专题04 方程与不等式-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点1：二元二次方程组的解法
方程
是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做二元二次方程．其中，，叫做这个方程的二次项，，叫做一次项，6叫做常数项．
我们看下面的两个方程组：
，
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．
知识点2：一元二次不等式的解法
为了方便起见，我们先来研究二次项系数时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方程()，设，它的解的情形按照分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线与轴分别有两个公共点、一个公共点和沿有公共点(如图所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式与的解．
(1)当时，抛物线与轴有两个公共点和，方程有两个不相等的实数根和，由图2．3-2①可知
不等式的解为，或；
不等式的解为．
(2)当时，抛物线与轴有且仅有一个公共点，方程有两个相等的实数根，由图②可知
不等式的解为；
不等式无解．
(3)如果，抛物线与轴没有公共点，方程没有实数根，由图2．3-2③可知
不等式的解为一切实数；
不等式无解．
今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于雪，则可以先在不等式两边同乘以，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．
【题型归纳目录】
题型一：一元二次不等式的解法
题型二：二元二次方程组的解法
【典例例题】
题型一：一元二次不等式的解法
例1．解不等式：
【解析】，所以原不等式的解为或.
例2．解不等式：；
【解析】，∴
例3．求下列不等式的解集.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】
(1)解：原不等式即为，解得，
(2)解：将原不等式变形为，
即，解得或，
(3)解：将原不等式变形为，解得，
(4)解：对于不等式，，故原不等式的解集为全体实数.
变式1．求不等式的解集：
(1)；
(2)；
【解析】(1)由，得，
解得或，
(2)由得，，
题型二：二元二次方程组的解法
例4．(2023·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中)解方程组：
【解析】
方程①可化为：
即：或
方程②可化为：
或，
原方程组可以组成四个二元一次方程组：
，，，，
分别解这四个方程组，得原方程组的解是：
，，，．
例5．(2023·上海杨浦·统考三模)解方程组：
【解析】由②得：，
∴或
解得：或，
∴原方程组的解为：或．
例6．(2023·上海青浦·统考二模)解方程组：
【解析】方程①可变形为．
得或．
方程②可变形为．
得或．
因此，原方程组可组成以下四个二元一次方程组：
，，，．
分别解这四个方程组，得原方程组的解是
，，，．
变式2．(2023·上海虹口·校联考二模)解方程组：
【解析】由，得，
∴，
∴原方程组可转化为： 或
解得：或
∴原方程组的解为：或．
变式3．(2023·上海崇明·统考二模)解方程组：
【解析】由①得：，
把代入②得：，
整理，得：，
解得：；
当时，；
当时，；
∴方程组的解为：或．
变式4．(2023·上海宝山·统考二模)解方程组：．
【解析】，
由①得，，
将②代入，③，
②③得，，解得：，
②③得，，解得：，
则方程组的解为．
变式5．(2023·上海金山·统考二模)解方程组：．
【解析】∵，
∴，
∴或，
解得或，
故原方程组的解为或．
变式6．(2023·上海松江·统考二模)解方程组：
【解析】
由②得：，
∴或，
由①③得
得：，
解得：，
把代入③得：，
∴方程解为；
由①④得
得：，
解得：，
把代入得：，
∴方程解为；
综上所述：原方程解为：或
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·八年级单元测试)方程组的解是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得：，
把代入得：，即，
解得：．
当时，；当时，．
∴方程组的解为：或
故选D．
2．(2023·上海·八年级期中)方程组解的情况是( )
A．有两组不同的实数解B．有两组相同的实数解
C．没有实数解D．不能确定
【答案】A
【解析】
方程减去方程，
消去得：，
整理得：，
，
，
即方程有两个不相等的实数根，
所以方程组也有两组不相等的实数解，
故选：A．
3．(2023·浙江·九年级自主招生)若实数x,y满足，则的值是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据方程组 ；
得到 ，
从而解得 ；
将以上x和y的值代入，
当= ；
当= ，
当=；
当，=；
故答案为：A
4．(2023·福建泉州·九年级泉州五中校考开学考试)已知x，y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则( )．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∵
，
当且仅当，
即，，
或，时，等号成立，
∴的最小值为，
∴最小值为：，
即，
∵
，
当且仅当时，
即，，
或，时等号成立，
∴的最大值为，
∴的最大值为，
即，
∴，
故选：C．
5．(2023·江苏镇江·统考二模)已知点在经过原点的一条直线l上，且，则的值为( )
A．B．C．0D．
【答案】A
【解析】对方程组通分化简得到
①-②得， ③
对③式进行移项，因式分解得，
∴或
又∵在经过原点的一条直线l
∴与是正比例函数关系，即
∴，即
代入得
故答案为A．
6．(2023·上海·九年级专题练习)已知且，那么的值为 ( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】
由①+②可得③，
由②可得x=，
∴，把代入③得：
，
，
∵x＞0，y＞0，
∴y=或y=，
当y=时，代入②得x=-不合题意，舍去；
∴y=，当y=时代入②得x=，
∴=(+)2=3.
故选：B.
7．(2023·全国·九年级竞赛)方程的整数解的组数为( )
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】把方程变形得：(x+y)2+2y2=34，
∵34与2y2是偶数，
∴x+y必须是偶数，
设x+y=2t，则原方程变为：(2t)2+2y2=34，
∴2t2+y2=17，
它的整数解为：，
∴当y=3，t=2时，x=1；
当y=3，t=−2时，x=−7；
当y=−3，t=2时，x=7；
当y=−3，t=−2时，x=−1．
∴原方程的整数解为：(1，3)，(−7，3)，(7，−3)，(−1，−3)，共4组．
故选B．
8．(2023·上海·九年级专题练习)二元二次方程组的解的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】，
由①得
(x-y)(x+2y)=0，
∴x-y=0或x+2y=0，
∴原方程组可变为：
或，
由③得
x=y，
把x=y代入④得
y2+4y=-2，
解得
y=-2±，
∴，；
由⑤得
x=-2y，
把x=-2y代入⑥得
4y2+4y+2=0，即2y2+2y+1=0，
∆=4-8=-4＜0，
∴此时方程无实数根，
综上可知，方程组有两组，．
故选B．
9．(2023·上海·九年级专题练习)方程组有四组不同的实数解，则m的取值范围是( )
A．B．C．D．，且
【答案】D
【解析】
由②，得③
将③代入①，得
∵方程组有四组不同的实数解，
∴且
∴，且
故选：D.
10．(2023·上海·九年级专题练习)下列各对未知数的值中，是方程组的解的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】把四个选项的答案分别代入方程组，发现只有A中的答案适合两个方程．
故选A．
二、填空题
11．(2023·上海徐汇·统考二模)方程组的解是______．
【答案】或．
【解析】
由①得：，
∴或，
∴或，
解可得：，
解可得：，
∴原方程组的解为：或．
故答案为：或．
12．(2023·全国·九年级专题练习)写出一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组___________，使它的解是和．
【答案】(答案不唯一)
【解析】方程组的解为和，
，
，
方程组可以是，
故答案为：答案不唯一)．
13．(2023·上海·九年级上外附中校考阶段练习)已知关于x，y的方程组有两组不同的实数解，则n的范围为___________．
【答案】
【解析】由方程2可得， ,
所以应该是方程 有大于等于4的解；
当 时，只有 一组解，
所以得出x的解应大于4；
方程有大于4的解，
构造二次函数 ，开口向上，
所以有当时，y小于0，即 ,
解得
14．(2023·全国·九年级专题练习)方程组的解是______________________．
【答案】
【解析】
由①得③，
将②代入③得④，
②+④得，
解得，
将代入④得，
解得，
所以方程组的解为：，
故答案为：．
15．(2023·全国·九年级专题练习)把二次方程转化成两个一次方程，那么这两个一次方程是_______和_______．
【答案】 x－3－y=0
【解析】，，
，．
故答案为：，x－3－y=0．
三、解答题
16．(2023·上海黄浦·统考二模)解方程组：
【解析】由方程②，得③
将③代入①，得
解，得
将代入③，得；
将代入③，得
所以，原方程的解是，．
17．(2023·全国·九年级专题练习)解方程组：
【解析】，
由①得：，
∴或，
∴原方程组化为：或，
由可得：，
由可得：，
∴方程组的解为：或．
18．(2023·全国·九年级专题练习)解方程组：
【解析】
由①得，
则或，
∴或，
解得：或．
19．(2023·江苏南京·九年级统考期中)解新类型的方程(组)时，可以通过去分母、换元等方法转化求解．
(1)请按要求填写下表．
(2)解方程组：
【解析】(1)，
设，则方程变形为，
∴，
解得或，
∴或(无解)，
解得，
故答案为：；2或；；
(2)，
由第一个方程得，，
∴，
①当时，
∵，
∴x、y是一元二次方程得两个根，
解得或，
∴；
②当时，
∵，
∴x、y是一元二次方程得两个根，
解得或，
∴，
综上所述，这个方程组得解为，．
20．(2023·全国·九年级专题练习)阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
(2)已知x，y满足方程组
(i)求的值；
(ii)求出这个方程组的所有整数解．
【解析】(1)，
将方程②变形：，
即③，
把方程①代入③得：，
解得，
把代入方程①，得，
所以方程组的解为；
(2)(i)原方程组化为，
将①代入方程②得：，
∴；
(ii)由(i)得，
∵x与y是整数，
∴或或或，
由(i)可求得，
∴和符合题意，
故原方程组的所有整数解是或．
21．(2023·上海浦东新·九年级上海市进才实验中学校考期中)解方程组：．
【解析】∵，
∴或，
∴原方程可化为或，
加减消元得：y=-1或y=，
∴原方程的解为：或，
22．(2023·上海·九年级上海市西南模范中学校考期中)解方程组
【解析】
由①可得：x(x-y)=0，
∴或，
由②得：(2x-y)=1，
把x=0代入(2x-y)=1得：，
解得：y=1，y2=−1；
由x-y=0得：x=y，
把x=y代入(2x-y)=1得：(2y-y)=1，
解得：或，
∴当时，，
当时，，
综上可得，原方程组的解为：，，，．
23．(2023·全国·九年级专题练习)(1)解方程组：
(2)
【解析】(1)
由②可得：
两边平方化简得：，即
代入①得：，即
解得：或
将代入②得：，解得：
将代入②得：，解得：
故原方程组的解为：或；
(2)
去括号化简得：，即
得：，解得：
将代入①得：，解得：
故原方程组的解为.
原方程
①转化
设，则
②求解

③检验
，2都是原方程的解
…
④结论