专题10 集合间的基本关系-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点1：Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．
知识点2：子集、真子集、集合相等的相关概念
【知识点拨】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．
(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．
(4)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；任何集合都不是它本身的真子集．
(5)若A⊆B，且A≠B，则AB．
知识点3：空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
(2)规定：空集是任何集合的子集．
知识点4：集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．
(2)对于集合A，B，C，
①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；
②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．
(3)若A⊆B，A≠B，则AB．
【题型归纳目录】
题型1：求集合的子集、真子集
题型2：判断集合的子集、真子集个数
题型3：集合间关系的判断
题型4：由集合间的关系求参数问题
题型5：空集的概念及判断
题型6：空集的性质及应用
题型7：集合间基本关系的综合问题
【典例例题】
题型1：求集合的子集、真子集
例1．(2023·海南儋州·高一校考期中)写出集合的所有子集和它的真子集.
例2．(2023·河北张家口·高一张家口市第四中学校考期中)已知集合，且；
(1)求实数；
(2)写出的所有真子集.
例3．(2023·山东日照·高一校考阶段练习)设，．
(1)写出集合A的所有子集；
(2)若B为非空集合，求a的值．
变式1．(2023·河南洛阳·高一洛宁县第一高级中学校联考阶段练习)已知集合，且.
(1)求实数的取值的集合；
(2)写出(1)中集合的所有子集.
变式2．(2023·山东聊城·高一校考阶段练习)设集合，列出集合A 的子集.
题型2：判断集合的子集、真子集个数
例4．(2023·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中)集合的真子集的个数是( )
A．8B．7C．3D．5
例5．(2023·全国·高一专题练习)集合，则的子集的个数为( )
A．4B．8C．15D．16
例6．(2023·贵州遵义·高一统考期末)已知集合且，则集合A的子集的个数为( )
A．15B．16C．31D．32
变式3．(2023·高一课时练习)设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为( )
A．4B．6C．7D．15
变式4．(2023·安徽芜湖·高一校考阶段练习)符合的集合的个数为( )
A．3个B．4个C．5个D．6个
变式5．(2023·全国·高一专题练习)已知集合满足，那么这样的集合M的个数为( )
A．6B．7C．8D．9
变式6．(2023·江西·高一校联考阶段练习)已知集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，则满足BC的集合B的个数为( )
A．32B．31C．30D．5
变式7．(2023·河南洛阳·高一校考阶段练习)满足条件的集合的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
题型3：集合间关系的判断
例7．(2023·福建泉州·高一校考阶段练习)有下列四个命题：①；②③若，则；④集合有两个元素；⑤集合是有限集.；其中正确命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
例8．(2023·高一课时练习)给出下列关系式:①；②⊆；③；④，其中错误的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
例9．(2023·高一课时练习)下列各式：①，②，③，④，⑤，其中错误的个数是( )
A．1B．2
C．3D．4
变式8．(2023·高一课时练习)如果，那么( )
A．B．
C．D．
变式9．(2023·高一课时练习)已知集合和，那么( )
A．B．
C．D．
变式10．(2023·全国·高一专题练习)设，，则( )
A．B．C．D．
变式11．(2023·湖北孝感·高一统考开学考试)下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有( )
A．②③④B．②③④⑤C．②④⑤D．①⑤
变式12．(2023·河南郑州·高一校考阶段练习)已知集合，，，若，，则( )
A．B．C．D．以上都不对
变式13．(2023·高一课时练习)已知集合，，，则M、N、P的关系满足( )
A．B．C．D．
题型4：由集合间的关系求参数问题
例10．(2023·高一课时练习)已知集合.
(1)若，则实数a的值是多少?
(2)若，则实数a的取值范围是多少?
(3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少?
例11．(2023·高一课时练习)已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a的取值范围.
例12．(2023·安徽芜湖·高一校考阶段练习)若集合，，且，求实数m的值.
变式14．(2023·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中)设集合.
(1)当时，求的非空真子集的个数；
(2)若，求的取值范围.
变式15．(2023·上海宝山·高一上海交大附中校考期中)已知集合，且，则实数a的值是_________．
变式16．(2023·高一单元测试)已知，，且，则a的取值范围为_________．
变式17．(2023·高一课时练习)已知集合，则实数m的值是________．
变式18．(2023·高一课时练习)已知集合A={-4，-1，m}，B={-1，5}，若B⊆A，则m=____.
变式19．(2023·广东肇庆·高一校考阶段练习)已知集合，若，则 m 的取值范围为__________．
题型5：空集的概念及判断
例13．(2023·高一课时练习)下列集合中为的是( )
A．B．
C．D．
例14．(2023·广西河池·高一校联考阶段练习)已知集合，表示空集，则下列结论错误的是( )
A．B．C．D．
例15．(2023·湖北咸宁·高一校考阶段练习)给出下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若，则．
其中正确的说法有( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
变式20．(2023·河南三门峡·高一校考阶段练习)对任意集合A，下列各式①，②，③，④，正确的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
变式21．(2023·天津和平·高一天津市汇文中学校考阶段练习)下列四个说法中，正确的有( )
①空集没有子集；
②空集是任何集合的真子集；
③若，则；
④任何集合至少有两个子集．
A．0个B．1个C．2个D．3个
题型6：空集的性质及应用
例16．(2023·河北承德·高一河北承德第一中学校考期末)有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中不正确的是( )
A．①③④B．②④⑤C．②⑤⑥D．③④
例17．(2023·广西贺州·高一校考阶段练习)以下四个写法中：①｛0｝∈｛0，1，2｝；②｛1，2｝；③｛0，1，2｝＝｛2，0，1｝；④；正确的个数有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
例18．(2023·河北保定·高一校联考阶段练习)给出下列关系：
(1)；(2)；(3)；(4)．其中不正确的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
变式22．(2023·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习)已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为( )
A．3B．4C．5D．6
变式23．(2023·甘肃庆阳·高一校考阶段练习)有下列四个命题：①＝{0}；②{0}；③{1}{1，2，3}；④{1}∈{1，2，3}；其中正确的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
题型7：集合间基本关系的综合问题
例19．(2023·高一课时练习)已知集合.
(1)判断8，9，10是否属于集合A；
(2)集合,证明：B是A的真子集.
例20．(2023·浙江·高一阶段练习)(1)从集合中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有多少个？
(2)设集合，集合B是A的子集，且集合B任意两数之差都不等于6或7．问：集合B中最多有多少个元素？说明理由．
例21．(2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习)给定的正整数，若集合满足，则称A为集合M的n元“好集”．
(1)写出一个实数集的2元“好集”；
(2)证明：不存在自然数集N的2元“好集”．
变式24．(2023·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习)已知集合有整数解，非空集合满足条件：(1)，(2)若，则，则所有这样的集合的个数为____．
变式25．(2023·陕西安康·高一陕西省安康中学校考阶段练习)规定：在整数集中，被7除所得余数为的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，1，2，3，4，5，6，给出如下四个结论：
①；
②；
③若整数，属于同一“家族”，则；
④若，则整数，属于同一“家族”．其中，正确结论为 __．(填写正确的序号)
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·高一课时练习)下列集合的表示方法中，不同于其他三个的是( )
A．B．
C．D．
2．(2023·高一课时练习)已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，若a∈M，则6-a∈M，那么集合M的个数为( )
A．5B．6C．7D．8
3．(2023·高一课时练习)若一个集合含有n个元素，则称该集合为“n元集合”.已知集合，则其“2元子集”的个数为( )
A．6B．8C．9D．10
4．(2023·高一课时练习)已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是( )
A．11B．12C．15D．16
5．(2023·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)已知集合M⊆{2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合M共有( )
A．5个B．6个
C．7个D．8个
6．(2023·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习)下列与集合表示同一集合的是( )
A．B．
C．D．
7．(2023·内蒙古呼和浩特·高一统考期中)非空集合P满足下列两个条件：(1)，(2)若元素，则，则集合P个数是( )
A．4B．5C．6D．7
8．(2023·四川眉山·高一校考期末)若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为( )
A．B．C．D．与互不包含
二、多选题
9．(2023·四川泸州·高一统考期末)给出下列四个结论，其中正确的结论有( )
A．
B．若，则
C．集合是无限集
D．集合的子集共有4个
10．(2023·高一课时练习)(多选)下列说法正确的是( )
A．空集没有子集
B．
C．
D．非空集合都有真子集
11．(2023·海南儋州·高一校考期末)下列关系中表述正确的是( )
A．B．C．D．
12．(2023·浙江杭州·高一校联考期中)若集合，，且，则实数的值为( )
A．B．C．D．
三、填空题
13．(2023·高一课时练习)对于一个集合S，若a∈S时，有∈S，则称这样的数集为“可倒数集”，试写出一个“可倒数集”：_____.
14．(2023·高一单元测试)设，，，若，则______．
15．(2023·山东济南·高一校考期中)设集合，，，集合M的真子集的个数为_____．
16．(2023·江苏·高一专题练习)已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
四、解答题
17．(2023·四川·高一校考阶段练习)设集合，.
(1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值；
(2)若求实数m的值.
18．(2023·福建龙岩·高一校考阶段练习)(1)设，若，求的值；
(2)已知集合，若，求的取值范围.
19．(2023·河南洛阳·高一校考阶段练习)已知集合，且，求的值.
20．(2023·湖南怀化·高一校联考期末)已知集合，.若，求实数的取值范围.
21．(2023·安徽滁州·高一校考阶段练习)已知集合，，
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
22．(2023·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习)已知集合为非空数集，定义：
(1)若集合，请直接写出集合：
(2)若集合，且，求证：；