线l与圆相切，
故答案为：相切．
变式5．(2023·辽宁营口·统考二模)如图，内接于，是的直径，弦交于点E，连接．过点B作的切线，交延长线于点N．过点D作于点G，交于点F．

(1)若，求证：；
(2)在(1)的条件下，若，，求的半径．
【解析】(1)证明：连接，过O作于H，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
(2)连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵切于B，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为4．
变式6．(2023·浙江舟山·统考三模)如图1，在中，直径于点F，点E为上一点，点C为弧的中点，连接，交于点G．

(1)求证：；
(2)如图2，过点C作的切线交BA的延长线于点Q，若，，求的长度；
(3)在(2)的基础上，点P为上任一点，连接，的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
【解析】(1)∵直径于点F，
∴．
∵点C为弧的中点，
∴．
∴．
∴．
(2)如图2，连接交于点，设的半径为，则，

由(1)知
∵直径于点F，
∴．
在中，
∵，
∴．
解得：，
∵点C为弧的中点，
∴，．
∴．
∵是的切线，
∴．
∴．
∴，即．
∴．
(3)的比值不会发生改变，，理由如下：
由(2)知，，，，
①当点与点重合时，；
②当点与点重合时，；
③当点与点、不重合时，如图3，连接，

∵，，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴的比值不会发生改变．
题型二：点的轨迹
例4．(2023·河南郑州·河南省实验中学校考三模)综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
如图1，正方形纸片，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点．
根据以上操作，请直接写出图1中与的数量关系：______．
(2)迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：
如图2，在矩形纸片中，，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点，请求出的值，并说明理由；
(3)拓展应用
如图3，已知正方形纸片的边长为，动点由点向终点做匀速运动，动点由点向终点做匀速运动，动点、同时开始运动，且速度相同，连接、，交于点，连接，则线段长度的最小值为______，点的运动轨迹的长为______．(直接写出答案不必说明理由)
【解析】(1)∵四边形是正方形，
∴，，
又，
∴
∴
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：；
(2)，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
又，
∴
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
(3)如图，取的中点，连接，，

由题意知，，，
∴，
∴
∴
∵是的中点，，
∴，
在中，；
在中，
∵，
∴的最小值是，
∵，
∴、、三点共圆，
∴点在以点为圆心，在以半径为1的圆上运动，
∴点的运动轨迹的长为：，
故答案为：；．
例5．(2023·河北邯郸·校考三模)数学兴趣小组探究平面内横、纵坐标满足特定关系的动点的运动轨迹问题：
(1)组长提出问题：动点随着t的变化形成的运动轨迹是什么?
甲同学的思考：t取3个特殊值得到3个点坐标，发现3点在一条直线上，可以利用待定系数法求出该直线的表达式；乙同学的思考：令，，通过消去t得到y与x的函数关系式．
______(填甲或乙)同学的方法更严谨，点运动轨迹的函数表达式为______；
(2)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，Q为坐标系内一点且，点M从点A出发以每秒8个单位的速度沿x轴向左运动，同时点N从点O出发以每秒6个单位的速度沿y轴向上运动，点P是MN的中点，设运动时间为t.求点P的运动轨迹的函数表达式，并计算当时PQ的最小值；
(3)老师给出坐标平面内两个动点：，.
丙学说：点T、K的运动轨迹都是直线；丁同学说：点T、K在运动过程中不可能重合；请你判断两人结论是否正确并说明理由．
【解析】(1)乙的方法更严谨，
令，，
∴，
∴，
∴点运动轨迹的函数表达式为；
故答案为：乙，；
(2)∵，，
∴，，
∴移动到点的位置需要的时间为：秒，
①当时，，
，，
则：；
②当时，，
∴，，即：
则：；
综上：，
令，，消去，得的运动轨迹的函数表达式为，
当时，，
∴，
∵
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴的值最小值为，
(3)①∵，
令，则：；
∴，
∴点的轨迹为抛物线；
∵，令，则：，
∴；
∴点的轨迹为直线；则丙同学的结论错误
联立，整理，得：，
∵，
∴方程没有实数根，即抛物线和直线没有交点，
即点在运动过程中不可能重合，丁同学的说法正确．
例6．(2023·河南·河南省实验中学校考三模)综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
如图1，正方形纸片，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点．根据以上操作，请直接写出图1中与的数量关系：______．

(2)迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：
如图2，在矩形纸片中，，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点，请求出的值，并说明理由．

(3)拓展应用
如图3，已知正方形纸片的边长为2，动点由点向终点做匀速运动，动点由点向终点做匀速运动，动点、同时开始运动，且速度相同，连接、，交于点，连接，则线段长度的最小值为______，点的运动轨迹的长为______．(直接写出答案不必说明理由)

【解析】(1)∵四边形是正方形，
∴，，
又，
∴
∴
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：
(2)∵四边形是矩形，
∴，，
又，
∴
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
(3)如图，取的中点，连接，，

由题意知，，
由(1)可得，
同理可得：，
∵是的中点，，
∴，
在中，；
在中，
∵，
∴的最小值是，
∵，
∴、、三点共圆，
∴点在以点为圆心，在以半径为1的圆上运动，
∴点的运动轨迹的长为：，
故答案为：；．
变式7．(2023·山东临沂·统考二模)“垃圾入桶，保护环境从我做起”，如图所示的是某款垃圾桶侧面展示图，，，桶盖可以绕点G逆时针方向旋转，当旋转角为时，桶盖落在的位置．
(1)求在桶盖旋转过程中，点C运动轨迹的长度．
(2)求点到地面的距离．(参考数据：)
【解析】(1)如图，连接，由旋转知点C，都在以G为圆心，为半径的圆上，则点C运动轨的长度为弧的长．
在中，，
∴，
∴弧的长度为，
故点C运动轨迹的长度为；
(2)如图，过点作，垂足为点M，交于点N，
∴．
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，∴，
∴
答：点到地面AB的距离约为82.8cm．
变式8．(2023·广东广州·九年级统考期末)如图，抛物线的图象与x轴交于点、与y轴交于点C，顶点为D．以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点．
(1)试用含a的代数式表示c；
(2)若恒成立，求出此时该抛物线解析式；
(3)在(2)的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长．
【解析】(1)∵抛物线的图象与x轴交于点、，
∴该函数的解析式为，
∴．
(2)连接，
∵P是半圆上一点，点Q为的中点，且，
∴点D在上，
∴，
∵该抛物线的对称轴为直线，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴该抛物线解析式为：；
(3)∵，
∴，
∴点Q在以为直径的圆上运动，
∵、，，
∴当点P与点B重合时，，即，
当点P与点A重合时，，即，
∴轴，，
∴点Q在以中点为圆心的半圆上运动，
点Q的路径长为：．
变式9．(2023·全国·九年级专题练习)“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米(即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离)．
(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
【解析】(1)如图，作于点，交圆于点，
则米，米，
设圆的半径为米，
在中，，
，
解得，
该圆的半径为5米；
(2)如图，当米时，，
在中，，
，
米，
(米)，
答：水面下盛水筒的最大深度为2米．
变式10．(2023·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考期末)如图：在平面直角坐标系中，点A、B、C都在格点上
(1)画出关于原点对称的，并写出A、B、C三点关于原点对称的坐标、、．
(2)画出绕原点O顺时针方向旋转90°得到的．并求点A运动到的轨迹的弧长．
【解析】(1)关于原点O的中心对称图形如图所示：
∴的坐标为、的坐标为、的坐标为；
(2)绕原点O顺时针方向旋转90°得到的，如图所以：
由图可知，
，，
∴点A运动到的轨迹的弧长为：．
变式11．(2023·重庆梁平·九年级校联考期中)已知：，点B为x轴上的一动点，过点B作x轴的垂线交的垂直平分线于点P．
(1)请利用图(1)进行探讨：若点，则点P的坐标为___________；若点，则点P的坐标为___________；若点时，点P的坐标为___________；
(2)设，请列出y关于x函数关系式，并在图2中画出点P的运动轨迹l．
(3)图2中，点，有动点G，；按下列要求作图，轨迹l与直线相交于点A，B(A点在左)，点Q为线段的中点，连接，直接写出线段的长度范围．
【解析】(1)设，
当点时，由于轴，则，
所以点，
∵点P在线段的垂直平分线上，
∴，即，
∴，
∴，
即点P的坐标为；
当点时，则点，
由，得，
∴，
即点P的坐标为；
当点时，则点是线段的中点，
∵
∴，
即点P的坐标为；
综上，点P的坐标为：，，
(2)∵轴，
∴点，
∵点P在线段的垂直平分线上，
∴，即，
∴，
整理得：，
(3)如图2，连接，取的中点E，连接、、，
∵为线段的中点，
∴由三角形中位线定理得，
∴点Q的运动路径是以点E为圆心，为半径的圆，
∴当点E在线段上时，最大为；当点Q在线段上时，最小为，
∵点及直线，
∴，
∵当时，，
∴，
即，
∴，
∴由勾股定理得，
∴的最大值为，最小值为，
所以的取值范围为：．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·江苏无锡·九年级统考期中)已知线段的中点为，动点满足，则点的轨迹是( )
A．以为直径的圆B．的延长线C．的垂直平分线D．平行的直线
【答案】A
【解析】∵线段的中点为，
∴，
∵，
∴，
∴点P在以点M为圆心，为直径的圆上，
故选：A．
2．(2023·甘肃兰州·九年级校考阶段练习)如图，在矩形ABCD中，BC=2，将边BC绕点C按顺时针方向旋转一定角度，点B刚好落在边AD的中点E上，则点B的运动轨迹长为( )
A．B．C．πD．无法确定
【答案】B
【解析】在矩形中，，将边绕点按顺时针方向旋转一定角度，点刚好落在边的中点上，
弧就是点的运动轨迹，
，，
，
在中，，
，
，
∴点B的运动轨迹长为，
故选：B．
3．(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)如图，点、、、在上，，，则点到的距离是( )

A．B．C．2D．3
【答案】B
【解析】∵点、、、在上，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
连接，过点作于点，
∴，，
∴
∴点到的距离是，
故选：B．

4．(2023·贵州黔东南·统考二模)如图，点A，B，C在上，若，则等于( )

A．100°B．110°C．120°D．140°
【答案】D
【解析】在优弧上取点D，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴
∵与是同弧所对的圆周角与圆心角
∴
故选：D．
5．(2023·新疆乌鲁木齐·校考二模)如图，四边形内接于．连接，若，则( )

A．150°B．140°C．130°D．120°
【答案】B
【解析】∵四边形内接于，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
6．(2023·河北石家庄·统考二模)如图，点是的内心，过点作分别交于点，已知的周长为8，，的周长为，则表示与的函数图象大致是( )

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，连接，
，
点是的内心，
，
，
，
，
，
的周长，
的周长为8，，
，
，
，
，
，
与的函数关系式为：，
故选：A．
7．(2023·河北石家庄·统考二模)如图，的两条角平分线相交于O点，，，点P，Q分别为AC，BC上的点，且，甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形OPCQ的面积是定值；丙：当时，的周长和面积均取得最小值．则下列说法正确的是( )

A．甲正确，乙、丙错误B．甲、乙正确，丙错误C．甲错误，乙、丙正确D．甲、乙、丙都正确
【答案】D
【解析】如图，过点O作于点，于点E，则

∵的两条角平分线相交于O点
∴点O为的内心，
是的平分线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
所以甲的判断正确；
连接，
，
∴四边形的面积，
∵点的位置固定，
∴是定值，
∴四边形的面积是定值，
所以乙的判断正确；
如图，过点O作于点F，

，，
，
∴，
，
的周长，
的面积
∴当最小时，即当时，的周长和面积均取得最小值；
综上所述：甲、乙、丙正确．
故选：D．
8．(2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模)在中，，以为直径的与边交于点D，点E在上，且，若，，则的半径为( )

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，连接，

为的直径，
，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
，即的半径为．
故选：C．
9．(2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模)如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为( )

A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【解析】如图，过点I作，垂足分别为G，F，

∵点I为的内心，
∴以为半径的圆I是的内切圆，
∴，，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故选：B
10．(2023·陕西宝鸡·统考一模)如图所示，内接于，点M为的内心，若，则的度数是( )

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵且，
∴
∵点M为的内心，
∴
∴
∴
∵且
∴，
故选：A．
二、填空题
11．(2023·浙江温州·校联考二模)如图，直线与相切于点，过圆上一点作的垂线，垂足为，垂线段交于另一点，已知半径为3，，则弦的长为 ．

【答案】
【解析】作于，连接，，

，
切圆于，
半径，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
故答案为：．
12．(2023·宁夏固原·校考二模)如图，直线是的切线，C为切点，交于点D，点E在上，连接，，，则的度数为_______．

【答案】/度
【解析】∵直线是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13．(2023·贵州遵义·统考二模)已知内接于，它的内心为点D，连接交弦于点E，交于点F，已知，，，则线段的长为______．

【答案】/
【解析】连接，，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点为的内心，
∴，分别为，的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
14．(2023·安徽蚌埠·统考三模)如图，是内接四边形的一个外角，若，则的大小为__________．

【答案】/72度
【解析】∵，
∴，
∵是内接四边形的一个外角，
∴．
故答案为：．
15．(2023·四川泸州·统考一模)如图，在中，，，，以边的中点O为圆心，作半圆与相切，点P，Q分别是边(包括端点)和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的差是______．

【答案】10.5
【解析】设与相切与点E，连接，作垂足为交于，

此时垂线段最短，最小值为，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
∴最小值为；
如图，当在边上时，与B重合时，经过圆心，经过圆心的弦最长，最大值，
∴长的最大值与最小值的差是10.5，
故答案为：10.5．
三、解答题
16．(2023·云南昆明·统考二模)矩形中，，点O是边BC上的一个动点(不与点B重合)，连接，将沿折叠，得到，再以O为圆心，长为半径作半圆，交射线于G，连接并处长交射线于F，连接，设．

(1)求证：是半圆O的切线；
(2)当点E落在上时，求x的值；
(3)当半圆O与的边有两个交点时，求x的取值范围．
【解析】(1)证明：是矩形，
，
∵沿折叠，得到，
，
，
是半圆O的半径，
是半圆O的切线．
(2)当点E落在上时，如图2所示：

∵沿折叠，得到，
，，
∴，
∵在中，，
∴
∴
∵由(1)知是半圆O的切线，
，
∴在中，
∴，解得：，
答：x的值为3．
(3)分情况进行讨论：
①如图2，当半圆O与相切时，根据(2)中解答，可得；

如图3，当半圆O与相切时，．

∴当时，半圆O与的边和各有一个交点；
②如图4，当半圆O经过点D时，连接，设圆的半径为a，

在中，可得，即
解得：
如图5，当半圆O的圆心与点C重合时，此时，，
∴当时，半圆O与的边和各有一个交点，
∴综上所述，当或时，半圆O与的边有两个交点．
17．(2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测)如图，是的外接圆，，过点作，交于点，交于点，过作的切线，与的延长线相交于点．

(1)求证：
(2)若的半径为2，，求的长．
【解析】(1)连接

∵
是直径，．
是的切线，
，
，
，
，
，
又
，，
，
在和中，
，
，
．
(2)
，
，
在中，，．
，
．
在中，，
，
，
．
18．(2023·广西梧州·统考二模)如图，是的外接圆，是的直径，与关于对称，点C的对应点为点D，交于点E，连接交于点F．在C点作，交的延长线于点G．

(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，求的值．
【解析】(1)证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)证明：连接，

∵是的直径，
∴，
∵与关于对称，点C的对应点为点D，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
(3)连接，

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．(2023·山西大同·校联考模拟预测)如图，已知内接于，且是的直径，

(1)实践与操作：
请用尺规作图法作出的内心I；(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
(2)推理与计算：
连接并延长，与交于另一点D．若，，求的长．
【解析】(1)如图1，点I为所求，

(2)如图2，连接，，，

∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，，，，
∴，
∴．
20．(2023·陕西西安·校考模拟预测)(1)问题提出：如图1，N为正方形内一点，连接，，点M在延长线上，连接，，若，则 °；
(2)问题解决：
参观研学观光园是近年来兴起的一种研学旅行模式．如图2所示的五边形为某研学观光园的规划设计图．其中，，点P是两条笔直的观光小路与的交叉口，经测量．
①若点P恰为观光小路的中点，求此时小路的长度；
②观光园的设计者从实用和美观的角度综合考虑，想将园中由点B，N，C构成的三角形区域建设为采摘园，且使采摘园的面积最小，是否存在这样面积最小的，若存在，请求出这个面积的最小值；若不存在，说明理由．

【解析】(1)如图1，

∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
(2)①如图2，

连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵点P是的中点，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴
解得，
∴．
②如图，

连接，∵，
∴点M在的外接圆O上运动，
作直径，交于点E，交于点I，连接，，
则，
∴是等边三角形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点N在以点E为圆心，为半径的圆上运动，
当点N在点O处时，最小，此时的面积最小，
∴．
21．(2023·河北保定·统考二模)如图，已知正方形的边长为8个单位长，点为边上的中点，点从点向点以1个单位长/秒速度匀速运动，连接，过点做的垂线，交于点．交射线于点．设点运动时间为．
(1)用含的代数式表示长为___________；
(2)如图，点在边上，且，求点在内部(包括边上)的时长；
(3)①求证：点一定在的外接圆上；
②当的外接圆与相切时，求的值；
(4)线段长的最小值是___________．
【解析】(1)∵四边形为正方形，且边长为8，
∴，
∵，
∴，
又∵为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴；

(2)当过点时(或当点与点重合时)，
∴，
∴，
解得，，
∴点在内部的时长为．
(3)①如图1，连接，取中点，连接、

∵，，
∴
∴点在的外接圆上．
②由①可知点为外接圆圆心，作于点
∵为外接圆半径，该圆与相切，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴．
(4)方法一：如图2，在点从向运动的过程中，点由无限远处向点运动．当外接圆与相切时，最小．
由(3)可知，
∴，
∴．

方法二：如图3，作延长线于点，则四边形是矩形，
∴，
同理可证明
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．

22．(2023·全国·模拟预测)如图，是直径，是的一条弦，，连接，．

(1)求证：．
(2)点C是上一点，射线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接，若⊙O的半径为5，长为6，求的长．
【解析】(1)连接，

∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
(2)如图，记于点P，连接，
∴，
∵，是的切线，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵的半径为5，
∴，

在中，，
∴，，
∴，
在中，．
23．(2023·河南·校联考二模)如图1，小明在外取一点P，作直线分别交于两点B、A，先以P为圆心的长为半径画弧，再以O为圆心的长为半径画弧，两弧相交于点Q，连接交于点C，连接．完成下列任务：

(1)请你写出小明得出为的切线的核心依据：__________________；
(2)如图2，继续作点C关于的对称点D，连接交于点E，连接．
①求证：；
②若的半径为15，，求的长．
【解析】(1)根据切线的判定得：依据是经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，
故答案为：依据是经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
(2)①∵为的切线，
∴，
∴．
∵点C与点D关于的对称，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，，
∴，
在中，，
∵，，
∴
∴，即
∴．